Progressão Geométrica (P.G.) e (PA) parte I

Esta matéria aborda o conceito e propriedades de sequência ou sucessão, com ênfase nas que possui uma fórmula bem definida que permite calcular qualquer um de seus termos. Ou seja, das sequências que possuem uma lei de formação que estabelece uma relação entre o valor de seus termos e sua posição.
Especificamente, das duas mais conhecidas: a Progressão Aritmética (PA) e a Progressão Geométrica (PG), dividido em três partes (a primeira este artigo e as demais serão publicadas oportunamente):

• Parte I – teoria sobre PA;
• Parte II – teoria sobre PG;
• Parte III – exercícios resolvidos sobre PA e PG.

Mas antes precisamos conhecer a definição do que seja uma sequência ou sucessão.

Sequências ou Sucessões

Uma sequência ou sucessão é um conjunto ordenado (finito ou infinito) de elementos de qualquer natureza, em que cada elemento fica naturalmente seqüenciado.
Um conjunto ordenado é um conjunto que possui uma relação de ordem.
E uma relação de ordem é definida para pares de elementos de um conjunto S, e têm que, necessariamente, possuir três características:

• anti-simetria: para todo e , ou ;

• se e , então ;

• transitividade: se e , então .

São exemplos de sequências:

• sequência dos dias da semana: domingo; segunda-feira; terça-feira; quarta-feira; quinta-feira; sexta-feira; sábado;
• sequência dos 100 primeiros números inteiros positivos: 1; 2; 3; … ; 98; 99; 100;
• Os números de Fibonacci (esta seqüência foi descrita primeiramente por Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci (c. 1200), para descrever o crescimento de uma população de coelhos): 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…

Note que todos os exemplos possuem as três características definidas na relação de ordem.
A título de ilustração, abrindo um parênteses, apresento a seguir a fórmula recursiva que define os números de Fibonacci (n pertencente ao conjunto dos números Naturais):

Na prática: você começa com 0 e 1, e então produz o próximo número de Fibonacci somando os dois anteriores.
A representação de uma sequência é feita escrevendo-se seus elementos, ou termos, entre parênteses. Assim, o segundo exemplo acima, é representado por:

(1; 2; 3; … ; 98; 99; 100)

Da definição de sequência, onde a ordem de seus elementos é uma condição necessária, temos que:

( 1; 3; 5; 7; 9; 11) é diferente de (1; 3; 7; 5; 9; 11)

Genericamente, sua representação pode ser escrita como:

(a₁; a₂; a₃; …; a_n-1; a_n; …)

onde n pertence ao conjunto dos números naturais positivos. Os índices indicam a posição dos termos na sequência (a₁ representa o primeiro termo, a_n representa o enésimo termo, …).
Formalmente, uma sequência ou sucessão numérica pode ser definida como uma função dos números naturais menos o zero em R:

Uma sequência numérica é finita se o domínio de f é finito, isto é, i varia de 1 a n pertencente ao conjunto dos números Naturais (i = 1, 2, …, n), também conhecida como n-upla. E infinita quando o domínio é o próprio conjunto dos números Naturais positivos (i = 1, 2, …., n-1, n, …).
Três termos consecutivos qualquer de uma sequência podem ser representados por:

a_n-1, a_n, a_n+1

onde a_n-1 é o antecessor de a_n e a_n+1 é o sucessor de a_n.

Lei de Formação

Interessam à Matemática as sequências numéricas para as quais é possível estabelecer uma lei de formação, ou seja uma fórmula que permita calcular qualquer um de seus termos. Ou em outras palavras as sequências numéricas em que seus termos se sucedem obedecendo a uma regra.
Estas leis de formação podem ser apresentadas das maneiras a seguir:
a) Por Recorrência
São dadas duas ou mais regras: uma (ou mais) que define os termos iniciais da sequência e outra para calcular os demais termos a partir de antecessores.
Exemplos:

