terça-feira, 25 de fevereiro de 2020
Equação de 1º grau
Equação do 1º grau
Equação é qualquer igualdade que só é satisfeita para alguns valores dos seus domínios.
Ex: 2x – 5 = 3 » o número desconhecido x recebe o nome de incógnita
De princípio, sem conhecer o valor da incógnita x, não podemos afirmar se essa igualdade é verdadeira ou falsa.
Porém podemos verificar facilmente que a equação acima se torna verdadeira para x = 4.
2x – 5 = 3 » 2x = 8 » x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto solução (S) é 4.
Equação do 1º grau
Chamamos equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma
ax + b = 0 , onde a é diferente de 0.
ax + b = 0 ( a e b são números reais e a 0 )
Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando a propriedade:
ax + b = 0 » ax = -b
x = -b / a
* Convém lembrar que podemos transformar uma equação em outra equação equivalente mais simples. Podemos adicionar ou subtrair um mesmo número a ambos os membros da igualdade. E multiplicar ou dividir ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero.
Ex: x – 5 = 0 » x –5 + 3 = 0 + 3 » x = 5
4x = 8 » 3.4x = 3.8 » x = 2
Resolução de equações do 1º grau:
Resolver uma equação significa encontrar valores de seus domínios que a satisfazem.
Para resolver equações do 1º grau, basta colocar as incógnitas de um lado do sinal (=) e os "números" do outro.
Para assimilarmos, vamos resolver alguns exemplos.
Determine o valor da incógnita x:
a) 2x – 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 » V = {9}
b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)
3 –7 + 14x = 5 – x – 9
14x + x = 5 – 9 – 3 + 7
15x= 0
x = 0 » V= {0}
O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado do sinal (=) e as incógnitas do outro é apenas um "macete". Vamos ver o que realmente ocorre:
Numa equação:
2x + 8 = 10
Adicionamos -8 a ambos os lados, afim de deixarmos o valor de 2x "sozinho". Observem:
2x + 8 - 8 = 10 - 8
2x = 2
x = 1
V={1}
A resolução acima é a exposição do que ocorre na resolução de equações do 1º grau. O "macete" de "jogar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizarmos a resolução.
Antonio Carlos Carneiro Barroso
HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com
Email accbarroso@hotmail.com
Equação é qualquer igualdade que só é satisfeita para alguns valores dos seus domínios.
Ex: 2x – 5 = 3 » o número desconhecido x recebe o nome de incógnita
De princípio, sem conhecer o valor da incógnita x, não podemos afirmar se essa igualdade é verdadeira ou falsa.
Porém podemos verificar facilmente que a equação acima se torna verdadeira para x = 4.
2x – 5 = 3 » 2x = 8 » x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto solução (S) é 4.
Equação do 1º grau
Chamamos equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma
ax + b = 0 , onde a é diferente de 0.
ax + b = 0 ( a e b são números reais e a 0 )
Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando a propriedade:
ax + b = 0 » ax = -b
x = -b / a
* Convém lembrar que podemos transformar uma equação em outra equação equivalente mais simples. Podemos adicionar ou subtrair um mesmo número a ambos os membros da igualdade. E multiplicar ou dividir ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero.
Ex: x – 5 = 0 » x –5 + 3 = 0 + 3 » x = 5
4x = 8 » 3.4x = 3.8 » x = 2
Resolução de equações do 1º grau:
Resolver uma equação significa encontrar valores de seus domínios que a satisfazem.
Para resolver equações do 1º grau, basta colocar as incógnitas de um lado do sinal (=) e os "números" do outro.
Para assimilarmos, vamos resolver alguns exemplos.
