* Definição
É definido como equação do primeiro grau com duas variáveis sejam elas, x e y, a toda e qualquer equação que pode ser indicada nas formas:
ax + by = c
Sendo que: a e b, são números e diferentes de zero ( a e b ≠ 0 ), respectivamente.
Exemplos:
3x – 4y = 2 » os número “x” e “y” que são desconhecidos recebem os termos de incógnita.
3y + 4x = 7 » os número “y” e “x” que são desconhecidos recebem os termos de incógnita.
* Solução de equação do 1º grau com “duas” variáveis
As equações do primeiro grau que estejam na forma com duas variáveis, x e y, possuem infinitas soluções.
Estas soluções infinitas podem ser obtidas dando valores “soltos” para uma das variáveis, e em seguida efetua-se o cálculo da outra variável.
Encontrando estes valores de x e y, significa dizer que foi obtido o par ordenado de números x e y, o qual tornará a sentença ou o problema fornecido verdadeiro.
Exemplo de fixação:
a) 3x + 2y = 20
Como já informado esta equação tem infinitas soluções:
1) x = 2
3x + 2y = 20
3.2 + 2y = 20
2y = 20 – 6
2y = 14
y = 7
Assim, temos o par ordenado x e y (2 e 7).
Veja se a sentença é verdadeira:
3x + 2y = 20 (quando x = 2, y = 7)
3.2 + 2.7 = 20
6 + 14 = 20
20 = 20
b) 2x + 4y = 8
Agora tomaremos os valores de x e y respectivamente:
x = 2 e y = 6
2x + 4y = 8
2.2 + 4.6 = 8
4 + 24 = 8
28 ≠ 8
Desta forma, o par 2 e 6 não é a solução verdadeira para o a sentença acima.
* Linguagem textual para soluções de problemas
Para que se possam resolver problemas com equações do 1º grau, é preciso traduzir alguns enunciados para linguagem em moldes matemáticos.
Observe abaixo:
* Exercícios resolvidos de equações de 1º grau com “uma” e “duas” variáveis
01 – Em um sítio, entre ovelhas e cabritos, há 200 animais. Se o número de ovelhas é igual a 1/3 do número de cabritos, determine quantas são o número de ovelhas e quantos são o número de cabritos.
R.: Este problema se trata de uma equação do 1º grau com duas variáveis (ovelhas e cabritos).
Solução:
x = ovelhas
y = cabritos
Sabendo que x é igual 1/3 do total de 200 animais, temos o valor de ovelhas = 67 (valor arred.)
assim: x + y = 200
67 + y = 200
y = 200 – 67
y = 133 >> S = {67,133}
Existem, desta forma, 67 ovelhas e 133 cabritos, totalizando 200 animais.
02 – Em um quintal existem porcos, avestruz e galinhas, fazendo um total de 60 cabeças e 180 pés.
Quantos são os animais de duas patas e quantos são os de quatro patas?
R.: Este problema se trata de uma equação do 1º grau com duas variáveis (animais de duas patas e animais de quatro patas).
Solução:
x = animais de duas patas (avestruz e galinhas)
y = animais de quatro patas (porcos)
x + y = 60 >> x = 60 – y
Assim: animais de duas pernas 2x, e quatro pernas 4y, logo são observados.
2x + 4y = 180
2(60 – y) + 4y = 180
120 – 2y + 4y = 180
2y = 180 – 120
2y = 60 >> y = 30
x + y = 60
x + 30 = 60
x = 60 -30 >> x = 30 >> S = {30,30}
Existem, então, 30 animais de 02 pernas e 30 animais de 04 pernas.
03 – Determine os valores da incógnita “x”, nas expressões abaixo:
a) 2x + 6 = 0
2x = -6
x = -6/2
x = -3 >> V = {-3}
b) 5x + 4 = 5 + 4x
5x – 4x = 5 – 4
x = 1 >> V = {1}
c) -10x + 6 = -18 + 2x
-10x – 2x = -18 – 6
-12x = -24 (.-1) , multiplicar por (-1), pois a variável x está com valor negativo
12x = 24
x = 24/12 >> x = 2 >> V = {2}
04 – A soma de dois números dados é 8 e a diferença entre estes mesmos números é igual a 4. Quais sãos os números?
R.: Este problema se trata de uma equação do 1º grau com duas variáveis (aplica-se aqui o estudo da linguagem textual).
x + y = 8
x – y = 4
x + x + y – y = 8 + 4
2x = 12
x = 12/2 >> x = 6
x – y = 4
6 – y = 4
-y = 4 – 6
-y = -2 (.-1) >> y = 2 >> S = {6,2}
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