Sistemas de Equações

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia

Professor Antonio Carlos carneiro Barroso

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com e HTTP://accbarroso60.wordpress.com

http://accbarrosogestar.blogspot.com.br

Sistemas de Equações

Por Marcos Noé

Sistema linear

Os sistemas de equações consistem em ferramentas importantes na Matemática, eles são utilizados para determinar os valores de x e y nas equações com duas variáveis. A resolução dos sistemas consiste em estabelecer uma relação entre as equações e aplicar técnicas de resolução. Os métodos usados na resolução de um sistema são: substituição e adição. Exemplos de sistemas de equações:

Método da Substituição

O método da substituição consiste em trabalhar qualquer equação do sistema de forma a isolar uma das incógnitas, substituindo o valor isolado na outra equação. Observe passo a passo a resolução do sistema a seguir:

Nesse caso, vamos escolher a 2º equação e isolar a incógnita x.

x – y = –3
x = –3 + y

Agora, substituímos o valor de x por –3 + y na 1º equação.

2x + 3y = 19
2*(–3 + y) + 3y = 19
–6 + 2y + 3y = 19
2y + 3y = 19 + 6
5y = 25
y = 5

Para finalizar, calculamos o valor de x utilizando a seguinte equação:

x = –3 + y
x = –3 + 5
x = 2

Portanto, a solução do sistema é x = 2 e y = 5, isto é, o par ordenado (2,5)



Método da Adição

O método da adição deve ser utilizado nos sistemas em que existe a oportunidade de zerar uma das incógnitas. Observe a resolução do sistema a seguir:

1º passo: somamos as equações, eliminando uma das incógnitas e determinando o valor da outra incógnita.

Calculado o valor de x, basta escolher uma das equações e substituir o valor de x por 11.

x + y = 10
y = 10 – x
y = 10 – 11
y = –1

A solução do sistema é o par ordenado (11, –1).

Desafios

Desafios

1) Observe as multiplicações a seguir:
12 345 679 x 18 = 222 222 222
12 345 679 x 27 = 333 333 333
12 345 679 x 54 = 666 666 666
Para obter 999 999 999 devemos multiplicar 12 345 679 por quantos?

2) Outro dia ganhei 250 reais, incluindo o pagamento de horas extras. O salário (sem horas extras) excede em 200 reais o que recebi pelas horas extras. Qual é o meu salário sem horas extras?

3) O número 10 pode ser escrito de duas formas como soma de dois números primos:
10 = 5 + 5 e 10 = 7 + 3. De quantas maneiras podemos expressar o número 25 como uma soma de dois números primos?

4) Um certo número N de dois algarismos é o quadrado de um número natural. Invertendo-se a ordem dos algarismos desse número, obtém-se um número ímpar. A diferença entre os dois números é o cubo de um número natural. Determine a soma dos algarismos de N.

5) A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Até quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias?

6) Quantos são os números inteiros de 2 algarismos que são iguais ao dobro do produto de seus algarismos?
extraido de www.mundoeducacao.com.br

Equações de 1º grau fracionárias

Ativ minha 7ª serie 2011

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Potência e raiz quadrada de fração

Regra do octeto Átomo nobre tem oito eletrons na camada de valência

Os gases nobres, hélio, neônio, argônio, criptônio, xenônio e radônio, se destacam entre todos os elementos químicos por apresentarem uma estabilidade única, que os torna inertes à reação com quase todos os outros elementos.

Normalmente tais gases se apresentam como átomos isolados e não como moléculas, estabelecendo ligações atômicas apenas em condições muito especiais.

É claro que características tão particulares chamaram a atenção dos químicos, que se propuseram a entender o que estes átomos possuíam de diferente dos outros para apresentar tal comportamento.