Determine o valor da incógnita x:
a) 2x – 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 » V = {9}
b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)
3 –7 + 14x = 5 – x – 9
14x + x = 5 – 9 – 3 + 7
15x= 0
x = 0 » V= {0}
O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado do sinal (=) e as incógnitas do outro é apenas um "macete". Vamos ver o que realmente ocorre:
Numa equação:
2x + 8 = 10
Adicionamos -8 a ambos os lados, afim de deixarmos o valor de 2x "sozinho". Observem:
2x + 8 - 8 = 10 - 8
2x = 2
x = 1
V={1}
A resolução acima é a exposição do que ocorre na resolução de equações do 1º grau. O "macete" de "jogar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizarmos a resolução.
Antonio Carlos Carneiro Barroso
HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com
Email accbarroso@hotmail.com
Divisão de Polinômios
A operação de divisões é composta por dividendo, divisor, quociente e resto, no caso da divisão de polinômio por polinômio, considerando que cada um deles seja formado por mais de um monômio, iremos considerar a seguinte divisão:
P(x) |G(x)
R(x) D(x)
Onde P(x) é o dividendo; G(x) divisor; D(x) quociente e R(x) resto.
OBSERVAÇÃO: O resto em uma divisão de polinômio por polinômio pode ser:
• Igual à zero, nesse caso a divisão é exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor.
• Ou o resto pode ser diferente de zero, podendo assumir um valor real ou pode ser um polinômio, nesse caso será considerado resto um valor ou polinômio menor que o divisor.
A explicação de divisão de polinômio por polinômio será feita através de um exemplo, onde todos os passos tomados serão explicados.
Exemplo: resolva a seguinte divisão (6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5) : (2x2 – 4x + 5).
Antes de iniciarmos o processo da divisão é preciso fazer algumas verificações:
• Verificar se tanto o dividendo como o divisor está em ordem conforme as potências de x.
• Verificar se no dividendo, não está faltando nenhum termo, se estiver é preciso completar.
Feita as verificações podemos iniciar a divisão.
O dividendo possui 5 monômios (termos) e o divisor possui 3 monômios (termos).
6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 | 2x2 – 4x + 5
• Iremos dividir o 1º termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor:
6x4 : 2x2 = 3x2
• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor).
(2x2 – 4x + 5) . (3x2) = 6x4 – 12x3 + 15x2
• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 (dividendo).
• Agora iremos levar em consideração o polinômio 2x3 – 6x2 + 9x - 5 e iremos dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x2 – 4x + 5).
2x3 : 2x2 = x
• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor)
(2x2 – 4x + 5) . (x) = 2x3 – 4x2 + 5x
• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 2x3 – 6x2 + 9x – 5.
• Agora iremos levar em consideração o polinômio -2x2 +4x - 5e dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x2 – 4x + 5).
-2x2 : 2x2 = -1
• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor)
(2x2 – 4x + 5) . (-1) = - 2x2 + 4x - 5
• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio -2x2 +4x – 5.
Portando, podemos dizer que (6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5) : (2x2 – 4x + 5) = 3x2 +x – 1, com resto igual a zero. Caso queira fazer a prova real, basta multiplicar (3x2 +x – 1) por 2x2 – 4x + 5 e verificar se a solução será 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5. Nesse caso, como o resto é zero, não é preciso somá-lo ao produto.
P(x) |G(x)
R(x) D(x)
Onde P(x) é o dividendo; G(x) divisor; D(x) quociente e R(x) resto.
OBSERVAÇÃO: O resto em uma divisão de polinômio por polinômio pode ser:
• Igual à zero, nesse caso a divisão é exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor.
• Ou o resto pode ser diferente de zero, podendo assumir um valor real ou pode ser um polinômio, nesse caso será considerado resto um valor ou polinômio menor que o divisor.
A explicação de divisão de polinômio por polinômio será feita através de um exemplo, onde todos os passos tomados serão explicados.
Exemplo: resolva a seguinte divisão (6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5) : (2x2 – 4x + 5).
Antes de iniciarmos o processo da divisão é preciso fazer algumas verificações:
• Verificar se tanto o dividendo como o divisor está em ordem conforme as potências de x.
• Verificar se no dividendo, não está faltando nenhum termo, se estiver é preciso completar.
Feita as verificações podemos iniciar a divisão.
