Equação do segundo grau

As equações de segundo grau podem ser reduzidas à seguinte forma:
ax2 + bx + c = 0
A, b e c são coeficientes numéricos - eles acompanham a incógnita. Veja o exemplo:
3x2 + x - 47 = 0
Tente identificar os coeficientes numéricos que acompanham x.
A = 3
B = 1
C = -47
Lembre que o coeficiente A sempre acompanha a incógnita que está elevada ao quadrado (x2), enquanto o coeficiente B acompanha a incógnita elevada a um (x) - note que um número elevado a um resulta nele mesmo - e o coeficiente C acompanha a incógnita elevada a 0 (x0). Atente para o fato de que um número elevado a zero é igual a um (41830 = 1), portanto em uma multiplicação pode ser omitido. Assim, em vez de escrevermos -47x0, escrevemos simplesmente -47, porque não importa o que seja x, se ele estiver elevado a zero vai resultar em um.
Agora, vamos resolver essa equação pela fórmula quadrática (conhecida apenas no Brasil como Fórmula de Bháskara, embora não possamos atribui-la a ele).
Fórmula quadrática:

x = -b ± (b2 -4ac)1/2
_____________
2a

Note que eu optei por colocar o Δ (lê-se delta) - b2 -4ac - elevado a 1/2 (um meio). Isso equivale a extrair-lhe a raiz quadrada. Fiz isso porque o site não oferece a opção de raiz.
Veja:
91/2= 3 (raiz quadrada de 9)
(91/2)2 = 32
9 = 9
Comprovamos a igualdade da equação, e portanto verificamos que um termo elevado a 1/2 (um meio ou metade) é igual a sua raiz quadrada.

O símbolo ± significa mais ou menos ( + ou - ). Por exemplo:

± 9 pode ser ou 9 ou - 9.

Outra coisa: note que o traço abaixo do numerador da fórmula significa divisão.

Você já pode ter uma idéia do que iremos fazer para resolver essa equação de segundo grau. Precisamos substituir os valores de A, B e C na fórmula.

Vamos resolver um exemplo. A fins didáticos, seguimos uma certa ordem.

1) Encontramos o Δ (lê-se delta) - b2 - 4ac.
2) Depois, tiramos a raiz quadrada dele (ou o elevamos a 1/2, dá no mesmo como já comprovamos).
3) Depois, substituímos os valores de a, b, c e raiz de Δ na fórmula quadrática e encontramos o(s) valor(es) de x.

Exemplo:

x2 - 5x + 6 = 0

Os valores de A, B e C são respectivamente 1, -5 e 6.
1) Agora é só achar o delta Δ.
Δ = b2 - 4ac = 25 -4.1.6 = 25 - 24 = 1
2) Depois, obtém-se a raiz do Δ.
Δ1/2 = raiz de 1 = 1
3) Agora vamos fazer o resto.

x = -b ± (b2 -4ac)1/2
_____________
2a

Fazemos x = -b ± 1
______
2a

o que dá

5 ± 1
x= _____
2

Agora devemos ter dois resultados, ou seja, x pode ser duas coisas.

Ou é (5 + 1) : 2, o que dá 3, ou é (5 - 1) : 2, que resulta em 2.
Ambos os resultados são possíveis. Pronto, a equação está resolvida porque você achou as duas raízes.

Há mais algumas coisas:
Quando o Δ for negativo, não haverá raízes reais da equação.
Quando o Δ for positivo, haverá duas raízes reais e diferentes
Quando o Δ for 0, haverá duais raízes reais e iguais (uma só raiz, portanto)

Essa equação que você resolveu (x2 - 5x + 6 = 0) é completa, porque há x2, x1 e x0. Numa equação não-completa de segundo grau, você não teria ou o x1 ou o x0, mas tem que ter o x2, porque senão a equação deixará de ser do segundo grau.
Veja alguns exemplos de equações incompletas do segundo grau:
7x2 - 3 = 0
3x2 - 4x = 0
Você pode resolvê-las por Bháskara, colocando o termo que está faltando como 0 (por exemplo, na primeira equação, B seria 0, e na segunda, C seria 0) e substituindo na fórmula. Porém, é mais fácil resolvê-las de outra maneira.

- Quando falta o termo B (ou seja, só há os termos A e C) então você deve isolar a incógnita.
7x2 - 3 = 0
7x2 = 3
x2 = 3/7
x = ± (3/7)1/2

Muito importante: o uso do ± (mais ou menos) assegura que haverá duas respostas reais e opostas (3 e -3, 4 e -4, 9 e -9, etc.).

- Quando falta o termo C (ou seja, só há os termos A e B) então você precisa fazer uma fatoração.
3x2 - 4x = 0
x . (3x - 4) = 0
x = 0 ou 3x - 4 = 0

Por que esse raciocínio é válido?
a . b = 0
a = 0 ou b = 0
Quando se tem uma multiplicação que totaliza 0, então um dos fatores tem que necessariamente ser 0.

Então x = 0 ou x = 4/3 (quatro terços)

Mais uma coisa:
As equações completas de segundo grau (algumas, não todas) podem ser resolvidas pela fatoração chamada soma e produto, mas a vantagem da fórmula quadrática é que ela funciona SEMPRE, e fatoração só algumas vezes.

Há muitos tipos de equações do segundo grau: equações fracionárias do segundo grau, equações do segundo grau irracionais, equações biquadradas, mas você já sabe a maior parte, que é resolver uma equação do segundo grau simples, completa ou incompleta.