A resposta veio da análise do modo como os elétrons se distribuíam ao longo das camadas destes átomos, conforme descrito na tabela que segue:

Distribuição Eletrônica dos Gases Nobres
Gás Nobre

Noatômico

Distribuição dos eletrons por camadas
1a

2a

3a

4a

5a

6a
He

2

2

Ne

10

2

8

Ar

18

2

8

8

Kr

36

2

8

18

8

Xe

54

2

8

18

18

8

Ra

86

2

8

18

32

18

8

Com exceção do hélio, todos os gases nobres possuem oito elétrons em sua camada de valência, aquela última na qual ocorrem as ligações moleculares ou iônicas.

Assim, um átomo que completa a última camada de sua eletrosfera com oito elétrons adquire as características de um gás nobre, ou seja, torna-se estável.

Um exemplo próximo de todos é a molécula de água.

Vejamos a distribuição eletrônica do oxigênio:

Número atômico

1acamada

2acamada
8

2

6

Para obedecer à regra do octeto, o oxigênio precisa para se estabilizar de mais dois átomos na última camada.

Assim temos o porquê de nossa conhecida fórmula H2O, já que na molécula de água cada um dos átomos de hidrogênio compartilha numa ligação covalente um elétron com o átomo de oxigênio, que assim passa a somar em sua última camada os oitos que precisava para sua estabilidade, conforme figura seguinte:


Pela mesma razão, a molécula de oxigênio O2 é formada pelo compartilhamento de dois pares eletrônicos por cada átomo da ligação, conforme se vê abaixo:


Notem na figura que pela ligação molecular, os dois átomos de oxigênio compartilham quatro elétrons (dupla ligação), constituindo assim, oito elétrons em sua última camada. Já a molécula do nitrogênio, N2, cujos átomos têm número atômico 7 e distribuição eletrônica 2-5, precisa, para cumprir a regra do octeto, de mais três elétrons na última camada.

Isto é obtido através de uma tripla ligação, na qual cada átomo compartilha três elétrons com o outro membro da ligação, conforme figura abaixo:

Moléculas de Nitrogênio, com tripla ligação e molécula de Hidrogênio. O H2 não obedece a Regra do Octeto

Na figura, além da molécula de nitrogênio, podemos observar a molécula de hidrogênio, que, obviamente, não obedece à regra do octeto.

Isto se dá pelo fato de estarmos falando de uma regra e não de uma lei da química.

Assim, não só o hidrogênio, que encontra a estabilidade numa distribuição eletrônica semelhante à do helio, mas também outros elementos químicos não necessariamente seguem o padrão de formar ligações que complementem suas camadas finais com oito elétrons.

Isto pode ser concluído de uma simples observação da tabela periódica.

Os elementos situados nos grupos 3 a 12 da tabela, também chamados de elementos de transição, têm distribuições eletrônicas que dificultam o cumprimento da regra do octeto, pois teriam que trocar ou compartilhar um número relativamente grande de elétrons para adequarem-se àquela Regra.

A regra do octeto é cumprida de modo geral nos grupos 1 e 2 e do 13 ao 18, onde se situam os elementos químicos que podem completar os elétrons da última camada com ligações atômicas envolvendo poucos elétrons.
Carlos Roberto de Lana é engenheiro químico e professor.

Solubilidade de compostos orgânicos

A solubilidade de uma substância é uma propriedade física muito importante, na qual se baseiam certos métodos de separação de misturas, de extração de produtos naturais e de recristalização de substâncias.

Também é uma propriedade muito empregada nas industrias de tintas, perfumes, sabões e detergentes, açúcares e plásticos. A solubilidade depende da natureza do soluto, do solvente e da temperatura.

Para prever o comportamento de certos solutos em relação a certos solventes (à temperatura constante) é necessário se analisar as suas estruturas moleculares, ou melhor, o tipo de interação que há entre soluto e solvente.

De acordo com as Regras de Solubilidade, uma substância polar tende a dissolver em um solvente polar, e uma substância apolar também num solvente apolar. Ou seja, semelhante dissolve semelhante. Por esse motivo as substâncias orgânicas em geral, só se dissolvem em líquidos também orgânicos, como, por exemplo, álcool, éter, benzeno, gasolina, etc. Esses líquidos recebem o nome de solventes orgânicos.