O dividendo possui 5 monômios (termos) e o divisor possui 3 monômios (termos).
6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 | 2x2 – 4x + 5
• Iremos dividir o 1º termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor:
6x4 : 2x2 = 3x2
• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor).
(2x2 – 4x + 5) . (3x2) = 6x4 – 12x3 + 15x2
• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 (dividendo).
• Agora iremos levar em consideração o polinômio 2x3 – 6x2 + 9x - 5 e iremos dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x2 – 4x + 5).
2x3 : 2x2 = x
• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor)
(2x2 – 4x + 5) . (x) = 2x3 – 4x2 + 5x
• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 2x3 – 6x2 + 9x – 5.
• Agora iremos levar em consideração o polinômio -2x2 +4x - 5e dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x2 – 4x + 5).
-2x2 : 2x2 = -1
• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor)
(2x2 – 4x + 5) . (-1) = - 2x2 + 4x - 5
• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio -2x2 +4x – 5.
Portando, podemos dizer que (6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5) : (2x2 – 4x + 5) = 3x2 +x – 1, com resto igual a zero. Caso queira fazer a prova real, basta multiplicar (3x2 +x – 1) por 2x2 – 4x + 5 e verificar se a solução será 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5. Nesse caso, como o resto é zero, não é preciso somá-lo ao produto.
PRODUTOS NOTÁVEIS
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email
accbarroso@hotmail.com
Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente.
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)
_______________= a² + ab+ ab + b²
_______________= a² + 2ab + b²
Conclusão:
(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²
Exemplos :
1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²
2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²
Exercícios
1) Calcule
a) (3 + x)² = ( R: 9 + 6x +x²)b) (x + 5)² = ( R: x² + 10x + 25)
c) ( x + y)² = ( R: x² + 2xy +y²)
d) (x + 2)² = ( R: x² + 4x + 4)
e) ( 3x + 2)² = ( R: 9x² + 12x +4)
f) (2x + 1)² = (R: 4x² + 4x + 1)
g) ( 5+ 3x)² = (R: 25 + 30x + 9x²)
h) (2x + y)² = (R: 4x² + 4xy + y²)
i) (r + 4s)² = (R: r² + 8rs + 16s²)j) ( 10x + y)² = (R: 100x² + 20xy + y²)l) (3y + 3x)² = (R: 9y² + 18xy + 9x²)m) (-5 + n)² = (R: 25 -10n + n²)
n) (-3x + 5)² = (R: 9x² - 30x + 25)
o) (a + ab)² = (R: a² + 2a²b + a²b²)
p) (2x + xy)² = (R: 4x² + 4x²y + x²y²)
q) (a² + 1)² = (R: (a²)² + 2a² + 1)r) (y³ + 3)² = [R: (y³)² + 6y³ + 9]s) (a² + b²)² = [R: (a²)² + 2a²b² + (b²)²]
t) ( x + 2y³)² = [R: x² + 4xy³ + 4(y³)²]
u) ( x + ½)² = (R: x² +x + 1/4)
v) ( 2x + ½)² = (R: 4x² + 2x + 1/4)x) ( x/2 +y/2)² = [R: x²/4 + 2xy/4 + y²/4]
QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)
______________= a² - ab- ab + b²
______________= a² - 2ab + b²
Conclusão:
(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²
1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²
2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²
Exercícios
1) Calcule
a) ( 5 – x)² = (R: 25 – 10x + x²)b) (y – 3)² = (R: y² - 6y + 9)c) (x – y)² = (R: x² - 2xy + y²)
d) ( x – 7)² = (R: x² - 14x + 49)e) (2x – 5) ² = (R: 4x² - 20 x + 25)f) (6y – 4)² = (R: 36y² - 48y + 16)
g) (3x – 2y)² = (R: 9x² - 12xy + 4y²)h) (2x – b)² = (R: 4x² - 4xb + b²)
i) (5x² - 1)² = [R: 25(x²)² - 10x² + 1)
j) (x² - 1)² =
l) (9x² - 1)² =
m) (x³ - 2)² =
n) (2m⁵ - 3)² =
o) (x – 5y³)² =
p) (1 - mx)² =
q) (2 - x⁵)² =
r) (-3x – 5)² =
s) (x³ - m³)² =
