Equações Diferencias

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Equações Diferenciais

Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y⁽ⁿ⁾ é chamada uma equação diferencial de ordem n.

DEFINIÇÃO: Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação).

CLASSIFICAÇÃO

• EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.
  
• EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.
  

ORDEM: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
Exemplos:

y' = 2x	tem ordem 1 e grau 1
y"+x2(y')3 - 40y = 0	tem ordem 2 e grau 3
y"'+x2y3 = x.tanx	tem ordem 3 e grau 3

RESOLUÇÃO

A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade).

Ex: Equação diferencial ordinária: = 3x² - 4x + 1

dy = (3x² - 4x + 1) dx

dy = 3 x²dx - 4 xdx + dx + C

y = x³ - 2x² + x + C (solução geral)

Uma solução particular pode ser obtida da geral através, por exemplo, da condição y(-1) = 3

(condição inicial)

3 = -1 - 2 - 1 + C C = 7 y = x³ - 2x² + x + 7 (solução particular)

Observação: Em qualquer dos dois casos, a prova pode ser feita derivando a solução e, com isso, voltando à equação dada.

As soluções se classificam em:

Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n = ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, C², lnC,

Solução Particular - Obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de contorno).

EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS, 2ª ORDEM

FORMA : y'' + a1 y' + a0 y = 0 (a0, a1 constantes)
Ex: y =
Então y' = e y'' =
Substituindo na equação dada: ou () = 0
0 para todo x, logo devemos ter = 0, que é uma equação do segundo grau na variável , chamada EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA.
A solução da equação diferencial linear irá depender da raízes 1 e 2.

• 1, 2 números reais e distintos C1 e C2 são soluções particulares da EDO e a solução geral é y = C1 + C2
• 1 = 2 = (números reais e iguais) a solução geral da EDO é y = C1 + C2x
• 1 = a + bi, 2 = a - bi (complexos conjugados: a, b reais) a solução geral é y = C1 + C2

Ex: y'' - 2y' - 15y = 0
Equação característica: - 2 - 15 = 0 cujas raízes são: 1 = 5, 2= -3
Solução geral: y =

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N

Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma:

f_n(x)y⁽ⁿ⁾ + f_n-1(x) y^(n-1) +...+ f₂(x) y^'' + f₁(x)y' + f₀(x)y = k(x)

onde k(x) e os coeficientes f_i (x) são funções de x.
CLASSIFICAÇÕES:
Equação linear homogênea (k(x) = 0), ou equação linear não-homogênea (k(x) 0).
Equação linear: de coeficientes constantes ( f₀, f₁, f₂, ..., f_n constantes)
de coeficientes variáveis (pelo menos um f_i variável)

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS

Se P e Q têm derivadas parciais contínuas, então:
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
é uma equação diferencial exata se e somente se
Ex: (3x² - 2y³ + 3)dx + (x³ - 6xy² + 2y)dy = 0
P(x,y) = 3x²y - 2y³ + 3 e Q(x,y) = x³ - 6xy² + 2y
e
logo Px = Qx e a equação diferencial é exata.
TEOREMA: A equação diferencial linear de primeira ordem y' + P(x)y = Q(x) pode ser transformada em uma equação diferencial de variáveis separáveis multiplicando-se ambos os membros pelo fator integrante .
Ex:
Solução: A equação tem a forma do teorema onde, P(x) = -3x² e Q(x) = x²
Pelo teorema:
Multiplicando todos os termos pelo fator integrante:
- 3x²y = x² ou = x²dx = + C
A multiplicação por dá a solução: