PROGRESSÃO GEOMETRICA

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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extraído do www.mundoeducacao.com.br

PROGRESSÃO GEOMETRICA
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Progressão Geométrica (PG) é toda seqüência de números não nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior, esse quociente é chamado de razão (q) da progressão.

• Seja a seqüência: (2,4,8,16,32,...)

Observamos que:
4 = 2 x 2
8 = 4 x 2
16 = 8 x 2

- Observamos que o termo posterior é igual ao termo anterior multiplicado por um número fixo;
- Toda seqüência que tiver essa lei de formação chama-se progressão Geométrica (P.G.);
- A esse número fixo damos o nome de razão (q);

• Representação Matemática:

q = an / an-1

• Classificação:

1. (2,6,18,54,...) - P.G. Crescente ;

2. (-2,-6,-18,-54,...) - P.G. Decrescente;

3. (6,6,6,6,6,...) - P.G. Constante - q = 1 ;

4. (-2, 6, -18, 54,...) - P.G. Alternante - q < a2 =" a1" a3 =" a2" a3 =" a1" an =" a1">•

Interpolação Geométrica:

Exemplo: 1,__,__,__,__,243
a6 = a1 .q5
243= 1.q5
q = 3
Logo: (1,3,9,27,81,243);



• Soma dos Termos de uma P.G. finita:


Sn = a1 . (qn - 1) / q-1
• Soma dos Termos de uma P.G. infinita:
- Se expressões do tipo qn quando: 0 < sn =" a1">Exemplos:
1) Numa PG de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último é 486. Calcular a razão dessa PG
Resolução: n= 6
a1 = 2
a6 = 486
a6 = a1.q5
486 = 2 . q5
q = 3

Resposta: q = 3

2)Ache a progressão aritmética em que:
a1 + a2 + a3 = 7
a4 + a5 + a6 = 56

Resolução:
transformando, temos:
a1 + a1 .q + a1. q2 = 7 Þ a1 (1 + q + q2 ) = 7 I
a4 + a5 + a6 = 56 Þ a1.q3(1 + q + q2 ) = 56 II

Dividindo-se II por I :
q3 = 8 Þ q = 2
de I vem:
a1 (1 + 2 + 4) = 7 Þ a1 = 1
Resposta: (1, 2 , 4, 8, ...)

3)Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48.

Resolução: O problema consiste em formar uma PG, onde:
a1 = 3
an = 48
n = 3 + 2 = 5
Devemos, então, calcular q:
an = a1.qn-1
48 = 3 . q4
q = ±2
Para q = 2 Þ (3 , 12, 24, 48)
Para q = -2 Þ (3, -6, 12, -24, 48)


4)Dar o valor de x na igualdade x + 3x +... +729x=5465, sabendo-se que os termos do 1° membro formam uma P.G.

Resolução:
a1 = x
q = 3x/x= 3
an = 729x
Sn= 5465

Cálculo de n:

an= a1q n-1
729x = x . 3 n-1 (veja que x ¹ 0)
729 = 3 -1
36 = 3 n-1
n = 7

Sn = a1 . (qn - 1) / q-
5465 = x (37 – 1)/ (3 – 1)
x = 5

Resposta: x = 5

5) Calcular a fração geratriz da dizima 0, 3131...

Resolução:

0,3131... = 0,31 + 0,0031+ ... (uma PG)
a1 = 0,31
q = 0,01

Sn = a1 / 1-q
Sn = 0,31/1-0,01
Sn= 31/99

Resposta: A fração geratriz é da dízima é 31/99


EXERCÍCIOS


1) Determine o número de termos da PG (1,2,.....256) (R:9)

2) Qual é o primeiro termo de uma PG na qual o 11° termo é 3072 e a razão é 2? (R:3)

3) Numa PG o primeiro termo é 4 e o quarto termo é 4000. Qual é a razão dessa PG? (R:10)

4)Os cinco primeiros termos de uma progressão geométrica, cujo primeiro termo é 2 e a razão é 3 , são:
a) (2,5,8,11,14)
b) (2,6,36,72,108)
c) (2,6,18,72,144)
d) (2,6,18,54,162)
e) (2,8,36,108,216)

5) Determine o 31º termo da PG (4,6,9...)

6) Numa PG de doze termos o primeiro é igual a 5 e a razão é 2.Determine o ultimo termo.

7) Calcule o primeiro termo de uma PG, sabendo que a9 = 1280 e q=2

8) Escreva os 8 primeiros termos da progressão geometrica, cujo primeiro termo é 5 e cuja a razão é 2 (R: 05,10,20,40,80,160,320,640)

9) O numero x é positivo e os números 8, x e x + 6 formam, nessa ordem, uma progressão geométrica . calcule o x (R: 12)

10) Calcule o valor de x em cada uma das progressões geométricas abaixo
a) 4 , 12, x
b) 2, x, 50
c) x, 6, 9

11) Determine o 12° termo da PG 7,14,28,...... (R:14336)