Função Logarítmica

Chama-se logaritmo de "A" na base "B" ao número "x" tal que, log_B A = x  B^x = A.

Ao se escrever log_B A = x    (lê-se: log de A na base B igual a "x") tem-se que:
B é a base do logaritmo,       A é o logaritmando       e       x é o logaritmo.

B > 0 e B  1   ( a base é um número real positivo e diferente de 1 );
A > 0    ( o logaritmando é sempre um número real positivo );
x     ( o logaritmo "x" é um número real qualquer, positivo, negativo ou nulo ).

Consequências da definição

Como se sabe que log_B A = x  B^x = A:
1ª)  log_B 1 = 0, pois B⁰ = 1    ( o logaritmo de 1 em qualquer base é zero )
2ª)  log_B B = 1, pois B¹ = B    ( o logaritmo de um número na sua própria base é 1 )
3ª)  B^log_B A = A, pois substituindo log_B A por "x" fica B^x = A.
4ª)  log_B A = log_B C  A = C, pois em log_B A = log_B C se tem que:   B^log_B C = A, ou seja, C = A.

Propriedades operatórias do logaritmo

1ª)  log_B (A . C) = log_B A + log_B C    ( o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos )
2ª)  log_B (A / C) = log_B A – log_B C    ( o logaritmo de um quociente é a diferença dos logaritmos )
3ª)  log_B Aⁿ = n . log_B A    ( o logaritmo de uma potência é o produto do expoente pelo logaritmo desse número )
4ª)  log_Bⁿ A = 1/n . log_B A    ( se o expoente estiver na base, ele continua a multiplicar o logaritmo, mas invertido )

Exemplo:
— Calcule o valor das expressões:
a) 6^{1 – log₆ 2}                   b) log₂ 8  – 2 . log₂ (log₃ 81).

a) 6^{1 – log₆ 2} = 6¹ . 6^–log₆ 2 = 6 . 6^{log₆ 2–1} = 6 . 2^–1 = 6 . (1/2) = 3.

b) log₂ 8  – 2 . log₂ (log₃ 81) = log₂ 2³ . 2^1/2 – 2 . log₂ (log₃ 3⁴) =
log₂ 2^{3 + 1/2} – 2 . log₂ (4 . log₃ 3) = log₂ 2^7/2 – 2 . log₂ (4 . 1) = (7/2) . log₂ 2 – 2 . log₂ 4 =
(7/2) . 1 – 2 . log₂ 2² = 7/2 – 2 . 2 . log₂ 2 = 7/2 – 2 . 2 . 1 = 7/2 – 4 = – 1/2.

Cologaritmo

Chama-se cologaritmo de "x" na base B, e escreve-se, colog_B x ao logaritmo do inverso do logaritmando na mesma base,
colog_B x = log_B (1 / x)         ou          colog_B x = – log_B x.

Logaritmo natural

Chama-se logaritmo natural ou neperiano ao logaritmo de base e (número de Euler, ondee  2,71828)
Ao invés de se escrever log_e x, escreve-se ln x.

Logaritmo decimal

Chama-se logaritmo decimal ao logaritmo de base 10.
Ao invés de se escrever log₁₀ x, escreve-se log x (não se escreve a base).

Mudança de Base

Algumas vezes é necessário fazer uma conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma outra base.
Para mudar de base se faz o quociente entre o logaritmo do logaritmando e o logaritmo da antiga base, ambos na nova base.

Se em log_B x, desejar mudar dessa base B para uma base H, tem-se:
log_B x = (log_H x) / (log_H B). 

Exemplo:
— Simplifique a expressão: log₂ 16 . log₄ 3 . log₂₅ 2 . log₃ 5.

log₂ 16 . log₄ 3 . log₂₅ 2 . log₃ 5 = log₂ 2⁴ . log_2² 3 . log_5² 2 . log₃ 5 =
4 . log₂ 2 . (1/2) . log₂ 3 . (1/2) . log₅ 2 . log₃ 5 =
4 . 1 . (1/2) . (1/2) . log₂ 3 . log₅ 2 . log₃ 5 =
mudando para a base 10:
1 . (log 3 / log 2) . (log 2 / log 5) . (log 5 / log 3) =
organizando:
(log 3 / log 3) . (log 2 / log 2) . (log 5 / log 5) = 1 . 1 . 1 = 1.

Função Logarítmica

A função f:    definida por f(x) = log_b x, com b > 0 e b  1, é denominada função logarítmica.

Se b > 1 a função é crescente                            Se 0 < b < 1 a função é decescente

                            

Esboço gráfico:
Seja a função dada pela sentença: f(x) = log₂ x, faça um esboço gráfico.

f(1/2) = log₂ 1/2 = log₂ 2^–1 = – 1 . log₂ 2 = – 1 . 1 = – 1.
f(1) = log₂ 1 = 0
f(2) = log₂ 2 = 1

Equação Logarítmica

Para se resolver equações logarítmicas deve-se reduzir as bases a uma mesma base e igualar os logaritmandos.
Devido ao domínio da função logarítmica, a condição de existência deve ser observada.

Resolução:
Para resolver a equação log₂ x² = log₂ ( x + 2 ), verifica-se a condição de existência:
para a 1ª condição:
x² > 0, é positivo para todo x  0, e para a 2ª condição:
x + 2 > 0, é positivo para todo x > – 2.
Assim, para satisfazer as duas condições, x > 0.

Como as bases já estão iguais, os logaritmandos também são iguais, então:
x² = x + 2, e daí: x² – x – 2 = 0
x' = 2 e x'' = – 1  e,   como tem que satisfazer a condição x > 0, a solução é:
S = { 2 }.

Inequação Logarítmica

Para resolver inequações logarítmicas, além de se observa a condição de existência, deve-se realizar dois passos importantes:

1°) A redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base.

2°) A aplicação da propriedade:
log_b x > log_b y,    então:
x > y   se   b > 1    ( a desigualdade permanece se a base for maior do que 1 )
x < y   se   0 < b < 1    ( a desigualdade será invertida, se a base estiver entre 0 e 1 ).

Resolução:
Obtenha os valores de "x" na inequação log_1/2 x² > log_1/2 (x + 2).
Problema semelhante ao anterior, onde a condição de existência é x > 0, e como a base 1/2 é menor que 1, tem-se:
x² < x + 2, e daí: x² – x – 2 < 0 que é negativa entre as raízes, então:
A inequação do segundo grau assume os valores – 1 < x < 2, mas pela condição de existência x > 0, então:
S = { x   ; 0 < x < 2 }.

Exercícios Resolvidos

R01 — Faça um esboço do gráfico de f(x) = log_1/2 x.

f(2) = log_1/2 2 = log_2^–1 2 = (1 /– 1) . 1 = – 1.
f(1) = log_1/2 1 = 0
f(1/2) = log_1/2 (1/2) = 1

R02 — Sendo log₅ 2 = k e log₅ 3 = m, calcule o valor de:
a) log₅ 45                          b) log₅ 240

a) log₅ 45 = log₅ 3² . 5 = log₅ 3² + log₅ 5 = 2 . log₅ 3 + log₅ 5 = 2 . m + 1 = 2m + 1.

b) log₅ 240 = log₅ 2⁴ . 3 . 5 = log₅ 2⁴ + log₅ 3 + log₅ 5 = 4 . log₅ 2 + m + 1 = 4k + m + 1.

R03 — Considerando que log_b x = 1,52; log_b y = 1,43 e que log_b z = 0,97. Calcule log_b (x³ . y⁴. z²)

log_b (x³ . y⁴ . z²) = log_b x³ + log_b y⁴ + log_b z² = 3 . log_b x + 4 . log_b y + 2 . log_b z =
3. 1,52 + 4. 1,43 + 2. 0,97 = 4,56 + 5,72 + 1,94 = 12,22.

R04 — Supondo que log₂ 3 = 1,5. Simplifique a expressão: log₂ 18 / log₄ 12.

Fatorando:   18 = 2 . 3²,    12 = 2² . 3    e    4 = 2², assim:
log₂ 18 / log₄ 12 = log₂ (2 . 3²) / log_2² (2² . 3) = (log₂ 2 + log₂3²) / (1/2) . [ log₂ (2² . 3) ] =
(1 + 2 . log₂ 3) / (1/2) . [ 2 . log₂ 2 + log₂ 3 ] = (1 + 2 . log₂ 3) / (1/2) . ( 2 + log₂ 3 ) =
2 . (1 + 2 . log₂ 3) / ( 2 + log₂ 3 ) = (2 + 4 . log₂ 3) / ( 2 + log₂ 3 ) = (2 + 4 . 1,5) / (2 + 1,5) =
(2 + 6) / 3 = 8/3.

R05 — Sendo log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4771; log 7 = 0,8451 e log 11 = 1,0414, calcule:
a) log 2,8                          b) log 3,08

a) Log 2,8 = log 28 / 10 = log 28 – log 10 = log 2² . 7 – log 10 = log 2² + log 7 – 1 =
2 . log 2 + log 7 – 1 = 2 . 0,3010 + 0,8451 – 1 = 0,6020 + 0,8451 – 1 = 1,4471 – 1 =
0,4471

b) Log 3,08 = log 308 / 100 = log 308 – log 100 = log 2² . 7. 11 – log 10² =
log 2² + log 7 + log 11 – 2 . log 10 = 2 . log 2 + log 7 + log 11 – 2 . log 10 =
2 . 0,3010 + 0,8451 + 1,0414 – 2 . 1 = 0,6020 + 0,8451 + 1,0414 – 2 = 2,4885 – 2 =
0,4885

R06 — Resolver a equação log₃ (x + 5) = 2.

Primeiro deve-se ver a condição de existência: x + 5 > 0       ou       x > – 5

Deixando as bases iguais:
log₃ (x + 5) = 2  log₃ (x + 5) = 2 . log₃ 3  log₃ (x + 5) = log₃ 3²
x + 5 = 3²       ou       x + 5 = 9       ou       x = 9 – 5       ou       x = 4.
Como x = 4 satisfaz a condição de existência, x > – 5, então a solução é:
S = { 4 }.

R07 — Resolver a equação log₂ (log₄ x) = 1.

A condição de existência: log₄ x > 0, então x > 1.
log₂ (log₄ x) = 1; como 1 = log₂ 2, então log₂ (log₄ x) = log₂ 2     ou    log₄ x = 2
Então, log₄ x = 2 . log₄ 4     ou    log₄ x = log₄ 4²
E como as bases são iguais, x = 4² = 16 ( que satisfaz a condição de existência ).
S = { 16 }.

R08 — Resolva a equação log_{x + 1} (x² – x) = 1.

Condição de existência:
Da base: x + 1 > 0    ou    x > – 1     e    x + 1  1     ou    x  0.
Do logaritmando: x² – x > 0     ou    x < 0 ou x > 1 

R09 — Resolva o sistema: 

A condições de existência: x > 0 e y > 0
Na 1ª equação: log x + log y = 7     ou    log y = 7 – log x
Daí, substituindo log y na segunda equação tem-se:

3 . log x – 2 . (7 – log x) = 1     ou    3 . log x – 14 + 2 . log x = 1     ou
5 . log x = 15     ou    log x = 3     ou    x = 10³

Como, x = 10³ então log y = 7 – log x, temos: log y = 7 – log 10³     ou
log y = 7 – 3     ou    log y = 4     ou    y = 10⁴.

Como satisfazem as condições de existência, então a solução é:
S = { (10³; 10⁴) }.

R10 — Obtenha a solução da inequação log₂ x + 1 > log₂ (x² – 1).

Condição de existência: x > 0 e x² – 1 > 0, ou seja, x < – 1 ou x > 1, portanto serve apenas x > 1.
log₂ x + log₂ 2 > log₂ (x² – 1)
log₂ 2x > log₂ (x² – 1)
2x > x² – 1     ou     – x² – 2x + 1 > 0
Encontrando as raízes de – x² – 2x + 1 = 0
 = (– 2)² – 4 . (– 1) . 1 = 4 + 4 = 8
x' = 1 –      e     x'' = 1 + 
Assim, a solução da inequação do 2º grau é 1 –  < x < 1 + 
E por causa da condição de existência a solução é:
S = { x   ; 1 < x < 1 +  }.

Exercícios Propostos

P01 — Faça um esboço do gráfico de f(x) = log_0,25 x.

P02 — Se f(x) = log [x² / (x + 11) ] o valor de f(– 1) é:
a) – 2                 b) – 1                 c) 0                 d) 1                 e) 2

P03 — Determine o valor de x de modo que existam os logaritmos:
a) log_2x (x + 1)                               b) log_{(4 – x)} (x – 3)

P04 — Sendo log₅ 2 = p e log₅ 3 = m, calcule, em função de p e m, o valor de:
a) log 4,5                                    b) log 150

P05 — Sendo o log 2 = x e log 3 = y, calcule o valor de:
a) log₅ 432                                   b) log₃ 540

P06 — Resolva a equação log_b (x + 3) + log_b (x – 3) = log_b 7.

P07 — Sendo log_b a = 3; log_c a = 4 e log_d a = 2. Calcule b . c . d.

P08 — Considerando que log_b x = 1,2 e que log_b y = 0,8 e log_t b = 0,5. Calcule log_t x³ . y⁴.

P09 — Resolva a equação 3^{x + 2} = 4^{3x – 1}, Sabendo que log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771.