• Os números de Fibonacci: definidos a₁ = 0 e a₂ = 1 e a regra F(n-1) + F(n-2) que corresponde à soma dos dois antecessores para definir os demais termos;
• a₁ = 5, a_n = a_n-1 + 3 e n = 5: a₁ = 5, a₂ = a₁ + 3 = 8, a₃ = a₂ + 3 = 11, a₄ = a₃ + 3 = 14, a₅ = a₄ + 3 = 17 => (5; 8; 11; 14; 17)

b) Em função do índice da sequência (posição)
Exemplos:

• a_n = 2n + 3, n = 1, 2, 3, 4, 5: (5; 7; 9; 11; 13);
• a_n = 2ⁿ, n Natural diferente de zero: (2; 4; 8; 16; …).

c) Por propriedade dos termos
Exemplos:

• A sequência cujos termos são os primeiros cinco números primos: (2; 3; 5; 7; 11);
• A sequência dos números inteiros ímpares menores do que 20: (1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19).

Progressões Aritméticas (PA)

Define-se progressão aritmética como toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma de seu antecessor por um número constante r. r é denominado a razão da PA. Em símbolos:

a_n = a_n-1 + r (n >= 2)

As PA são classificadas em três tipos:
Uma PA é crescente quando r > 0, ou seja, quando cada termo é maior do que seu antecessor (claro, a partir do segundo). De fato, da definição decorre que:

a_n – a_n-1 = r > 0 <==> a_n – a_n-1 > 0 <==> a_n > a_n-1

Uma PA é constante quando r = 0, ou seja, quando cada termo é igual ao antecessor:

a_n – a_n-1 = r = 0 <==> a_n – a_n-1 = 0 <==> a_n = a_n-1

Uma PA é decrescente quando r <>

a_n – a_n-1 = r <> a_n – a_n-1 <> a_n <>n-1

Fórmula do Termo Geral de uma PA

Seja (a₁; a₂; a₃; …; a_n-1; a_n; …) uma PA qualquer de razão r. Então seu enésimo termo (a_n) é:

a_n = a₁ + (n – 1)r

Demonstração:
Sabemos, da definição de uma PA, que a diferença entre cada termo e seu antecessor é igual a razão, isto é:

a₂ – a₁ = r, a₃ – a₂ = r, a₄ – a₃ = r, …, a_n – a_n-1 = r

Somando, membro a membro, estas n – 1 igualdades, obtemos:

a₂ – a₁ + a₃ – a₂ + a₄ – a₃ + … + a_n – a_n-1 = (n – 1)r

Cancelando os termos comuns:

-a₁ + a_n = (n – 1)r => a_n = a₁ + (n – 1)r

Observações:

• Da definição decorre que uma PA fica determinada quando conhecemos o primeiro termo e a razão;
• Em uma PA finita a₁ e a_n são denominados os seus extremos e os demais termos os meios aritméticos;
• A fórmula do termo geral de uma PA nos diz que para calcular o termo de ordem n é suficiente somarmos (n – 1) vezes a razão ao primeiro termo;
• Do mesmo modo, essa fórmula permite calcular o número de termos de uma PA finita conhecendo-se seus extremos e a razão.

Termos Equidistantes dos Extremos

Dados os dois termos a_p e a_q de uma PA finita com n termos, dizemos que eles são equidistantes dos extremos se o número de termos que antecedem a_p – (p – 1) termos – é igual ao número de termos que sucedem a_q – (n – q) termos.
Da definição vem que:

p – 1 = n – q => p + q = n + 1

Essa relação nos permite dizer, por exemplo, que em uma PA finita com 30 termos, o termo 6 é equidistante do 25, uma vez que 6 + 25 = 30 + 1.

