Alinhamento de três pontos

Sabemos que com dois pontos formamos uma reta, mas três pontos só irão formar uma reta se estiverem alinhados, ou seja, deverão ser colineares.

Uma das formas de verificar a condição de alinhamento de três pontos é graficamente, mas não é tão precisa, pois um dos pontos pode estar fora da reta a uma distância mínima que não seja detectada pelo gráfico, assim teremos que utilizar outros recursos para encontrar a condição de alinhamento de três pontos.

Considere os pontos A (2,5), B (3,7) e C (5,11). Para verificar se eles pertencem a uma mesma reta é preciso levar em consideração dois teoremas. Um deles é a propriedade que diz: se duas retas são paralelas e têm um ponto em comum, então são paralelas coincidentes. O outro é a fórmula para calcular o coeficiente angular de uma reta.

Considerando as retas AB e BC, o ponto B é comum, as duas retas e os seus coeficientes angulares são iguais a: mAB = 2 e mBC = 2, como são iguais podemos dizer que os três pontos pertencem a uma mesma reta.

Com esse exemplo podemos concluir que três pontos quaisquer A(xA,yA), B(xB,yB), C(xC,yC) serão colineares se o coeficiente angular de AB for igual ao coeficiente angular de BC.

Exemplo 1:
Verifique se os três pontos são colineares: A (3,6) B (1,4) C (4,1).

MAB = 6-4 = 2 = 1
3-1 2

MBC = 4-1 = 3 = -1
1-4 -3

Como os coeficientes são diferentes, os três pontos não são colineares.

Exemplo 2:

O valor de x para que os pontos A(1,3), B(-2,4) e C(x,0) no plano sejam colineares, deverá ser?

MAB = MBC
4 - 3 = 0 – 4
-2 - 1 x - (-2)

1 = -4
-3 x + 2

x +2 = 12
x = 12- 2
x = 10
Portanto, para que A, B e C sejam colineares, x deverá ser igual a 10.
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