Jogo da multiplicação com bingo

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Sistema Digestório

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Sistema Digestório - Exercícios resolvidos

01. (FUVEST) Enzimas que atuam em pH alcalino sobre gorduras, em pH neutro sobre carboidratos e em pH ácido sobre proteínas podem ser encontradas, respectivamente:



a) no pâncreas, na boca e no estômago;

b) no pâncreas, na vesícula biliar e no estômago;

c) na vesícula biliar, na boca e no duodeno;

d) na boca, no pâncreas e no estômago;

e) no pâncreas, na boca e no duodeno.



Resposta: A



02.O fígado humano é um órgão que realiza uma grande quantidade de funções diferentes. Trata-se de um órgão vital. Ele armazena o excesso de glicose, formando um polissacarídeo denominado glicogênio, fonte primária de energia utilizada na contração muscular.

O fígado, usando a vitamina K, produz protrombina, composto que atua na coagulação sangüínea.

Ele também produz a proteína denominada fibrinogênio, que se transforma em fibrina, facilitando a formação dos coágulos.

Para dificultar a formação anormal de coágulos internos, ele produz a heparina, composto anticoagulante.

O fígado realiza uma grande quantidade de reações metabólicas, que facilitam a destruição de substâncias tóxicas, como, por exemplo, o álcool.

Ele também produz vários aminoácidos indispensáveis à vida, além de transformar a amônia, substância muito tóxica, em uréia, que é menos tóxica e pode ser excretada com menor consumo de água.

Pergunta-se:

Qual é a função do fígado na digestão humana?



ResoLUÇÃO: Secreta a bile, cujos sais emulsionam as gorduras, facilitando a digestão e a absorção dos ácidos graxos

resultantes.



03. Catalisadores orgânicos são compostos químicos que interferem na velocidade das reações metabólicas do organismo.

Pergunta-se:

O que é pepsina? Qual a sua função?



ResoLUÇÃO: É uma enzima proteolítica. Ela hidrolisa proteínas na cavidade gástrica.



04. (FUVEST) O esquema a seguir representa o percurso do sangue no corpo humano:



Assinale a alternativa que indica corretamente as regiões desse percurso onde se espera encontrar as maiores concentrações de oxigênio, glicose e uréia:






oxigênio


glicose


uréia

a)


I


III


VI

b)


II


III


VII

c)


II


III


VII

d)


I


IV


VII

e)


II


IV


VI



Resposta: E



05. (UFRJ) Desde a Antigüidade, o salgamento foi usado como recurso para evitar a putrefação dos alimentos. Em algumas regiões tal prática ainda é usada para a preservação da carne de boi, de porco ou de peixe. Explique o mecanismo por meio do qual o salgamento preserva os alimentos.



ResoLUÇÃO: A desidratação, por osmose, retarda a fermentação bacteriana, processo responsável pela putrefação dos

alimentos.



06. Dê exemplos de mamíferos ruminantes.



ResOLUÇÃO: Boi, girafa, camelo, carneiro, cabra e veado.

07. O homem não é capaz de digerir a celulose ingerida na alimentação. No entanto, os ruminantes são capazes de digerir os vegetais ingeridos porque:



a) no rúmen existem glândulas capazes de produzir enzimas que hidrolisam a celulose;

b) a celulose é digerida exclusivamente por enzimas existentes na saliva desses animais, com as quais a celulose entra em contato durante os períodos prolongados de ruminação;

c) a digestão da celulose é conseqüência exclusiva da maceração das folhas, devido a sua permanência prolongada nas câmaras gástricas;

d) os alimentos são misturados com bactérias simbióticas produtoras de enzimas que hidrolisam a celulose;

e) a digestão é conseqüência, exclusivamente, da ação das enzimas produzidas por helmintos que parasitam geralmente o intestino dos ruminantes.



Resposta: D



08. (FUVEST) Descreva a sucessão de eventos que ocorrem com o alimento no estômago de mamíferos

ruminantes.



ResOLUÇÃO: O alimento é ingerido e armazenado na pança. Passa ao barrete e retorna à boca, para a mastigação. Passa

após ao folhoso e chega ao coagulador, onde ocorre a digestão química.

09. Por que o boi produz uma saliva abundante?



ResOLUÇÃO: Para neutralizar o efeito da acidez gástrica, resultante da fermentação bacteriana. A capacidade de manter o

pH estomacal dentro de certos limites é um exemplo de efeito tampão.

10. (FUVEST) Um antibiótico que atua nos ribossomos mata:



a) bactérias por interferir na síntese de proteínas;

b) bactérias por provocar plasmólise;

c) fungos por interferir na síntese de lipídeos;

d) vírus por afetar DNA;

e) vírus por impedir recombinação gênica.



Resposta: A

Função Logarítmica e Exponencial

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Função Logarítmica e Exponencial - Exercícios resolvidos

01. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O produto das soluções da equação (43 - x)2 - x = 1 é:



a) 0

b) 1

c) 4

d) 5

e) 6



RESPOSTA: E



02. (PUCCAMP) Considere a sentença a2x + 3 > a8, na qual x é uma variável real e a é uma constante real positiva. Essa sentença é verdadeira se, por exemplo:



a) x = 3 e a = 1

b) x = -3 e a > 1

c) x = 3 e a < 1

d) x = -2 e a < 1

e) x = 2 e a > 1



RESPOSTA: D



03. As funções y = ax e y = bx com a > 0 e b > 0 e a b têm gráficos que se interceptam em:



a) nenhum ponto;

b) 2 pontos;

c) 4 pontos;

d) 1 ponto;

e) infinitos pontos.



RESPOSTA: D



04. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O gráfico da função real f(x) = x2 - 2:



a) intercepta o eixo dos x no ponto (1, 0);

b) intercepta o eixo dos x no ponto (0, 1);

c) intercepta o eixo dos x no ponto (2, 0);

d) intercepta o eixo dos x no ponto (0, -2);

e) não intercepta o eixo dos x.



RESPOSTA: A



05. (FIC / FACEM) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000 . (0,9)x. O número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de:



a) 900

b) 1000

c) 180

d) 810

e) 90



RESPOSTA: D



06. (U. E. LONDRINA) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é:



a) o número ao qual se eleva a para se obter b.

b) o número ao qual se eleva b para se obter a.

c) a potência de base b e expoente a.

d) a potência de base a e expoente b.

e) a potência de base 10 e expoente a.



RESPOSTA: B



07. (PUC) Assinale a propriedade válida sempre:



a) log (a . b) = log a . log b

b) log (a + b) = log a + log b

c) log m . a = m . log a

d) log am = log m . a

e) log am = m . log a

(Supor válidas as condições de existências dos logaritmos)



RESPOSTA: E



08. (CESGRANRIO) Se log10123 = 2,09, o valor de log101,23 é:



a) 0,0209

b) 0,09

c) 0,209

d) 1,09

e) 1,209



RESPOSTA: B



09. Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) = log 36 são:



a) 9 e -4

b) 9 e 4

c) -4

d) 9

e) 5 e -4



RESPOSTA: D



10. (UERJ) Em uma calculadora científica de 12 dígitos quando se aperta a tecla log, aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava no visor. Se a operação não for possível, aparece no visor a palavra ERRO.

Depois de digitar 42 bilhões, o número de vezes que se deve apertar a tecla log para que, no visor, apareça ERRO pela primeira vez é:



a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6



RESPOSTA: D


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A Influência da calculadora na resolução de problemas

A INFLUÊNCIA DA CALCULADORA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
A calculadora, uma das ferramentas que o homem desenvolveu para atender as suas necessidades de fazer cálculos, tem sua utilidade reconhecida, há muito tempo, fora da sala de aula.
Entretanto, ainda hoje seu uso escolar estar cercado de duvidas e preconceitos infundados. Este artigo apresenta uma pesquisa, realizada em 2000 em uma escola da rede pública estadual de Pernambuco, que visavam investigar a influência da calculadora na sala de aula de matemática na resolução de problemas matemáticos abertos. Seu objetivo foi observar como os alunos modificavam seus procedimentos quando passavam a usar a calculadora nessa resolução. Os resultados mostram que a calculadora pode servir para agilizar a resolução e, principalmente potencializar o calculo mental.
A mão do homem foi a primeira máquina de calcular de todos os tempos. Foram os dedos das mãos e dos pés os primeiros instrumentos que o homem primitivo utilizou para atender a diferentes necessidades como a de controlar a quantidade de animais dos rebanhos utilizados em seu sustento.
A origem da civilização, com o conseqüente desenvolvimento do comércio, fez com que o homem criasse instrumentos cada vez mais sofisticados para a contagem dos objetos, como por exemplo, os diversos tipos de ábaco, as tabelas e réguas de calculo. A calculadora deve ser entendida como uma das etapas mais avançadas de todo esse processo de desenvolvimento.
Atualmente, já não faz mais sentido afirmar que as calculadoras devem ser evitadas na sala de aula de matemática porque os alunos não iriam mais raciocinar nem se interessar em aprender a tabuada. Muitos deles têm acesso a essa maquina desde muito cedo.
O uso da calculadora, para resolver cálculos trabalhosos, já era defendido na década de 60. Entretanto, ainda hoje discutimos, na escola pública, se devemos ou não usá-la, enquanto nas escolas particulares, onde estudam as camadas da sociedade mais favorecidas economicamente, já são usados computadores há algum tempo.

A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS COM O USO DA CALCULADORA
Para explorarmos os diferentes quadros na resolução de um problema, é importante que o professor elabore problemas diferentes daqueles usuais ou fechados nos termos de Medeiros (1999). Estes últimos, os problemas padrão ou problemas clássicos usualmente trabalhados em sala de aula de matemática, limitam a criatividade do aluno, porque tem certas características que podem gerar verdadeiras regras de contrato didático.
Entre as características desses problemas fechados está o fato de poderem ser resolvidos pela aplicação de um ou mais algoritmo, sendo preciso entrar a operação “certa” e realizá-la sem erro.
Algumas palavras como ganha, na adição, e perder na subtração, permitem ao aluno “adivinhar” a operação a fazer, possibilitando ao aluno transformar a linguagem usual em linguagem matemática. Além disso, o problema vem, em geral, sempre após a apresentação de determinado conteúdo ou algoritmo; todos os dados necessários à resolução do problema se encontram no enumerado, raramente se encontrando dados inúteis. Os números e as soluções são simples; o contexto do problema, em geral, nada tem a ver com a realidade cotidiana.
É sempre possível encontrar uma resposta para a questão matemática colocada por meio desses problemas, e o professor a conhece antecipadamente. Então, o aluno deve sempre encontrar uma solução que pode ser corrigida em caso de erro.
Essas características indicam, na maioria das vezes implicitamente, o que o professor e o aluno farão nessa atividade em que os problemas são tratados como uma coleção de exercícios variados. A tarefa do aluno é encontrar a solução esperada pelo professor e, para isso, ele precisa identificar a solução típica daquele problema. Esta situação pode levar o aluno a uma atitude de dependência, de memorização de conhecimentos.
O professor considera que o aluno no aprende por reprodução, isto é, basta resolver muito desses problemas semelhantes aquele recentemente feito para ele aprenda a resolver problemas com o conteúdo estudado.
Ao trabalhar com os problemas matemáticos em uma atividade diferente da usual, novas regras de contrato didático poderão ser estabelecidas. Nessa nova situação, os problemas serão preparados pelo professor e apresentado aos alunos de outra maneira. Os problemas abertos, que podem ser apresentados nessa nova atividade, podem ser uma alternativa para provocar rupturas no contrato didático.
Os problemas abertos se caracterizam por não terem vínculo com os últimos conteúdos estudados, evitando as regras de contrato didático já arraigado. Por estarem em um domínio conceitual familiar, permitem que os alunos tenham condições de resolvê-los. E, sobretudo, por possuírem enunciado curto, os problemas abertos podem permitir ao aluno conquistar as primeiras idéias em um novo estudo. Isso pode dar a impressão, bemvinda, de que o problema é de fácil solução, fazendo que o aluno se interesse em encontrá-la.
Um problema aberto também possui uma ou mais soluções. Além disso, ele pode ser trabalhado em grupo, evitando eventuais desencorajamentos, diminuindo o medo de não conseguir resolver, aumentando a chance de produção de conjecturas num intervalo de tempo razoável e possibilitando o surgimento de riscos conflitos sócio cognitivos. Esse conflito ocorre entre dois ou mais indivíduos, quando confrontam suas diferentes opiniões.
O objetivo visado na “resolução” do conflito é conduzir os protagonistas a um progresso comum em relação ao conhecimento em jogo na situação.
Um problema aberto tem por objetivo permitir que o aluno desenvolva um processo de resolução de problema que nós chamamos de “processo cientifico”, ou seja, nele o aluno desenvolverá a capacidade de tentar, supor, testar e provar o que for proposto como solução para o problema, implicando uma oposição aos problemas fechados.
A utilização de problemas não usuais ou abertos exigirá do aluno uma postura diferente da que sempre se observa quando resolvem os problemas fechados, porque o próprio enunciado do problema não permite que ele encontre a resposta como de costume. Nesse momento, a calculadora poderá ajudá-lo a concentra-se no processo de resolução ao invés de se preocupar com o calculo repetitivos.
Com a utilização da calculadora na resolução de problemas abertos, o aluno poderá compreender melhor o sentido dos problemas matemáticos escolares, uma vez que a falta de compreensão quanto ao significado da matemática estudada na escola é uma das grandes queixas dos alunos. “A questão essencial do ensino da matemática é então: como fazer para que os conhecimentos ensinados tenham sido para o aluno?”
A calculadora pode ajudar nessa compreensão da matemática, principalmente se ela for usada para descobrir fatos e propriedades. Mas não somente nisso.
O uso sensato das calculadoras contribui para a formação de indivíduos aptos a intervirem numa sociedade em que a tecnologia ocupa um espaço cada vez maior. Nesse cenário ganham espaço indivíduos com formação para a diversidade, preparados para investigar problemas novos, com capacidade para codificar e decodificar, se comunicar, tomar decisões, aprender por si. Todos esses atributos são necessários para a formação do homem de hoje, não importando se ele é marceneiro, metalúrgico, bancário ou empresário. Calculadoras e computadores são as ferramentas de nosso tempo.

Parasitas

Os parasitas podem ser classificados segundo vário critérios:

Quanto ao número de hospedeiros
São classificados em monoxenos ou monogenéticos e heteroxenos ou digenéticos.

Monoxenos ou monogenéticos são os parasitas que realizam o seu cicio evolutivo em um único hospedeiro.
Exemplos: o Ascaris lumbricoides (lombriga) e o Enterobius vermicularis (oxiúrio).
Heteroxenos ou digenéticos são os parasitas que só completam o seu ciclo evolutivo passando pelo menos em dois hospedeiros. São exemplos o esquistossomo e o tripanossoma.

Quanto à localização nos hospedeiros
Quanto à localização nos hospedeiros, os parasitas podem ser ectoparasitas ou endoparasitas.

Ectoparasitas são os que se localizam nas partes externas dos hospedeiros. Exemplos: a sanguessuga, o piolho, a pulga, etc.
Endoparasitas são os que se localizam nas partes internas dos hospedeiros. Exemplos: as tênias (solitárias) , a lombriga, o esquistossomo, etc.

Quanto ao número de células
Quanto ao número de células, os parasitas podem ser classificados em unicelulares ou pluricelulares.
Quando um parasita unicelular se instala no seu hospedeiro, falamos em infecção. Se o parasita é pluricelular, à sua instalação no hospedeiro dá-se o nome de infestação.

Holoparasitas e Hemiparasitas
Os parasitas vegetais podem ser de dois tipos: holoparasitas e hemiparasitas.
Holoparasitas são os vegetais que não realizam a fotossíntese ou a quimiossíntese. São os verdadeiros vegetais parasitas. Parasitam os vegetais superiores, roubando-lhes a seiva elaborada.
É o caso do cipó-chumbo, vegetal superior não clorofilado. 0 cipó-chumbo possui raízes sugadoras ou haustórios que penetram no tronco do hospedeiro, retirando deles a seiva elaborada.
Hemiparasitas são os vegetais que, embora realizando a fotossíntese, retiram do hospedeiro apenas a seiva bruta. Como exemplo temos a erva-de-passarinho, vegetal superior clorofilado, que rouba de seu hospedeiro a seiva bruta.
Os vegetais hemiparasitas apresentam, portanto, nutrição autótrofa e heterótrofa.


Antibiose ou Amensalismo - é a interação desarmônica onde uma espécie produz e libera substâncias que dificultam o crescimento ou a reprodução de outras podendo até mesmo matá-las.
Como exemplos temos:

- certas algas planctônicas dinoflageladas (do tipo Pirrófitas), quando em superpopulação (ambiente favorável) liberam substâncias tóxicas na água causando o fenômeno da maré vermelha onde ocorre a morte de vários seres aquáticos intoxicados por tais substâncias;
- raízes de algumas plantas que liberam substâncias tóxicas, que inibem o crescimento de outras plantas.
- folhas que caem no solo (ex.: pinheiros) liberam substâncias que inibem a germinação de sementes.
- fungos do gênero Penicillium produzem penicilina, antibiótico que mata bactérias.

Esclavagismo ou Escravismo - é a interação desarmônica na qual uma espécie captura e faz uso do trabalho, das atividades e até dos alimentos de outra espécie. Certas formigas amazonas e formigas foscas, são exemplos.
Um exemplo é a relação entre formigas e os pulgões (Afídeos).

Os pulgões são parasitas de certos vegetais. Alimentam-se da seiva elaborada que retiram dos vasos liberianos de plantas como a roseira, a orquídea, etc.
A seiva elabora é rica em açúcares e pobre em aminoácidos. Por absorverem muito açúcar, os pulgões eliminam o seu excesso pelo ânus.
Esse açúcar eliminado é aproveitado pelas formigas, que chegam a acariciar com suas antenas o abdômen dos pulgões, fazendo-os eliminar mais açúcar.
As formigas transportam os pulgões para os seus formigueiros e os colocam sobre raízes delicadas, para que delas retirem a seiva elaborada.
Muitas vezes as formigas cuidam da prole dos pulgões para que no futuro, escravizando-os, obtenham açúcar.
Alguns autores consideram esse tipo de interação como uma forma de protocooperação, particularmente denominada sinfilia.

Associação competitiva - a competição compreende a interação ecológica em que indivíduos da mesma espécie ou indivíduos de espécies diferentes disputam alguma coisa, como por exemplo, alimento, território, luminosidade etc. Logo, a competição pode ser intra-específica (quando estabelecida dentro da própria espécie) ou inter específica (entre espécies diferentes). Em ambos os casos, esse tipo de interação favorece um processo seletivo que culmina, geralmente, com a preservação das formas de vida mais bem adaptadas ao meio ambiente e com a extinção dos indivíduos com baixo poder adaptativo. Assim, a competição constitui um fator regulador da densidade populacional, contribuindo para evitar a superpopuIação das espécies.

Valores Notáveis da trigonométria

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso

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Valores Notáveis
Seguindo dos triângulos retângulos conveniente, aparecem as definições:

• seno é a projeção no eixo vertical do segmento de reta que parte do centro do círculo trigonométrico até a circunferência.