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS(a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b²
conclusão:
(primeiro termo)² - (segundo termo)²
Exemplos :
1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25
2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²
EXERCÍCIOS
1) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:
a) (x + y) . ( x - y) = (R : x² - y²)b) (y – 7 ) . (y + 7) = ( R : x² - 49)
c) (x + 3) . (x – 3) = ( R: x² - 9)
d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = ( R: 4x² - 25)
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) = ( R: 9x² - 4 )
f) (5x + 4 ) . (5x – 4) = ( R: 25x² - 16)g) (3x + y ) (3x – y) = (R: 9x² - y² )h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = ( R: 1 - 25x² )i) (2x + 3y) . (2x – 3y) = ( R: 4x² - 9y² )j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = (R: 49 - 36x²)
l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) =
m) (3x² - 4 ) ( 3x² + 4) =
n) (3x² - y²) . ( 3x² + y²) =
o) (x + 1/2 ) . ( x – 1/2 ) =
p)(x – 2/3) . ( x + 2/3) =
q)( x/4 + 2/3) . ( x/4 – 2/3) =
CUBO DA SOMA OU DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
.
Exemplo
a) (a + b)³ = (a + b) . (a + b)²
------------=(a + b) . (a² + 2ab + b²)
-------------= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
-------------= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
b) (a – b)³ = (a - b) . (a – b)²
-------------= ( a – b) . ( a² - 2ab + b²)
------------ = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³
------------ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
c) ( x + 5 )³ = x³ + 3x²5 + 3x5² + 5 ³
-------------- = x³ + 15x² + 75x +125
d) (2x – y )³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3(2x)y² - y³
--------------- = 8x³ - 3(4x²)y + 6xy² - y³
--------------- = 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³
EXERCICIOS
1) Desenvolva
a) ( x + y)³ = (R: x³ + 3x²y + 3xy² + y³)
b) (x – y)³ = (R: x³ - 3x²y + 3xy² - y³)
c) (m + 3)³ = ( R: m³ + 9m² + 27m +27)
d) (a – 1 )³ = (R: a³ - 3a² + 3a -1)
e) ( 5 – x)³ = (R: 125 - 75x + 15x² -x³)f) (-a - b)³
g) (x + 2y)³
h) ( 2x – y )³
i) (1 + 2y)³
j) ( x – 2x)³
k) ( 1 – pq)³
l) (x – 1)³
m) ( x + 2 )³
n) ( 2x – 1)³
o) ( 2x + 5 )³
p) (3x – 2 )³
http://jmpmat3.blogspot.com/
Adição de números Inteiros
Na soma de dois números inteiros com sinais iguais, o valor absoluto será a soma das parcelas, e o sinal será o mesmo das parcelas.
Exemplo: (+ 5) + (+ 4) = + 9
(- 5) + (- 4) = - 9
Na soma de dois números inteiros com sinais diferentes, o valor absoluto será a diferença das parcelas e o sinal será o da parcela de maior valor absoluto.
Exemplo: (- 5) + (+ 4) = - 1
A Soma de dois números inteiros opostos é ZERO.
Exemplo: (+ 10) + (- 10) = 0
Simplificando a escrita:
a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjh-6fJsAdHFmvgzUostGtucG7L2Nfh1PrIHTjCVxBDGzqlugcHsflS1G0QYQmHrarGU41jvAPfLLkYVPwz7w9dU4lN4yNwZzfISyl9XU3P4qIO2-mM_r_ZjCImCwXgg0dG6GUAU_oB-Ew/s1600/soma.JPG">
Propriedades da Adição:
►Propriedade do fechamento
(+15) + (+8) = +23
(-34) + (+20) = -14
(-60) + (+60) = 0
A soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
► Propriedade Comutativa
(+20) + (-43) = -23
(-43) + (+20) = -23
(+20) + (-43) = (-43) + (+20)
A ordem das parcelas não altera a soma
► Propriedade Associativa
[(+10) + (-6)] + (-80) (+10) + [(-6) + (-80)] =
= (+4) + (-80) = -76 (+10) + (-86) = -76
Numa adição de três ou mais parcelas, podemos associar as parcelas de formas diferentes, que os resultados serão iguais.