P10 — Resolva o sistema: 

P11 — A solução da equação log (3x – 1) + log (x) = 2 é:
a) 1/2                  b) 1                 c)                  d) 2                 e) 2/3

P12 — Resolva a equação logarítmica: 2 . log² x – 5 . log x + 2 = 0.

P13 — Se x e y são números reais que satisfazem ao sistema , qual o valor de  ?

P14 — Se "a" e "b" são números reais que satisfazem a equação x^{log x} = 100/x, então:
a) a . b = 10                 b) a + b = 10,1                 c) a . b = 0,1                 d) a + b = 1,01                  e) a . b = 0,01

P15 — (UDESC 2008) Sabendo que log₃ (7x – 1) = 3 e que log₂ (y³ + 3) = 7 pode-se afirmar que log_y (x² + 9) é igual a:
a) 6                 b) 2                 c) 4                 d) – 2                 e) – 4

P16 — (UDESC 2008) Se log_a b = 3 e log_ab c = 4, então log_a c é:
a) 12                 b) 16                 c) 24                 d) 8                 e) 6

P17 — (FUVEST) Se log x  log₂ 4 . log₄ 6 . log₆ 8 – 1, então:
a) 0 < x  10²
b) 10² < x  10⁴
c) 10⁴ < x  10⁶
d) 10⁶ < x  10⁸
e) x > 10⁸

P18 — Resolva a inequação: log₂ (x + 2) > log₂ 8.

P19 — Resolva a inequação: log₂ (log₃ x) > 0.

P20 — Resolva a inequação log_b (x + 2) + log_b (x – 2) < log_b 5.

fonte:hpdemat.apphb.com

MEC disponibiliza coleção de livros sobre educadores

O Ministério da Educação disponibilizou versões digitais dos 61 livros da "Coleção Educadores". Os trabalhos podem ser acessados a partir do site Domínio Público (aqui).

Um aspecto interessante da coleção é o sentido ampliado do conceito de "educador", contemplando desde autores tradicionais de linhas teóricas da Educação, como Piaget, Paulo Freire, Vygotsky (ao centro, na caricatura acima), Freinèt (à direita), até pensadores sociais (Darcy Ribeiro, Florestan Fernandes, entre outros) e indivíduos com atuação pioneira no uso da comunicação em processos educativos, como o cineasta Humberto Mauro (à esquerda, no desenho) e Roquette-Pinto.

fonte: midiaseducacao.com

O golpe da maioridade

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia

Professor Antonio Carlos carneiro Barroso

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com e HTTP://accbarroso60.wordpress.com
http://accbarrosogestar.blogspot.com.br 

Extraído de http://www.alunosonline.com.br

O golpe da maioridade

Rainer Sousa

O golpe da maioridade levou D. Pedro II ao poder com apenas 14 anos de idade

No período regencial, a disputa política entre liberais e conservadores acontecia no mesmo tempo em que diversas rebeliões ameaçavam a unidade territorial e política do país. Nesse conturbado contexto, os conservadores conseguiram revogar o Ato Adicional de 1834, que determinava a concessão de maior liberdade política às províncias. Para tanto, conseguiram, em 1840, a aprovação da chamada Lei Interpretativa do Ato Adicional.

Do ponto de vista político, essa lei se apresentava como um retrocesso no projeto liberal interessado na ampliação das liberdades provinciais. A partir da Lei Interpretativa, as Assembleias Legislativas perdiam diversas de suas atribuições – determinando a função de legislar à Câmara e ao Senado – e a Polícia Judiciária voltava a ser controlada pelo Poder Executivo Central. Mesmo com tais ações, as revoltas continuavam a se desenvolver por diversas regiões do país.

Aproveitando essa instabilidade, os liberais articularam um movimento favorável à antecipação da maioridade de Dom Pedro II. Expondo o jovem como a melhor solução para os problemas da época, os políticos liberais almejavam conquistar as pastas ministeriais e outros cargos políticos controlados pelos conservadores. Em pouco tempo, fundaram o “Clube da Maioridade” como importante reduto de todos aqueles que simpatizavam com tal proposta.

No próprio ano de 1840, o apoio dos jornais da época e a manutenção dos vários levantes que tomavam conta do nosso território determinavam o fortalecimento do chamado “Golpe da Maioridade”. No dia 23 de julho de 1840, com apoio de setores conservadores, foi aprovada a decisão que antecipava a chegada de Dom Pedro II ao governo imperial. Com apenas 14 anos de idade, ele assumiu o governo imperial brasileiro até o ano de 1889.

plano de curso de Matemática

plano de curso de Matemática

A evolução da Tabela Periódica

Líria Alves

A tabela periódica passou por muitas mudanças

Todos os elementos químicos estão dispostos em uma tabela denominada de Tabela Periódica, mas você já se perguntou por quem ou como ela foi organizada?