• cosseno é a projeção no eixo horizontal do segmento de reta que parte do centro do círculo trigonométrico até a circunferência

• tangente é o segmento de reta formada entre o ponto de cruzamento de seu eixo com a reta definida pelo centro do círculo trigonométrico e o ângulo com sua origem

Estas definições nos mostram o quadro de valores notáveis. Vejamos:





Os valores dessa tabela são:

Golfinho Toninha

O golfinho-do-rio-da-prata, toninha ou franciscana (Pontoporia blainvillei) como é conhecida ao longo de sua distribuição é um pequeno golfinho pertencente a ordem dos Cetacea e a sub-ordem dos Odontocetos e família Pontoporidae. A toninha é um golfinho que possui hábitos costeiros e que se distribui desde o município de Itaúnas no Estado do Espírito Santo até o limite austral que fica localizado no Golfo Nuevo na Argentina. Estudos sugerem que a preferencia deste golfinho por zonas costeiras como desembocaduras de rios e estuários estariam associadas a procura de alimento, proteção contra predadores.
Toninha
Toninha
Classificação científica
Reino: Animalia
Filo: Chordata
Classe: Mammalia
Subclasse: Eutheria
Ordem: Cetacea
Subordem: Odontoceti
Superfamília: Platanistoidea
Família: Pontoporiidae
Gênero: Pontoporia
Espécie: P. blainvillei

Estudos recentes sugerem que a distribuição batimétrica desta espécie fica restrita a profundidade de 30 metros ou então a 30 milhas da linha de costa. Este é um golfinho que não apresenta muitos comportamentos aérios como outros golfinhos, possuindo hábitos solitários, porém podem formar pequenos grupos de até 6 indivíduos.
Ecologia alimentar

Estudos da ecologia alimentar desta espécie vem sendo desenvolvido em diversas áreas de ocorrência da espécie, sendo que os resultados destes estudos verificaram a preferência alimentar deste golfinhos por teleósteos (peixes), cefalópodes (lulas e polvos) e crustáceos (camarões). A ingestão dos itens alimentares por esta espécies pode variar nas regiões as quais a população pertence, sendo que existe diferença na alimentação entre machos e fêmeas e entre adultos e jovens, sendo que os filhotes começam a ingerir primeiramente crustáceos.

Ameaças

A toninha por possuir hábitos costeiros é um golfinho que sofre muito com as atividades antropogênicas (atividade humana) como poluição, tráfego de embarcações e principalmente capturas acidentais em operações de pesca ao longo de toda sua distribuição.

Atualmente este golfinho que se distribui amplamente por regiões do Brasil consta na Lista Oficial das Espécies da Fauna e Flora Braasileira Ameaçadas de Extinção (IBAMA) e esta classificada como uma espécie em vulnerabilidade pelo Plano de Ação dos Mamíferos Aquáticos do Brasil (IBAMA). Não parando por ai, esta espécie é considerada pela IUCN (International Union for Conservation of Nature) como espécie vulnerável, para toda a sua distribuição, devendo-do se a isto ao declínio da população a mais de 30% nas ultimas três décadas.

Franciscanas capturadas por redes no Brasil. Foto: Eduardo Secchi. (fonte: http://www.animalia.pt/canal_detalhe.php?id=298&categoria=13)

A população do estado do Rio Grande do Sul e Uruguai, por serem vulneráveis a atividades antrópicas, mostram indícios de que estão em declínio e que a taxa de crescimento populacional poderá não se sustentar aos atuais níveis de capturas acidentais.
Biologia

Estudos realizado na década de 90 mostraram que para este golfinho existe um dimorfismo sexual com relação ao comprimento do corpo. Os machos teriam comprimento de corpo variando de 121cm a 158cm e as fêmeas teriam entre 137cm a 177cm, ou seja, as fêmeas seriam maiores que os machos. Os filhotes recém nascidos teriam comprimento de corpo de 59cm a 80cm.

O peso corporal deste golfinho é em torno de 45kg para indivíduos adultos, sendo que para os neonatos (recém nascidos) seria de 8kg em média.

Este golfinho como outros cetáceos possui baixa taxa reprodutiva sendo que o primeiro processo reprodutivo acontece quando o animal possuir cerca de 2,7 anos de idade, sendo que a gestação duraria de 10 a 11 meses, e cada fêmea terá apenas um filhote. Estudos recentes mostraram que as fêmeas vão gerar os filhotes nos meses de Outubro a Dezembro e que o período de lactação (amamentação) pode durar até 9 meses.

Referências:
Di Beneditto, A. P. M.; Ramos, R. M. A.; Lima, N. R. W. (2001) Os golfinhos. Origem, classificação, captura acidental e hábito alimentar. Cinco Continentes, Porto Alegre, pp.158

Equação Normal da Circunferência

Temos que a equação da circunferência se apresenta na forma reduzida ou na forma normal. A forma reduzida é expressa por (x – xC)² + (y – yC)² = r², onde xC e yC são as coordenadas do centro da circunferência, r o raio e x e y coordenadas de um ponto P posicional da circunferência. A equação normal da circunferência é obtida através da eliminação dos parênteses e redução dos termos semelhantes.

(x – a)² + (y – b)² = r²
x² – 2xa + a² + y² – 2yb + b² – r² = 0
x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0

Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes: comparação e redução.