Soma dos termos de uma PA finita

Antes de deduzir a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA finita, vamos demonstrar a seguinte propriedade:
PA1. Em uma PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Demonstração:
Sejam a_p e a_q dois termos equidistantes dos extremos de uma PA finita com n termos. O que vamos provar é:

a_p + a_q = a₁ + a_n

Pela fórmula do termo geral:

a_p = a₁ + (p – 1)r e a_q = a₁ + (q – 1)r

Somando os membros das igualdades obtemos:

a_p + a_q = a₁ + (p – 1)r + a₁ + (q – 1)r = a₁ + a₁ + (p + q – 2)r

Substituindo p + q (veja definição acima):

a_p + a_q = a₁ + a₁ + (n + 1 – 2)r = a₁ + a₁ + (n – 1)r

E pela definição do termo geral de uma PA:

a_p + a_q = a₁ + a_n

PA2. A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada pela fórmula:

Demonstração:
Pela propriedade PA1 temos que (note que a soma de todos os índices de cada parcela é igual a n + 1, e portanto, equidistantes dos extremos):

a₂ + a_n-1 = a₃ + a_n-2 = … = a₁ + a_n

Por outro lado:

S_n = a₁ + a₂ + … + a_n

=> S_n + S_n = 2S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_n-1) + … + (a_n + a₁)

onde ordenamos as parcelas convenientemente, primeiro termo do primeiro S_n com o último do segundo, e assim por diante, de modo a obter n parcelas iguais a a₁ + a_n. Logo:

2S_n = (a₁ + a_n)n => S_n = [(a₁ + a_n)n]/2 c.q.d.

PA3. A soma dos n primeiros inteiros positivos é:

Demonstração:
Consequência direta de PA2, uma vez que a₁ = 1 e a_n = n.
Referências:

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001

Diagrama de Venn

O matemático inglês John Venn (1834-1923) criou os diagramas, que receberam seu sobrenome, no intuito de facilitar a compreensão na relação de união e intersecção entre conjuntos.
Para melhor entendermos a utilização dos diagramas vamos exemplificar através de uma situação problema.

Exemplo
Uma pesquisa sobre esportes favoritos, no intuito de reestruturar as aulas de Educação Física de uma escola de Ensino Médio, fora realizada com 175 alunos. Os resultados obtidos foram os seguintes:

60 alunos preferem natação
80 alunos preferem vôlei
120 alunos preferem futebol
30 alunos preferem vôlei e futebol
30 alunos preferem natação e vôlei
45 alunos preferem futebol e natação
20 alunos preferem futebol, natação e vôlei

Temos três modalidades esportivas: natação, vôlei e futebol.
Verifique que existem intersecções entre todas as modalidades, dentro delas serão colocados os dados.


Veja que os 20 alunos que preferem futebol, natação e vôlei, foram situados na intersecção dos três círculos.
120 alunos disseram que preferem futebol. No entanto, dos 120 alunos, 20 preferem as três modalidades, 25 preferem natação e futebol e 10 preferem futebol e vôlei. Portanto, 120 – 20 – 25 – 10 = 120 – 65 = 65 alunos preferem somente futebol.

80 alunos preferem vôlei. No entanto, dos 80 alunos, 20 preferem as três modalidades, 10 preferem vôlei e natação e 10 vôlei e futebol. Assim, temos que 80 – 20 – 10 – 10 = 40 alunos preferem somente vôlei.

60 alunos preferem vôlei. No entanto, dos 60 alunos, 20 preferem as três modalidades, 25 preferem natação e futebol e 10 preferem vôlei e natação. Portanto, 60 – 20 – 25 – 10 = 5 alunos preferem somente natação.

Podemos notar que o diagrama de Venn possui uma grande praticidade, pois através dele organizamos dados pesquisados e logicamente temos valores mais precisos de opiniões diversas.
Através da utilização do esquema conseguimos identificar a quantidade exata de alunos e suas preferências esportivas: natação, vôlei e futebol.
extraido de www.mundoeducacao.com.br

Estudo da reta

. ESTUDO DA RETA

COEFICIENTE ANGULAR OU DECLIVIDADE DE UMA RETA

Coeficiente angular (m) de uma reta r não perpendicular ao eixo das abscissas é o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação , ou seja:

m = tg


EQUAÇÃO DA RETA

Equação geral da reta

Toda reta do plano possui uma equação da forma:

ax + by + c = 0

na qual a, b, c são constantes e a e b não simultaneamente nulos.