►Elemento Neutro
(-32) + 0 = 0 + (-32) = -32
(+250) + 0 = 0 + (+250) = +250
A subtração é uma operação básica da Matemática, sendo representada pelo sinal de –. O desenvolvimento da subtração entre números Naturais é de certa forma bem simples. Observe os exemplos:
10 – 2 = 8
12 – 6 = 6
22 – 10 = 12
52 – 12 = 40
101 – 10 = 91
200 – 189 = 11
As operações de subtração envolvendo os números Inteiros requerem algumas situações teóricas que relacionam os possíveis sinais operatórios. Para realizar a subtração entre os números inteiros precisamos ter conhecimento sobre o módulo de um número. Módulo de um número inteiro é calculado obtendo o seu valor real. Observe:
Módulo de +1: representado por |+1| = 1
| – 3| = 3
| – 7| = 7
Regras operatórias:
Sinais iguais: soma e conserva o sinal.
Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo.
Operações sem parênteses
+ 10 – 7 = + 3 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)
– 3 – 3 = – 6 (Sinais iguais: soma e conserva o sinal)
+ 20 – 30 = – 10 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)
– 12 + 3 = – 9 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)
– 9 + 9 = 0 (operação entre números opostos, resultado sempre será 0)
– 25 + 24 = – 1 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)
Operações com parênteses
Nesse caso, as operações de subtração podem ser resolvidas eliminando os parênteses, isso será feito aplicando algumas regras que envolvem jogo de sinal, observe:
+ (+) = +
+ (–) = –
– (+) = –
– (–) = +
Eliminado os parênteses, passa a valer as regras operatórias:
(+10) – (–23) = +10 + 23 = + 33
(+20) – (+12) = +20 – 12 = + 8
(–32) + (–5) = – 32 – 5 = – 37
(–27) – (–30) = –27 + 30 = + 3
O zero é o elemento neutro da adição.
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Exemplo: (+ 5) + (+ 4) = + 9
(- 5) + (- 4) = - 9
Na soma de dois números inteiros com sinais diferentes, o valor absoluto será a diferença das parcelas e o sinal será o da parcela de maior valor absoluto.
Exemplo: (- 5) + (+ 4) = - 1
A Soma de dois números inteiros opostos é ZERO.
Exemplo: (+ 10) + (- 10) = 0
Simplificando a escrita:
a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjh-6fJsAdHFmvgzUostGtucG7L2Nfh1PrIHTjCVxBDGzqlugcHsflS1G0QYQmHrarGU41jvAPfLLkYVPwz7w9dU4lN4yNwZzfISyl9XU3P4qIO2-mM_r_ZjCImCwXgg0dG6GUAU_oB-Ew/s1600/soma.JPG">
Propriedades da Adição:
►Propriedade do fechamento
(+15) + (+8) = +23
(-34) + (+20) = -14
(-60) + (+60) = 0
A soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
► Propriedade Comutativa
(+20) + (-43) = -23
(-43) + (+20) = -23
(+20) + (-43) = (-43) + (+20)
A ordem das parcelas não altera a soma
► Propriedade Associativa
[(+10) + (-6)] + (-80) (+10) + [(-6) + (-80)] =
= (+4) + (-80) = -76 (+10) + (-86) = -76
Numa adição de três ou mais parcelas, podemos associar as parcelas de formas diferentes, que os resultados serão iguais.