Comparação

Dada a equação x² + y² – 2x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0, temos:

–2a = –2
a = 1

–2b = 8
2b = –8
b = –4

a² + b² – r² = 8
1² + (–4)² – r² = 8
1 + 16 – r² = 8
17 – r² = 8
– r² = 8 – 17
– r² = – 9
r = 3

Portanto, a circunferência de equação igual a x² + y² – 2x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(1,– 4) e raio igual a r = 3.


Redução

Consiste em transformar a equação normal em reduzida e assim identificar o centro e o raio.

Pegando como exemplo a equação x² + y² – 2x + 8y + 8 = 0, iremos transformá-la em uma equação reduzida seguindo os passos abaixo:

1º passo

É preciso agrupar os termos em x e os termos em y, e isolar o termo independente.
(x² – 2x) + (y² + 8y) = – 8

2º passo

Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em x um quadrado perfeito.

(x² – 2x +1) + (y² + 8y) = – 8 +1

3º passo
Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em y um quadrado perfeito.

(x² – 2x +1) + (y² + 8y + 16) = – 8 +1 + 16

(x² – 2x +1) + (y² + 8y + 16) = 9

(x – 1)² + (y + 4)² = 9

Comparando com a equação reduzida.

(x – 1)² + (y + 4)² = 9

(x + a)² + (y + b)² = r²

Portanto, o centro dessa equação da circunferência será C (1, –4) e R = 3.

Ângulos

Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo.

A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema de medidas, é o grau, representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos são o minuto ’ e o segundo ”.
Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a 60”(segundos).

O objeto capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de transferidor, podendo ele ser de “meia volta” (180º) ou volta inteira (360º).


Classificação de ângulos

Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas:

Agudo: ângulo com medida menor que 90º.
Reto: ângulo com medida igual a 90º.
Obtuso: ângulo com medida maior que 90º.
Raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º.

agudo reto obtuso raso

Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais.



Retas paralelas cortadas por uma transversal



Ângulos correspondentes: a e e, d e h, b e f, c e g Congruentes
Ângulos colaterais externos: a e h, b e g Suplementares
Ângulos colaterais internos: e e d, c e f Suplementares
Ângulos alternos externos: a e g, b e h Congruentes
Ângulos alternos internos: d e f, c e e Congruentes
Marcos Noé

Areas e volume do Cilindro

Área Lateral : Al
A superfície lateral de um cilindro é a reunião das geratrizes. A área dessa superfície é chamada área lateral do cilindro e é indicada por Al.

A superfície lateral de um cilindro circular reto, de altura h, e cujos círculos das bases têm raio r, planificada, é um retângulo de dimensões 2r (comprimento da circunferência da base) e h (altura do cilindro).



Área Total: At
A superfície total de um cilindro é a reunião da superfície lateral com os círculos das bases. A área dessa superfície é a área total do cilindro e é indicada por At.



At = Al + 2Ab

Substituindo-se Al = 2rh e Ab = r2 , vem:

At = 2r(h + r)


Aplicação

Seja V = 20cm3 o volume de um cilindro reto cujo raio mede 40 % da medida da altura. Vamos determinar o valor de sua área total.

Solução:

Sendo r o raio da base do cilindro de altura h, temos:

r = 40 % ; h = 2h/5



Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso
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Seção Meridiana e Cilindro Equilátero

Seção Meridiana e Cilindro Eqüilátero

Seção meridiana de um cilindro circular reto é a interseção deste com um plano que contém o eixo.

A seção meridiana de um cilindro reto é um retângulo.






Aplicação

(Mack–SP) Um cilindro tem área total de 16m2. Se o raio mede um terço da altura, a área lateral do cilindro é:

Solução:


Questão 1:
(U.F.Juiz de Fora–MG) Aumentando-se 4cm o raio de um cilindro e mantendo-se a sua altura, a área lateral do novo cilindro é igual à área total do cilindro original. Sabendo-se que a altura do cilindro original mede 1cm, então o seu raio mede, em cm:


a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e)n.d.a

Questão 2:
(PUC–RS) Num reservatório com a forma de um cilindro circular reto, de raio da base 3cm e altura 12cm, solta-se uma esfera maciça. O nível da água, que estava na metade da altura do cilindro, eleva-se até dois terços da altura. O volume de água deslocado, em cm3, foi de:


9
12
18
24
48

Questão 3:
(Faap–SP) Uma lata cilíndrica tem um rótulo retangular, envolvendo-a completamente (mas sem superposição). O rótulo mede 10cm de altura e 12cm de largura. Outra lata, da mesma altura, tem rótulo semelhante, medindo 10cm de altura e largura de 24cm. A razão entre o volume da lata maior e o da lata menor é:


5 : 2
2 : 1
3 : 2
4 : 3
4 : 1

Questão 4:
(UMC–SP) Uma seringa tem 2cm de diâmetro e 11cm de comprimento. Para enchê-la, puxamos o êmbolo, que pode ser afastado até 7cm no interior do cilindro. A quantidade máxima de remédio que cabe na seringa, em centímetros cúbicos, é:



