Binômio de Newton

O Binômio de Newton, evidentemente desenvolvido pelo célebre Isaac Newton, serve para calcularmos o valor de um número binomial do tipo (a + b)n .

Quando o expoente n for 2, fica simples, apenas decorando “o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo” = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Porém quando o expoente for um número maior, fica mais complicado, do que aplicar o método da distributiva (“chuveirinho”).

A fórmula que Newton criou é a seguinte:

O numero de termos da nova expressão será o expoente n + 1 .

Exemplo de utilização do binômio de Newton

Para saber rapidamente quais são os valores dos números binomiais, basta pesquisarmos o Triângulo de Pascal:

Então obtemos a expressão:

1.16x4.1 + 4.8x3.1 + 6.4x2.1 + 4.2x . 1 + 1.1.1

1.16x4.1 + 32x3.1 + 24x2.1 + 8x . 1 + 1

Caso em uma questão de vestibular seja pedido a soma dos coeficientes numérico do desenvolvimento de um binômio, não é necessário fazer todo o desenvolvimento pelo binômio de newton, basta saber a seguinte dica:

- troque qualquer letra do binômio por 1
- calcule o valor que ficará dentro dos parênteses, e pronto, basta elevá-lo à n.

No desenvolvimento que mostramos anteriormente, a soma dos coeficientes é 81 (16 + 32 + 24 + 8 + 1), agora utilizando a dica dada:

(2x+1)4

(2.1 + 1)4 = 34 = 81