►Elemento Neutro
(-32) + 0 = 0 + (-32) = -32
(+250) + 0 = 0 + (+250) = +250
A subtração é uma operação básica da Matemática, sendo representada pelo sinal de –. O desenvolvimento da subtração entre números Naturais é de certa forma bem simples. Observe os exemplos:
10 – 2 = 8
12 – 6 = 6
22 – 10 = 12
52 – 12 = 40
101 – 10 = 91
200 – 189 = 11
As operações de subtração envolvendo os números Inteiros requerem algumas situações teóricas que relacionam os possíveis sinais operatórios. Para realizar a subtração entre os números inteiros precisamos ter conhecimento sobre o módulo de um número. Módulo de um número inteiro é calculado obtendo o seu valor real. Observe:
Módulo de +1: representado por |+1| = 1
| – 3| = 3
| – 7| = 7
Regras operatórias:
Sinais iguais: soma e conserva o sinal.
Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo.
Operações sem parênteses
+ 10 – 7 = + 3 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)
– 3 – 3 = – 6 (Sinais iguais: soma e conserva o sinal)
+ 20 – 30 = – 10 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)
– 12 + 3 = – 9 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)
– 9 + 9 = 0 (operação entre números opostos, resultado sempre será 0)
– 25 + 24 = – 1 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo)
Operações com parênteses
Nesse caso, as operações de subtração podem ser resolvidas eliminando os parênteses, isso será feito aplicando algumas regras que envolvem jogo de sinal, observe:
+ (+) = +
+ (–) = –
– (+) = –
– (–) = +
Eliminado os parênteses, passa a valer as regras operatórias:
(+10) – (–23) = +10 + 23 = + 33
(+20) – (+12) = +20 – 12 = + 8
(–32) + (–5) = – 32 – 5 = – 37
(–27) – (–30) = –27 + 30 = + 3
O zero é o elemento neutro da adição.
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Progressão Geométrica
Progressão Geométrica é uma sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante denominada de razão. Por exemplo, na sequência 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1 458, 4 374, 13 122, a razão é igual a 3, pois:
2 * 3 = 6
6 * 3 = 18
18 * 3 = 54
54 * 3 = 162
162 * 3 = 486
486 * 3 = 1 458
1 458 * 3 = 4 374
4 374 * 3 = 13 122
Podemos determinar os elementos de uma Progressão Geométrica utilizando uma expressão algébrica matemática. Observe:
an = termo procurado
a1 = primeiro elemento
q = razão da progressão
n = número de elementos da progressão
Exemplo 1
Determine o 6º termo de uma progressão geométrica que possui razão 2 e primeiro termo igual a 4.
an = ?
a1 = 4
q = 2
n = 6
O 6º da progressão geométrica é igual a 128.
Exemplo 2
Considerando que uma progressão geométrica possui a1 = 8 e razão (q) igual a 3. Determine o valor do 7º termo.
O sétimo termo da progressão geométrica é 5832.
Uma importante aplicação dos conceitos de progressão geométrica, diz respeito à Matemática Financeira e os assuntos relacionados ao cálculo de juros compostos. Temos que a expressão matemática utilizada no regime de juros compostos é dada por M = C * (1 + i)t, onde a parte (1 + i)t que determina o fator de correção da aplicação é uma progressão geométrica. Observe:
Exemplo 3
Um capital de R$ 4 500,00 foi aplicado a taxa de 1,5% ao mês durante 12 meses. Determine o valor do Montante ao final da aplicação.
Obs.: 1,5% = 1,5/100 = 0,015
M = 4 500 * (1 + 0,015)t
M = 4 500 * 1,01512
M = 4 500 * 1,19561817
M = 5 380,28
Veja os fatores de correção durante os meses decorrentes da aplicação:
1º mês = 1,015
2º mês = 1,0302250
3º mês = 1,04567838
4º mês = 1,06126355
5º mês = 1,07728400
6º mês = 1,09344326
7º mês = 1,10984491
8º mês = 1,12649259
9º mês = 1,14338998
10º mês = 1,16054083
11º mês = 1,17794894
12º mês = 1,19561817
Observe que os fatores de correção mês a mês correspondem a uma progressão geométrica de razão 1,015. Veja:
1º mês = 1,015
2º mês = 1,015 * 1,015 = 1,0302250
3º mês = 1,0302250 * 1,015 = 1,04567838, e assim sucessivamente.