4
7
11
28

Questão 5:
(Fatec–SP) Uma pessoa comprou um vasilhame para armazenar água em sua casa e, ao colocar 0,256 m3 de água, constatou que a parte ocupada correspondia a apenas 40% da capacidade total. Se esse vasilhame tem o formato de um cilindro circular reto e altura de 1m , então o raio de sua base, em metros, é:



0,6
0,7
0,8
0,9
1,0


Professor Antonio Carlos
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Geométria plana resumo

1) Ângulos em retas paralelas



2) Triângulos
# Classificação:
Equilátero 3 lados iguais.
Isósceles 2 lados iguais.
Escaleno 3 lados desiguais.

# Ângulos:
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.
A soma dos ângulos externos de um triângulo é igual a 360º.

# Segmentos e pontos notáveis:
Mediana liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Baricentro é determinado pelo encontro das medianas.
Bissetriz interna liga um vértice ao lado oposto, dividindo os ângulos em dois iguais.
Incentro encontro das bissetrizes internas.
Mediatriz reta perpendicular a um lado em seu ponto médio.
Circuncentro encontro das mediatrizes.
Altura liga um vértice ao lado oposto - e é perpendicular a ele.
Ortocentro encontro das alturas.

# Casos de congruência de triângulos:
LAL lado, ângulo e lado.
ALA ângulo, lado e ângulo.
LLL lado, lado e lado.
LAAO lado, ângulo e ângulo oposto.

# Casos de semelhança de triângulos:
AA ângulo e ângulo.
LAL lado, ângulo e lado.
LLL lado, lado e lado.

3) Polígonos





4) Triângulo retângulo

5) Triângulo qualquer

Carlos Alberto Campagner é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.

Equação Completa do segundo grau

Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1) 2 x² + 7x + 5 = 0
2) 3 x² + x + 2 = 0

o coeficiente a é diferente de zero.
Exemplos:
1) 4 x² + 6x = 0
2) 3 x² + 9 = 0
3) 2 x² = 0

Resolução de equações completas do 2° grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:
onde Δ=b²-4ac é o discriminante da equação.Para esse discriminante Δ, há três possíveis situações:

1) Δ <> 0, há duas soluções reais e diferentes

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x² - 5 x + 6 = 0

1) Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6
2) Escrever o discriminante Δ = b²-4ac.
3) Calcular Δ=(-5)²-4×1×6=25-24=1
4) Escrever a fórmula de Bhaskara:













EXERCÍCIOS

1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:

a) x² + 9 x + 8 = 0 (R:-1 e -8)
b) 9 x² - 24 x + 16 = 0 (R:4/3)
c) x² - 2 x + 4 = 0 (vazio)
d) 3 x² - 15 x + 12 = 0 (R: 1 e 4)
e) 10 x² + 72 x - 64 = 0 (R:-8 e 4/5)
e) 5x² - 3x - 2 = 0
f) x² - 10x + 25 = 0
g) x² - x - 20 = 0
h) x² - 3x -4 = 0
i) x² - 8x + 7 = 0



RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU


1) x² - 5x + 6 = 0 _____(R:2,3)
2) x² - 8x + 12 = 0 ______(R:2,6)
3) x² + 2x - 8 = 0______ (R:2,-4)
4) x² - 5x + 8 = 0 ______(R:vazio)
5) 2x² - 8x + 8 = 0_______ (R:2,)
6) x² - 4x - 5 = 0_______ (R:-1, 5)
7) -x² + x + 12 = 0_______ (R:-3, 4)
8) -x² + 6x - 5 = 0_______ (R:1,5)
9) 6x² + x - 1 = 0______ (R:1/3 , -1/2)
10) 3x² - 7x + 2 = 0 ______(R:2, 1/3)
11) 2x² - 7x = 15 _______(R:5, -3/2)
12) 4x² + 9 = 12x______ (R:3/2)
13) x² = x + 12 ______(R:-3 , 4)
14) 2x² = -12x - 18 _____(R:-3 )
15) x² + 9 = 4x_____ (R: vazio)
16) 25x² = 20x – 4 ____(R: 2/5)
17) 2x = 15 – x² ______(R: 3 , -5)
18) x² + 3x – 6 = -8____ (R:-1 , -2)
19) x² + x – 7 = 5 ____(R: -4 , 3)
20) 4x² - x + 1 = x + 3x² ___(R: 1)
21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x²____ (R: -3)
22) 4 + x ( x - 4) = x _____(R: 1,4)
23) x ( x + 3) – 40 = 0 _____(R: 5, -8)
24) x² + 5x + 6 = 0 _____(R:-2,-3)
25) x² - 7x + 12 = 0 _____(R:3,4)
26) x² + 5x + 4 = 0 _____(R:-1,-4)
27) 7x² + x + 2 = 0 _____(vazio)
28) x² - 18x + 45 = 0 _____(R:3,15)
29) -x² - x + 30 = 0 _____(R:-6,5)
30) x² - 6x + 9 = 0 _____(R:3)
31) ( x + 3)² = 1_______(R:-2,-4)
32) ( x - 5)² = 1_______(R:3,7)
33)( 2x - 4)² = 0_______(R:2)
34) ( x - 3)² = -2x²_______(R:vazio)