Exemplos:

a) – 5x + 3y - 1 = 0

b) 9x – 4y – 13 = 0

Equação reduzida da reta

É toda equação de reta onde a variável y fica isolada. Na equação da reta na forma reduzida podemos identificar o coeficiente angular do lado da variável x e o coeficiente linear (termo independente da equação).

Exemplos:

a) y = 8x – 10

Coeficiente angular = 8

Coeficiente linear = - 10

b) y = – 4x + 12

Coeficiente angular = – 4

Coeficiente linear = 12

CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR E DA EQUAÇÃO DA RETA

Para calcular o coeficiente angular (não possuindo o valor da inclinação ) e achar a equação da reta, utiliza-se uma única fórmula:

Importante: A partir da fórmula acima, podemos determinar o coeficiente angular e a equação da reta da seguinte forma:



Coeficiente angular Equação da reta

2 valores para o y. O valor do m.

2 valores para o n. 1 valor para o n.

1 valor para o x.

Aplicação

Determine a equação da reta que passa pelos A (4, 12) e B (0, 4)

Solução:

1.º passo (cálculo do m – 2 valores para o y e 2 para o x):



2.º passo (equação da reta – o valor do m, 1 valor de y e um valor de x):,

extraido de www.colegioweb.com.br

Conjunto

www.youtube.com/accbarroso1
CONCEITO

Conjunto vazio { } ou Ø: um conjunto que não possui elementos.

Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer, pertencem a um outro conjunto B, pode-se dizer, então, que A é um subconjunto de B.

Observações:

- Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio;

- O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto.

União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B todos os elementos pertencentes a A ou B.

Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção o conjunto formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:

Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B.

Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja:

AxB = {(x,y) / x Є A ou y Є B}

Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então existirão 2n subconjuntos de A.



CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)

0, 1, 2, 3, 4, 5...



CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)

...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...



CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Qualquer número que possa ser expresso pela equação a/b desde que seja b ≠ 0: 2/3, 1/5, 5/2 ...

Observação: Existem frações que não possuem representação decimal exata, por exemplo:

5/9 = 0,555...

1/3 = 0,333...

5/3 = 0,833...

Os numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, são chamados de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Em uma dízima periódica, o período é o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente.



DÍZIMAS PERIÓDICAS - CLASSIFICAÇÃO



As dízimas periódicas podem ser simples ou compostas, por exemplo:

Nas DÍZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES o período apresenta-se logo após a vírgula:

5/9 = 0,555... (período: 5)

7/3 = 2,333... (período: 3)

4/33 = 0,1212... (período: 12)

Nas DÍZIMAS PERIÓDICAS COMPOSTAS, existe uma paste não periódica entre o período e a vírgula:

1/45 = 0,0222... (Período: 2) Parte não periódica: 0

1.039/900 = 1,15444... (Período: 4) Parte não periódica: 15

61/495 = 0,1232323... (Período: 23) Parte não periódica: 1

Observação: a parte não periódica de uma dízima é o termo situado entre vírgulas e o período, excluímos, portanto, da parte não periódica do inteir.



GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA



A fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica é chamada de geratriz da dízima periódica.

Procedimentos para determinar a geratriz de uma dízima:

Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem o período como numerador, e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período, por exemplo:

0,777... = 7/9

0,2323... = 23/99

Dízima composta

A geratriz da dízima composta é uma fração da forma n/d, onde:

n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica, e

d são tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

0,1252525... = 125-1/990 = 124/990

0,047777... = 047-04/900 = 43/900





CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I)



Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3:

UM NÚMERO IRRACIONAL BASTANTE CONHECIDO É O NÚMERO
π =3,1415926535...

EXEMPLOS DE NÚMEROS IRRACIONAIS: V2, V5, π



CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS



Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma

z = a + b i

onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária.

O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z, denotadas por:

a = Re(z) e b = Im(z)

Equações modulares

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com
http://accbarrosogestar.blogspot.com.br

Equações modulares

Tipos e estratégias de resolução

Sabemos que




Uma equação modular é aquela em que a incógnita "aparece dentro do módulo".

Vamos aqui apresentar alguns tipos de equações e suas estratégias de resolução.

