Equação Normal da Circunferência

Temos que a equação da circunferência se apresenta na forma reduzida ou na forma normal. A forma reduzida é expressa por (x – xC)² + (y – yC)² = r², onde xC e yC são as coordenadas do centro da circunferência, r o raio e x e y coordenadas de um ponto P posicional da circunferência. A equação normal da circunferência é obtida através da eliminação dos parênteses e redução dos termos semelhantes.

(x – a)² + (y – b)² = r²
x² – 2xa + a² + y² – 2yb + b² – r² = 0
x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0

Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes: comparação e redução.

Comparação

Dada a equação x² + y² – 2x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0, temos:

–2a = –2
a = 1

–2b = 8
2b = –8
b = –4

a² + b² – r² = 8
1² + (–4)² – r² = 8
1 + 16 – r² = 8
17 – r² = 8
– r² = 8 – 17
– r² = – 9
r = 3

Portanto, a circunferência de equação igual a x² + y² – 2x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(1,– 4) e raio igual a r = 3.


Redução

Consiste em transformar a equação normal em reduzida e assim identificar o centro e o raio.

Pegando como exemplo a equação x² + y² – 2x + 8y + 8 = 0, iremos transformá-la em uma equação reduzida seguindo os passos abaixo:

1º passo

É preciso agrupar os termos em x e os termos em y, e isolar o termo independente.
(x² – 2x) + (y² + 8y) = – 8

2º passo

Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em x um quadrado perfeito.

(x² – 2x +1) + (y² + 8y) = – 8 +1

3º passo
Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em y um quadrado perfeito.

(x² – 2x +1) + (y² + 8y + 16) = – 8 +1 + 16

(x² – 2x +1) + (y² + 8y + 16) = 9

(x – 1)² + (y + 4)² = 9

Comparando com a equação reduzida.

(x – 1)² + (y + 4)² = 9

(x + a)² + (y + b)² = r²

Portanto, o centro dessa equação da circunferência será C (1, –4) e R = 3.