35)Na equação 3x² - 12 = 0 as soluções são:
a)0 e 1
b)-1 e 1
c)-2 e 2
d)-3 e 3
e)0 e 4

36) x² + 3x - 28 = 0 (R: -7,4)
37) 3x² - 4x + 2 = 0 (R: vazio)
38) x² - 3 = 4x + 2 (R: -1,5)




PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU



1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R:9 e-10)

2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero (R: 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R:1)

4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número (R:10 e -8)

5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número (R: 5)

6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número.(R: 0 e 4)

7) O quadrado menos o quádruplo de um numero é igual a 5. Calcule esse número (R: 5 e -1)

8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero? (R: 6 e -3)

9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse numero por 7 menos 3. Qual é esse numero? (R:3 e ½)

10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é esse numero?(R: 6 e -3)

11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56? (R:-8 e 7)

12) Um numero ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse número ? (R:-7 e 5)

13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? (R:8 e -5)

14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40. (R:4)

15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48. (R:8)

16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse número? (R:1 e 2)

17) Qual é o número , cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40? ( R: 5 , -8)

18) O quadrado de um número diminuido de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse número.
(R: 5 e -3)

19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 26. (R:7 e -4)

20) Se do quadrado de um número, negativo subtraimos 7, o resto será 42. Qual é esse número?
(R: -7)

21) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o número. (R: 7)

22) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou -11, -13)

23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm)



RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO INCOMPLETAS



Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações incompletas do 2° grau

1° CASO – equações da forma ax² + c = 0, (b = 0)

Exemplos:

1) x² - 25 = 0
x² = 25
x = √25
x = 5
logo V= (+5 e -5)

2) 2x² - 18 = 0
2x² = 18
x² = 18/2
x² = 9
x = √9
x = 3
logo V= (-3 e +3)

3) 7x² - 14 = 0
7x² = 14
x² = 14/7
x² = 2
x = √2
logo V = (-√2 e +√2)

4) x²+ 25 = 0
x² = -25
x = √-25
obs: não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a -25

EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau

a) x² - 49 = 0 (R: -7 e +7)
b) x² = 1 (R: +1 e -1)
c) 2x² - 50 = 0 (R: 5 e -5)
d) 7x² - 7 = 0 (R: 1 e -1)
e) 5x² - 15 = 0 (R: √3 e -√3)
f) 21 = 7x² (R: √3 e -√3)
g) 5x² + 20 = 0 (R: vazio)
h) 7x² + 2 = 30 (R: 2 e -2 )
i) 2x² - 90 = 8 (R: 7 e -7)
j) 4x² - 27 = x² (R:3 e -3)
k) 8x² = 60 – 7x² (R: 2 e -2)
l) 3(x² - 1 ) = 24 (R: 3 e -3)
m) 2(x² - 1) = x² + 7 (R:3 e -3)
n) 5(x² - 1) = 4(x² + 1) (R:3 e -3)
o) (x – 3)(x + 4) + 8 = x (R:2 e -2)

2° CASO: Equações da forma ax² + bx = 0 ( c = 0)

Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero .

Exemplos

1) resolver x² - 5x = 0
fatorando x ( x – 5) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

e o outro x – 5 = 0 , passando o 5 para o outro lado do igual temos x = 5

logo V= (0 e 5)

2) resolver: 3x² - 10x = 0
fatorando: x (3x – 10) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

Tendo também 3x – 10 = 0
3x = 10
x = 10/3

logo V= (0 e 10/3)

Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.


EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau.

a) x² - 7x = 0 (R: 0 e 7)
b) x² + 5x = 0 (R: 0 e -5)
c) 4x² - 9x = 0 (R: 0 e 9/4)
d) 3x² + 5x =0 (R: 0 e -5/3)
e) 4x² - 12x = 0 (R: 0 e 3)
f) 5x² + x = 0 (R: 0 e -1/5)
g) x² + x = 0 (R: 0 e -1)
h) 7x² - x = 0 (R: 0 e 1/7)
i) 2x² = 7x (R: 0 e 7/2)
j) 2x² = 8x (R: 0 e 4)
k) 7x² = -14x (R: 0 e -2)
l) -2x² + 10x = 0 (R: 0 e 5)

2) Resolva as seguintes equações do 2° grau

a) x² + x ( x – 6 ) = 0 (R: 0 e 3)
b) x(x + 3) = 5x (R: 0 e 2)
c) x(x – 3) -2 ( x-3) = 6 (R: 0 e 5)
d) ( x + 5)² = 25 (R: 0 e -10)
e) (x – 2)² = 4 – 9x (R: 0 e -5)
f) (x + 1) (x – 3) = -3 (R: 0 e 2)