Exemplo 1




O que queremos aqui é saber qual é o número cujo módulo é igual a 5. Segundo a definição de módulo, esse número pode ser 5 ou -5, pois ambos têm módulo igual a 5.
Assim, podemos dizer que "desmembramos" a equação em duas, para "tirarmos" o módulo.




Exemplo 2




Da mesma forma, devemos desmembrar a equação.




Assim, se voltarmos à igualdade inicial e substituirmos x por -5 ou 3, ela será verdadeira:




Exemplo 3




Aqui também se desmembra a equação, com o devido cuidado quanto ao sinal da expressão do segundo membro da igualdade.

resolução.

Exemplo 1




O que queremos aqui é saber qual é o número cujo módulo é igual a 5. Segundo a definição de módulo, esse número pode ser 5 ou -5, pois ambos têm módulo igual a 5.
Assim, podemos dizer que "desmembramos" a equação em duas, para "tirarmos" o módulo.




Exemplo 2




Da mesma forma, devemos desmembrar a equação.




Assim, se voltarmos à igualdade inicial e substituirmos x por -5 ou 3, ela será verdadeira:




Exemplo 3




Logo, 0 e 2 são os valores que verificam as igualdades, quando colocados no lugar de x.

Exemplo 4




Nesse caso, queremos saber qual o valor de x para que a expressão tenha módulo igual a -5. Pela definição, sabemos que o módulo não pode ser igual a um número negativo. Logo, não existe tal valor de x.
Portanto, .

Exemplo 5







Exemplo 6




É bom lembrarmos uma das propriedades do módulo, segundo a qual .

Logo, a equação pode ser reescrita da seguinte forma: .

Agora, basta usar a técnica da substituição para facilitar a resolução.







Mas ainda não encontramos a solução da equação. Devemos voltar à substituição feita anteriormente.




Portanto, o conjunto solução da equação é .

Exemplo 7




Se, para eliminar cada módulo, desmembrarmos em dois casos, teremos quatro equações, porém com dois pares de equações repetidas. Assim, para facilitarmos a resolução, consideraremos dois casos:

*Michele Viana Debus de França é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.

PROGRESSÃO GEOMETRICA

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com.br
http://accbarrosogestar.blogspot.com.br  

extraído do www.mundoeducacao.com.br

PROGRESSÃO GEOMETRICA
.
.
Progressão Geométrica (PG) é toda seqüência de números não nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior, esse quociente é chamado de razão (q) da progressão.

• Seja a seqüência: (2,4,8,16,32,...)

Observamos que:
4 = 2 x 2
8 = 4 x 2
16 = 8 x 2

- Observamos que o termo posterior é igual ao termo anterior multiplicado por um número fixo;
- Toda seqüência que tiver essa lei de formação chama-se progressão Geométrica (P.G.);
- A esse número fixo damos o nome de razão (q);

• Representação Matemática:

q = an / an-1

• Classificação:

1. (2,6,18,54,...) - P.G. Crescente ;

2. (-2,-6,-18,-54,...) - P.G. Decrescente;

3. (6,6,6,6,6,...) - P.G. Constante - q = 1 ;

4. (-2, 6, -18, 54,...) - P.G. Alternante - q < a2 =" a1" a3 =" a2" a3 =" a1" an =" a1">•

Interpolação Geométrica:

Exemplo: 1,__,__,__,__,243
a6 = a1 .q5
243= 1.q5
q = 3
Logo: (1,3,9,27,81,243);



• Soma dos Termos de uma P.G. finita:


Sn = a1 . (qn - 1) / q-1
• Soma dos Termos de uma P.G. infinita:
- Se expressões do tipo qn quando: 0 < sn =" a1">Exemplos:
1) Numa PG de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último é 486. Calcular a razão dessa PG
Resolução: n= 6
a1 = 2
a6 = 486
a6 = a1.q5
486 = 2 . q5
q = 3

Resposta: q = 3

2)Ache a progressão aritmética em que:
a1 + a2 + a3 = 7
a4 + a5 + a6 = 56

Resolução:
transformando, temos:
a1 + a1 .q + a1. q2 = 7 Þ a1 (1 + q + q2 ) = 7 I
a4 + a5 + a6 = 56 Þ a1.q3(1 + q + q2 ) = 56 II

Dividindo-se II por I :
q3 = 8 Þ q = 2
de I vem:
a1 (1 + 2 + 4) = 7 Þ a1 = 1
Resposta: (1, 2 , 4, 8, ...)