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2 * 3 = 6
6 * 3 = 18
18 * 3 = 54
54 * 3 = 162
162 * 3 = 486
486 * 3 = 1 458
1 458 * 3 = 4 374
4 374 * 3 = 13 122
Podemos determinar os elementos de uma Progressão Geométrica utilizando uma expressão algébrica matemática. Observe:
an = termo procurado
a1 = primeiro elemento
q = razão da progressão
n = número de elementos da progressão
Exemplo 1
Determine o 6º termo de uma progressão geométrica que possui razão 2 e primeiro termo igual a 4.
an = ?
a1 = 4
q = 2
n = 6
O 6º da progressão geométrica é igual a 128.
Exemplo 2
Considerando que uma progressão geométrica possui a1 = 8 e razão (q) igual a 3. Determine o valor do 7º termo.
O sétimo termo da progressão geométrica é 5832.
Uma importante aplicação dos conceitos de progressão geométrica, diz respeito à Matemática Financeira e os assuntos relacionados ao cálculo de juros compostos. Temos que a expressão matemática utilizada no regime de juros compostos é dada por M = C * (1 + i)t, onde a parte (1 + i)t que determina o fator de correção da aplicação é uma progressão geométrica. Observe:
Exemplo 3
Um capital de R$ 4 500,00 foi aplicado a taxa de 1,5% ao mês durante 12 meses. Determine o valor do Montante ao final da aplicação.
Obs.: 1,5% = 1,5/100 = 0,015
M = 4 500 * (1 + 0,015)t
M = 4 500 * 1,01512
M = 4 500 * 1,19561817
M = 5 380,28
Veja os fatores de correção durante os meses decorrentes da aplicação:
1º mês = 1,015
2º mês = 1,0302250
3º mês = 1,04567838
4º mês = 1,06126355
5º mês = 1,07728400
6º mês = 1,09344326
7º mês = 1,10984491
8º mês = 1,12649259
9º mês = 1,14338998
10º mês = 1,16054083
11º mês = 1,17794894
12º mês = 1,19561817
Observe que os fatores de correção mês a mês correspondem a uma progressão geométrica de razão 1,015. Veja:
1º mês = 1,015
2º mês = 1,015 * 1,015 = 1,0302250
3º mês = 1,0302250 * 1,015 = 1,04567838, e assim sucessivamente.
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Carboidratos
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
Os carboidratos, também conhecidos por hidratos de carbono (hidrocarbonetos), glucídeos, glicídeos ou açúcares, pertencem à classe de substâncias orgânicas, cujas moléculas são formadas por átomos de carbono, hidrogênio e oxigênio.
Esses elementos, nas substâncias mais simples, quimicamente se organizam na proporção de 1 / 2 / 1, isto é: um átomo de carbono, para dois átomos de hidrogênio, para um átomo de oxigênio. Possuindo fórmula molecular geral representada por C(H2O)n ou CnH2nOn, onde “n” simboliza a quantidade de carbonos na molécula.
Podem ser classificados em três grupos:
Monossacarídeos → unidade mais simples dos glícideos (monômeros), não catabolizados pelo processo digestivo, reunindo a seguinte subdivisão:
- as trioses, moléculas com três átomos de carbonos (n = 3) C3H6O3;
- as tetroses, moléculas com quatro átomos de carbonos (n = 4) C4H8O4;
- as pentoses, moléculas com cinco átomos de carbonos (n = 5) C5H10O5;
- e as hexoses, moléculas com seis átomos de carbonos (n = 6) C6H12O6;
Dessa classe, as pentoses e as hexoses são as mais importantes para o organismo, desempenhando função estrutural e energética, na composição de açúcares como a riboses, desoxirribose (pentoses que irão compor os ácidos nucléicos) e a glicose, frutose e galactose (hexoses fornecedoras de energia para o metabolismo celular).