É evidente que o trabalho de distribuição dos elementos na tabela merece elogios, a posição de cada elemento é criteriosamente baseada em seu número atômico, número de massa e propriedades comuns que fazem parte da composição de todas as substâncias dispostas na tabela.

A Tabela Periódica atual é formada por 118 elementos distribuídos em 7 linhas horizontais, cada uma sendo chamada de período. Os elementos pertencentes ao mesmo período possuem o mesmo número de camadas de elétrons.

Os metais, semimetais, ametais, gases nobres e hidrogênio são separados por cor, essa divisão foi baseada nas características comuns dos elementos que recebem essas classificações. As famílias e grupos também se subdividem se baseando nesse critério. E para facilitar a procura de um determinado elemento dentro da tabela, existe uma forma prática: eles se organizam em ordem crescente de número atômico e massa.

O trabalho para fazer com que a Tabela Periódica ganhasse uma “cara boa” teve seus responsáveis, foram vários anos de pesquisa e dedicação por parte dos cientistas, estes além do reconhecimento ganharam prêmios e levaram seus nomes para a história da evolução da Tabela Periódica.

Um importante passo foi dado no ano de 1869, pelo professor da Universidade de São Petersburgo (Rússia), Dimitri Ivanovich Mendeleev (1834-1907). Esse cientista escreveu um livro sobre os elementos conhecidos até aquela época. Na época foi constatado cerca de 63 elementos, e Mendeleev os organizou em função da massa atômica de seus átomos, estabelecendo assim as famílias e grupos.

O trabalho de Mendeleev foi tão importante, que se tornou a base da classificação periódica atual. Mas a evolução da Tabela Periódica tem vários outros responsáveis, sendo que foi criada a partir de poucos elementos, a partir daí foi sendo cada vez mais aperfeiçoada e complementada com outros elementos que foram pouco a pouco sendo descobertos.

Independência

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia

Professor Antonio Carlos carneiro Barroso

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Extraído de http://www.alunosonline.com.br

Independência

Após a chegada dos portugueses ao Brasil, houve um desenvolvimento na colônia. Engenhos de açúcar e a mineração foram a fonte de economia adotada, que tinha todo o lucro enviado para Portugal. Em 1799, Napoleão Bonaparte tomou o poder na França, inaugurando sua revolução. Uma das medidas adotadas por ele foi o Bloqueio Continental, que proibia os países europeus de manter relações comerciais com a Inglaterra. Dom João VI, rei de Portugal, amedrontado com uma possível invasão francesa, embarcou com destino ao Brasil, em 1808.

A presença do governo português no Brasil favoreceu a ruptura do sistema colonial. Foram criadas a Academia Militar, a Imprensa Régia e a Biblioteca Real, e o Brasil foi elevado a “Reino Unido a Portugal e Algarves”. Mas, junto com a chegada dos portugueses, vieram os conflitos.

Os brasileiros estavam sendo prejudicados com a presença portuguesa. A decadência da economia açucareira determinou o aumento das tensões entre ambos os países. Essas tensões influenciaram o surgimento de ideias liberais entre os brasileiros. Em 1820, um conflito obrigou Dom João VI a retornar a Portugal, deixando seu filho, Dom Pedro I, como príncipe regente.

Em 1821, Portugal exigia a volta de Dom Pedro, assim como a de vários órgãos do governo que haviam sido transferidos para o Brasil. Cada província brasileira seria liderada por um governador. Dom Pedro já estava decidido a voltar, mas um abaixo-assinado, composto por milhares de assinaturas brasileiras, pedia-lhe para ficar. Dom Pedro correspondeu aos pedidos, fato este que ficou conhecido como o Dia do Fico.

A situação entre Brasil e Portugal se acirrou. Os conflitos eram constantes e D. Pedro se viu pressionado a decretar a Independência. Após muitas conversas, e o pagamento de dois milhões de libras esterlinas, no dia 7 de setembro de 1822, o Brasil se tornou independente de Portugal.

Tabela periódica As propriedades periódicas dos elementos

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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A física e a química têm tanto em comum que hoje é mais fácil enxerga-las como duas especialidades da mesma ciência do que como duas ciências distintas, com limites claramente definidos entre si. Mas a vida dos estudantes de física seria bem mais simples se esta disciplina oferecesse um quadro sinóptico de seus conteúdos tão bem construído quanto é a tabela periódica dos elementos químicos.