3)Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48.

Resolução: O problema consiste em formar uma PG, onde:
a1 = 3
an = 48
n = 3 + 2 = 5
Devemos, então, calcular q:
an = a1.qn-1
48 = 3 . q4
q = ±2
Para q = 2 Þ (3 , 12, 24, 48)
Para q = -2 Þ (3, -6, 12, -24, 48)


4)Dar o valor de x na igualdade x + 3x +... +729x=5465, sabendo-se que os termos do 1° membro formam uma P.G.

Resolução:
a1 = x
q = 3x/x= 3
an = 729x
Sn= 5465

Cálculo de n:

an= a1q n-1
729x = x . 3 n-1 (veja que x ¹ 0)
729 = 3 -1
36 = 3 n-1
n = 7

Sn = a1 . (qn - 1) / q-
5465 = x (37 – 1)/ (3 – 1)
x = 5

Resposta: x = 5

5) Calcular a fração geratriz da dizima 0, 3131...

Resolução:

0,3131... = 0,31 + 0,0031+ ... (uma PG)
a1 = 0,31
q = 0,01

Sn = a1 / 1-q
Sn = 0,31/1-0,01
Sn= 31/99

Resposta: A fração geratriz é da dízima é 31/99


EXERCÍCIOS


1) Determine o número de termos da PG (1,2,.....256) (R:9)

2) Qual é o primeiro termo de uma PG na qual o 11° termo é 3072 e a razão é 2? (R:3)

3) Numa PG o primeiro termo é 4 e o quarto termo é 4000. Qual é a razão dessa PG? (R:10)

4)Os cinco primeiros termos de uma progressão geométrica, cujo primeiro termo é 2 e a razão é 3 , são:
a) (2,5,8,11,14)
b) (2,6,36,72,108)
c) (2,6,18,72,144)
d) (2,6,18,54,162)
e) (2,8,36,108,216)

5) Determine o 31º termo da PG (4,6,9...)

6) Numa PG de doze termos o primeiro é igual a 5 e a razão é 2.Determine o ultimo termo.

7) Calcule o primeiro termo de uma PG, sabendo que a9 = 1280 e q=2

8) Escreva os 8 primeiros termos da progressão geometrica, cujo primeiro termo é 5 e cuja a razão é 2 (R: 05,10,20,40,80,160,320,640)

9) O numero x é positivo e os números 8, x e x + 6 formam, nessa ordem, uma progressão geométrica . calcule o x (R: 12)

10) Calcule o valor de x em cada uma das progressões geométricas abaixo
a) 4 , 12, x
b) 2, x, 50
c) x, 6, 9

11) Determine o 12° termo da PG 7,14,28,...... (R:14336)

Conjunto

Quando falamos de operação lembramos logo de adição, subtração, divisão, multiplicação entre números. É possível também operar conjuntos.
Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença de conjunto, Conjunto complementar.
Todas essas operações são representadas por símbolos diferentes, veja a representação de cada uma delas.

► União de conjuntos
Dado dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7}, a união deles seria pegar todos os elementos de A e de B e unir em apenas um conjunto (sem repetir os elementos comuns). O conjunto que irá representar essa união ficará assim: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

A representação da união de conjuntos é feita pelo símbolo U. Então,
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

►Intersecção de conjuntos
Quando queremos a intersecção de dois conjuntos é o mesmo que dizer que queremos os elementos que eles têm em comum.
Dado dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}, a intersecção é representada pelo símbolo ∩, então A ∩ B = {5, 6}, pois 5 e 6 são elementos que pertencem aos dois conjuntos.

Se dois conjuntos não tem nenhum elemento comum a intersecção deles será um conjunto vazio.