A fórmula geral é padrão, diferenciando as moléculas conforme o arranjo das ligações entre os átomos.
Dissacarídeos → substâncias formadas da união de dois monossacarídeos, a partir da síntese por desidratação (retirada de uma molécula de água), apresentando fórmula estrutural geral: C(H2O)n – H2O, (C6H10O5)n ou CnH2n-2On-1.
Essa classe reúne os açúcares: maltose (glicose + glicose), sacarose (glicose + frutose) e a lactose (glicose + galactose), encontrados respectivamente carboidratos encontrados em raízes tuberosas (batata e mandioca) nas frutas (cana–de-açúcar) e no leite.
Polissacarídeos → polímeros formados pela união de vários monossacarídeos. A cada unidade inserida na cadeia de polissacarídeo é subtraída uma molécula de água, também um processo de desidratação.
Os principais polissacarídeos são:
- o amido, substância de reserva energética dos vegetais, encontrada no caule e principalmente na raiz;
- o glicogênio, substância de reserva energética dos animais, encontrada nos músculos e no fígado;
- celulose, carboidrato com maior biomassa da natureza, integrante da parede celular dos vegetais. Possui função energética e estrutural, dependendo do organismo pode ser degradada pela enzima celulase (produzida por alguns fungos, bactérias e protozoários), sendo a espécie humana desprovida de realizar sua digestão e conseqüente absorção;
- quitina, polissacarídeo nitrogenado presente no exoesqueleto dos artrópodes (formiga, camarão, aranha, barata).
- ácido hialurônico, polissacarídeo que efetua a maior adesão entre as células, considerada um cimento celular nos tecido animais.
fonte :mundoeducacao.com.br
Equação Biquadrada
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
Toda equação tem uma forma geral que a representa, as equações biquadradas possuem a seguinte forma:
ax4 + bx2 + c = 0
Sendo que a, b e c podem assumir qualquer valor real desde que a seja diferente de zero. Veja alguns exemplos de equações biquadradas.
2x4 + 5x2 – 2 = 0; a = 2, b = 5, c = -2
-x4 – x = 0; a = -1, b = -1, c = 0
x4 = 0; a = 1, b = 0, c = 0
Observando as equações biquadradas percebemos uma de suas características: são equações onde os expoentes das suas incógnitas são sempre pares.
Para resolver esse tipo de equação é preciso substituir as incógnitas, tornando-a uma equação do segundo grau, veja os exemplos abaixo e compreenda como resolver passo a passo uma equação biquadrada.
Exemplo 1:
Resolva a equação biquadrada (x2 – 1) (x2 – 12) + 24 = 0. Devemos organizá-la primeiro, ou seja, tirar os parênteses e unir os termos semelhantes.
(x2 – 1) (x2 – 12) + 24 = 0
x4 – 12x2 – x2 + 12 + 24 = 0
x4 – 13x2 + 36 = 0
Agora devemos substituir a incógnita x2 por y.
x2 = y
x4 – 13x2 + 36 = 0
x2 . x2 – 13x2 + 36 = 0
y2 – 13y + 36 = 0
Resolvendo essa equação do segundo grau encontraremos como resultados de y’ e y’’ respectivamente os valores 9 e 4, como a incógnita da equação biquadrada é x, substituímos os valores de y na igualdade x2 = y e obteremos os respectivos valores de x.
Para y = 9
x2 = y
x2 = 9
x = ±√9
x = ± 3
Para y = 4
x2 = y
x2 = 4
x = ±√4
x = ±2
Portanto, a solução dessa equação biquadrada será {-3, -2, 2, 3}.
Exemplo 2:
Resolva a equação x4 – 5x2 + 10 = 0
Substituindo a incógnita x2 por y.
x2 = y
y2 – 5y + 10 = 0
Resolvendo essa equação do segundo grau o valor do discriminante ∆ será negativo, assim a solução será vazia.
extraido de www.mundoeducacao.com.br
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