Outra consideração que devemos fazer é a seguinte: quando a temperatura de uma solução diminui ou quando o solvente evapora, o soluto tende a cristalizar, purificando-se, mas, devemos notar que:

* A cristalização de uma substância iônica é mais fácil, pois, os íons se atraem eletricamente;

* Pelo contrário a cristalização de uma substância molecular é mais difícil, pois a atração entre as moléculas é muito menor. A cristalização das substâncias orgânicas é em geral difícil e demorada. Existem certos compostos orgânicos como a parafina, que não se cristalizam. Os compostos orgânicos cristalinos surgem entre os compostos orgânicos bastante polares (caso dos açucares) ou entre os compostos orgânicos iônicos (como exemplo, os sais orgânicos).

Após muitos anos de estudos, chegou-se a conclusão que é conveniente distribuir os compostos orgânicos em sete grupos de solubilidade, com base em:

1. Sua solubilidade em relação à água, éter, solução aquosa de hidróxido de sódio a 5%, ácido clorídrico a 5%, ácido concentrado frio.

2. Nos elementos que eles contém além do carbono e hidrogênio.

Os grupos resultantes desta classificação são:

* Grupo I: Compostos solúveis tanto em éter quanto em água.

* Grupo II: Compostos solúveis em água, mas insolúveis em éter.

* Grupo III: Compostos insolúveis em água, mas solúveis em hidróxido de sódio diluído. Este grupo ainda foi dividido em:
Grupo III-A: compostos solúveis em hidróxido de sódio diluído e solúveis em bicarbonato de sódio diluído.
Grupo III-B: compostos solúveis em hidróxido de sódio diluído e insolúveis em bicarbonato de sódio, diluído.

* Grupo IV: Compostos insolúveis em água, mas solúveis em ácido clorídrico diluído.

* Grupo V: Hidrocarbonetos e compostos contendo C, H e O que não sejam aqueles dos Grupos I a IV e sejam solúveis em ácido sulfúrico concentrado ("compostos indiferentes").

* Grupo VI: Todos os compostos que não contenham N ou S e que sejam insolúveis em ácido sulfúrico concentrado.

* Grupo VII: Compostos que contenham N ou S que não sejam aqueles dos Grupos I a IV. Muitos dos compostos deste grupo são solúveis em ácido sulfúrico concentrado.
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Números inteiros

A subtração é uma operação básica da Matemática, sendo representada pelo sinal de –. O desenvolvimento da subtração entre números Naturais é de certa forma bem simples. Observe os exemplos:

10 – 2 = 8
12 – 6 = 6
22 – 10 = 12
52 – 12 = 40
101 – 10 = 91
200 – 189 = 11

As operações de subtração envolvendo os números Inteiros requerem algumas situações teóricas que relacionam os possíveis sinais operatórios. Para realizar a subtração entre os números inteiros precisamos ter conhecimento sobre o módulo de um número. Módulo de um número inteiro é calculado obtendo o seu valor real. Observe:

Módulo de +1: representado por |+1| = 1
| – 3| = 3
| – 7| = 7

Regras operatórias:
Sinais iguais: soma e conserva o sinal.
Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo.

Operações sem parênteses

+ 10 – 7 = + 3 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)

– 3 – 3 = – 6 (Sinais iguais: soma e conserva o sinal)

+ 20 – 30 = – 10 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)

– 12 + 3 = – 9 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)

– 9 + 9 = 0 (operação entre números opostos, resultado sempre será 0)

– 25 + 24 = – 1 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)


Operações com parênteses

Nesse caso, as operações de subtração podem ser resolvidas eliminando os parênteses, isso será feito aplicando algumas regras que envolvem jogo de sinal, observe:

+ (+) = +
+ (–) = –
– (+) = –
– (–) = +

Eliminado os parênteses, passa a valer as regras operatórias:

(+10) – (–23) = +10 + 23 = + 33

(+20) – (+12) = +20 – 12 = + 8

(–32) + (–5) = – 32 – 5 = – 37

(–27) – (–30) = –27 + 30 = + 3
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