Em um único quadro a tabela periódica nos exibe todos os elementos químicos em ordem de número atômico, agrupa metais, não metais e gases nobres, cada qual em um bloco próprio, e ainda classifica todos eles por famílias, nas quais os elementos constituintes possuem propriedades químicas semelhantes.

Tudo parece muito óbvio agora, depois de pronto. Igualzinho à velha história do ovo de Colombo. Mas chegar a essa classificação visual dos elementos químicos foi um trabalho demorado, que envolveu os melhores estudiosos do assunto em sua época. E só se chegou ao resultado atual após várias tentativas frustradas e seguidos aperfeiçoamentos na idéia inicial.

Parafuso telúrico
Uma das primeiras tentativas de construir essa classificação foi desenvolvida na década de 1860 por Alexandre de Chancourtois, cientista francês que ordenou os elementos em ordem crescente de suas massas atômicas numa superfície cilíndrica.

Essa construção ficou célebre com o nome de parafuso telúrico. Era organizado de modo a mostrar nas verticais do cilindro uma seqüência de elementos químicos com propriedades semelhantes.

#
O parafuso telúrico de Chancourtois

A idéia era boa, mas Chancourtois foi prejudicado pelo fato de muitas das massas atômicas terem sido calculadas erradas, na sua época. De qualquer modo, o princípio da coisa tinha sido dado. Os elementos pareciam apresentar uma periodicidade em suas propriedades químicas, como Chancourtois tentara provar.

Se os elementos químicos apresentavam periodicidade, ou seja repetiam as mesmas propriedades após uma seqüência, restava descobrir qual seria a regra de periodicidade válida para todos os elementos.

Notas musicais
O inglês Alexander Reina Newlands partiu de um palpite interessante. Ele correlacionou os elementos químicos com as notas musicais, que após uma escala seqüencial de sete sons repetia o primeiro. Esta tentativa foi chamada de lei das oitavas, pois o cientista acreditava que os elementos químicos se comportavam como as notas musicais no teclado de um piano, onde após uma seqüência do Dó ao Si retornava-se ao Dó, o oitavo elemento da seqüência deveria ter as mesmas propriedades do primeiro.

A idéia, porém, mostrou-se válida somente até o Cálcio. Depois não funcionava para o restante dos elementos. Ainda assim, ajudou a reforçar a idéia de que as propriedades dos elementos eram periódicas, apenas não havia sido descoberto como esta periodicidade se manifestava.

Tabela periódica moderna
Quem conseguiu este feito, finalmente, foi o russo Dimitri Ivanovitch Mendeleiev, em 1869, que descobriu que as propriedades dos elementos decorriam de suas massas atômicas. A partir deste princípio montou uma tabela tão consistente com os resultados experimentais que chegou a defender que os elementos que não se encaixavam em sua tabela tiveram suas massas atômicas calculadas erradamente.

Mendeleev montou um quadro em que os elementos químicos eram posicionados em ordem crescente de massa atômica, dispostos de tal forma que as verticais da tabela reuniam famílias de elementos com propriedades semelhantes. O alemão Lothar Meyer, em trabalho independente, chegou a conclusões semelhantes, mas a solução de Mendeleev, mais bem elaborada, lhe valeu o reconhecimento da paternidade da tabela periódica moderna (clique no link do começo do texto para vê-la).

Identificação, separação, destaques
Na tabela periódica moderna se identifica de imediato a separação entre os metais, à esquerda da tabela, os não metais à direita e os semi-metais entre os dois grupos anteriores. O hidrogênio não se classifica em nenhuma destas definições e ocupa um lugar de destaque na cabeceira da tabela. Os gases nobres, por possuírem propriedades únicas, formam uma coluna exclusiva na extrema direita.

As colunas da tabela periódica reúnem as famílias dos elementos químicos, sendo que algumas possuem nomes específicos (tabela 1):

Família 1 (1A) Alcalinos
Família 2 (2A) - Alcalino-terrosos Alcalino-terrosos
3B(3), 4B(4), 5B(5), 6B(6) 7B(7), 8B(8, 9 e 10), 1B(11), 2B(12) Elementos de Transição
Família 13 (3A) Família do boro
Família 14 (4A) Família do carbono
Família 15 (5A) Família do nitrogênio
Família 16 (6A) Calcogênios
Família 17 (7A) Halogênios
Família 18 (Zero) Gases Nobres

As famílias dos elementos químicos se definem pela semelhança entre a composição da última camada de elétrons, aquela onde as reações químicas acontecem.