Dentro da interseção de conjuntos há algumas propriedades:
1) A intersecção de um conjunto por ele mesmo é o próprio conjunto: A ∩ A = A
2) A propriedade comutatividade na intersecção de dois conjuntos é:
A ∩ B = B ∩ A.
3) A propriedade associativa na intersecção de conjuntos é:
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

► Diferença entre conjunto
Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e o conjunto B = {5, 6, 7} a diferença desses conjuntos é representada por outro conjunto, chamado de conjunto diferença.

Então A – B serão os elementos do conjunto A menos os elementos que pertencerem ao conjunto B.
Portanto A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.

►Conjunto complementar
Conjunto complementar está relacionado com a diferença de conjunto.
Achamos um conjunto complementar quando, por exemplo, dado um conjunto A e B e o conjunto B A, então B é complementar em relação a A.

A = {2, 3, 5, 6, 8}

B = {6,8}
B A, então o conjunto complementar será CAB = A – B = {2, 3, 5}.

Introdução ao estudo dos conjuntos

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia

Professor Antonio Carlos carneiro Barroso

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com.br e HTTP://accbarroso60.wordpress.com
www.accbarrosogestar.wordpress.com 

Introdução ao estudo dos conjuntos

Por Marcelo Rigonatto

Teoria de conjuntos

O estudo sobre teoria dos conjuntos é atribuído ao russo George Ferdinand Cantor (1845 – 1918). Podemos definir conjunto como sendo um agrupamento de elementos com características comuns. Compreender a teoria de conjuntos é fundamental para resolução de diversas situações-problema da matemática.

Os conjuntos são representados sempre por uma letra maiúscula do alfabeto e podem ser expressos das seguintes formas:

1. Por extenso: A = {6, 8, 10, 12, 14}
2. Por descrição: B = {x: x é um número ímpar maior que 7} → lê-se: B é um conjunto formado por elementos x, tal que x é um número ímpar maior que 7.
3. Pelo diagrama de Venn-Euler:

Um conjunto pode: apresentar infinitos elementos, sendo classificado como conjunto infinito; apresentar um número finito de elementos, denominado de conjunto finito; apresentar somente um elemento, sendo chamado de conjunto unitário; ou não possuir nenhum elemento, sendo classificado como conjunto vazio. Vejamos alguns exemplos de cada um desses conjuntos.

1. Conjunto Infinito
A = {x: x é um número par} = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...}

2. Conjunto Finito
B = {x: x é um número par menor que 11} = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

3. Conjunto Unitário
C = {x: x é um número primo e par} = {2}

4. Conjunto Vazio
D = {x: x é um número primo menor que 2} = { } = ø

Relação de pertinência

A relação de pertinência é utilizada para determinar se um elemento pertence ou não a um determinado conjunto. Para isso utilizamos os símbolos:


Exemplo 1: Dado o conjunto A = {5, 9, 13, 17, 21, 25, 29}, temos que:


A relação de pertinência é utilizada somente para comparação de elemento com conjunto.

Relação de inclusão

A relação de inclusão é utilizada para verificar se um conjunto está ou não contido em outro, ou seja, se um é subconjunto do outro, utilizando para isso os símbolos:


Dizemos que um conjunto A está contido num conjunto B quando todos os elementos de A pertencem também a B.

Exemplo 2: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7} e C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, podemos dizer que:


Quando ocorrer de , dizemos que A é um subconjunto de B.

Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, define-se produto cartesiano, representado por A x B (lê-se A cartesiano B), como sendo o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde os valores de x são compostos por elementos do conjunto A e os valores de y compostos por elementos do conjunto B.

Exemplo 3: Seja A = {2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5}, temos que:

A x B = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (6, 1), (6, 3), (6, 5), (8, 1), (8, 3), (8, 5)}

Note que B x A é diferente de A x B:

B x A = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (3, 8), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (5, 8)}

Exemplo 4: Sendo A = {m, n, p} e B = {10, 11}, temos que:

A x B = {(m, 10), (m, 11), (n, 10), (n, 11), (p, 10), (p, 11)}
B x A = {(10, m), (10, n), (10, p), (11, m), (11, n), (11, p)}