As linhas horizontais da tabela periódica são chamadas de períodos, sendo que em cada período se reúnem elementos químicos com o mesmo número de camadas eletrônicas.

No terceiro período, estão posicionados o sódio (Na), fósforo (P) e o enxofre (S) porque esses elementos, e todos os demais daquela linha, possuem três camadas de elétrons em torno do núcleo de seus átomos.

Sonho de Mendeleiev
Existe uma história muito conhecida de que a idéia da tabela periódica teria surgido a Mendeleiev enquanto dormia: "Vi num sonho uma tabela em que todos os elementos se encaixavam como requerido. Ao despertar, escrevi-a imediatamente numa folha de papel."

Esta citação, conhecida como o "Sonho de Mendeleiev" pode dar a impressão que as descobertas científicas surgem do nada, de um momento de inspiração mágico. Mas como vimos, muitos cientistas e próprio Dimitri descarregaram muita transpiração (como dizia Thoma Edison) neste projeto antes que o sonho de ter-se boa parte da Química resumida em uma única página se realizasse.
*Carlos Roberto Lana é professor e engenheiro químico.

Solubilidade (1) Coeficiente de solubilidade e solvatação dos sais

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Primeiramente vamos esclarecer uma coisa: quando falarmos em sal não estaremos nos referindo exclusivamente ao cloreto de sódio, o mais famoso dos sais, velho conhecido em nossas cozinhas ou na água do mar.

Talvez por nossa associação quase despercebida de sal com o cloreto de sódio (NaCl), afirmamos que os sais são solúveis em água. Isto não é verdade em alguns aspectos: nem todos os sais são solúveis em água e nem tudo que é solúvel em água é um sal. Nosso conhecimento também nos diz que não é possível dissolver qualquer quantidade de um sal em água, que se colocarmos muito, sobrará uma parcela no fundo do recipiente que não se dissolve. Com base nesse conhecimento, vamos discutir algumas coisas:

Coeficiente de solubilidade
Por que, se colocarmos muito sal na água, parte dele não se dissolve? Muitos de nós aprendemos na escola que existe uma quantidade máxima de um sal que pode ser dissolvida em certa quantidade de água em uma certa temperatura e, a isto chamamos de coeficiente de solubilidade. Não costumamos discutir esse fato, apenas o aceitamos já que nossa experiência cotidiana já o provou. Para entender o porquê, temos que entender como se dá a dissolução do sal.

Precisaremos de um exemplo e, para faciltar as coisas, utilizaremos o cloreto de sódio que, como já citamos, é o famoso "sal de cozinha" e o principal - mas não o único - sal encontrado na água do mar. O cloreto de sódio, NaCl, é uma composto iônico que apresenta dois tipos de íons: Na+ (sódio) e Cl-(cloreto). Nos cristais de NaCl, incontáveis íons Na+ e Cl- estão associados, mas a proporção é 1 Na+: 1Cl-, e por isso a fórmula usada é NaCl. A água, H2O, é uma molécula triatômica com ligações covalentes e que apresenta polaridade.

Se você não lembra o que é polaridade molecular, lembre-se apenas de que é uma molécula que, por causa de sua geometria e ligantes, pode se comportar como um pequeno imã, tendo um lado negativo e outro positivo. No caso da água, sua aparência é a seguinte:

No caso do cloreto de sódio:


Quando "jogamos" um cristal de NaCl em água, seus íons interagem com a água e pode ocorrer a dissociação. Cada íon acaba atraindo o lado positivo das moléculas de água (hidrogênios), enquanto o lado positivo (sódio) atrai o lado negativo das moléculas de água (oxigênio). Como existe abundância de moléculas de água, várias delas são atraídas, cercando os íons.



Esse processo chama-se solvatação e, quando íons estão cercados por moléculas de água, diz-se que estão solvatados.


Entendendo este processo, fica fácil perceber que, se adicionarmos muito NaCl, não haverá moléculas de água disponíveis para solvatar os íons, fazendo com que eles não sejam separados, portanto o sal não se dissolverá. Quando isso ocorre, todo sal que for adicionado a água continuará intacto, não se dissolvendo e precipitando, formando o que chamamos de corpo de fundo ou corpo de chão.

Solubilidade dos sais em água
Todos os sais são solúveis em água? Não. Embora muitos deles sejam solúveis em água existem exceções e você precisa conhecê-las. Estas são algumas regras de solubilidade:

Substâncias Solubilidade Exceções
Ácidos Orgânicos Solúveis
Permanganatos, Nitritos e Nitratos, Cloratos Solúveis
Sais de Alcalinos e Amônio Solúveis carbonato de lítio
Acetatos Solúveis de prata
Tiocianatos e Tiossulfatos Solúveis de prata, chumbo e mercúrio
Fluoretos Solúveis de magnésio, cálcio e estrôncio
Cloretos e Brometos Solúveis de prata, chumbo e mercúrio I
Iodetos Solúveis mercúrio, bismuto e estanho IV
Sulfatos Solúveis de prata, chumbo, bário, e estrôncio
Óxido metálico e Hidróxidos Insolúveis de alcalinos, amônio, cálcio, bário e estrôncio
Boratos, Cianetos, Oxalatos, Carbonatos, Ferrocianetos, Ferricianetos, Silicatos, Arsenitos, Arseniatos, Fosfitos, Fosfatos, Sulfitos e Sulfetos Insolúveis de alcalinos e de amônio


Fatores que influenciam na solubilidade dos sais
Por que um sal é mais solúvel que outro? A solubilidade em água depende de alguns fatores:

* A força de interação entre as partículas próximas do soluto; (interação soluto-soluto);
* A força de interação entre as moléculas de água e as do soluto antes da dissolução; (interação soluto-solvente)
* A força de interação entre as moléculas de água e as do soluto depois da dissolução (interação soluto-solvente)



E funciona sempre assim? Sim, mas isso não garante a solubilidade de qualquer coisa em algum líquido. Embora o processo seja sempre semelhante, nem sempre as moléculas do líquido (solvente) são capazes de solubilizar o sólido (soluto).

* Fábio Rendelucci é professor de química e física e diretor do cursinho COC-Universitário de Santos (SP).

Função do 2º grau

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso

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Uma função para ser do 2º grau precisa assumir algumas características, pois ela deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax² + bx + c, sendo que a, b e c são números reais com a diferente de zero. Concluímos que a condição para que uma função seja do 2º grau é que o valor de a, da forma geral, não pode ser igual a zero.

Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax² + bx + c, com a Є R* e b e c Є R.

Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero, quando isso ocorrer, a equação do segundo grau será considerada incompleta.

Veja alguns exemplos de Função do 2º grau:

f(x) = 5x² – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa)

f(x) = x² – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta)

f(x) = – x²; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta)
Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.

Exemplo 1

A função do 2º grau f(x) = – x² + x – 2, pode ser representada por y = – x² + x – 2. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos primeiro estipular alguns valores para x. Vamos dizer que x = –3; –2; –1; 0; 1; 2. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:

x = – 3
y = – (–3)² + (–3) – 2
y = –9 – 3 – 2
y = – 12 – 2
y = – 14

x = – 2
y = –( – 2)² + (– 2) – 2
y = – 4 – 2 – 2
y = – 8

x = –1
y = – (–1)² + (–1) – 2
y = – 1 – 1 – 2
y = – 2 – 2
y = – 4

x = 0
y = 0² + 0 – 2
y = – 2

x = 1
y = – 1² + 1 – 2
y = – 1 + 1 – 2
y = – 2


x = 2
y = – 2² + 2 – 2
y = – 4 + 2 – 2
y = – 4

Exemplo 2

Dada a função y = 2x² + x + 3, determine o conjunto imagem referente aos domínios –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4.

x = –2
y = 2*(–2)² + (–2) + 3
y = 2*4 – 2 + 3
y = 8 – 2 + 3
y = 9

x = –1
y = 2*(–1)² + (–1) + 3
y = 2 – 1 + 3
y = 4

x = 0
y = 2*0² + 0 + 3
y = 3

x = 1
y = 2*1² + 1 + 3
y = 2 + 1 + 3
y = 6

x = 2
y = 2*2² + 2 + 3
y = 8 + 2 + 3
y = 13

x = 3
y = 2*3² + 3 + 3
y = 18 + 3 + 3
y = 24

x = 4
y = 2*4² + 4 + 3
y = 32 + 4 + 3
y = 39

Exemplo 3

Com relação à função f(x) = 3x² – 5x + m² – 9, sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.

f(0) = 0, isso significa que x = 0 e y = 0. A função f(x) = 3x² – 5x + m² – 9 pode ser escrita assim: y = 3x² – 5x + m² – 9, agora basta fazer as substituições:

f(x) = 3x² – 5x + m² – 9
f(0) = 3 * 0² – 5 * 0 + m² – 9
0 = m² – 9
m² = 9
m = √9
m = – 3 ou + 3

Marcos Noé Pedro da Silva