Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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Equações Diferenciais
Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n) é chamada uma equação diferencial de ordem n.DEFINIÇÃO: Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação). |
CLASSIFICAÇÃO
- EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.
- EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.
Exemplos:
y' = 2x
| tem ordem 1 e grau 1 |
y"+x2(y')3 - 40y = 0 | tem ordem 2 e grau 3 |
y"'+x2y3 = x.tanx
| tem ordem 3 e grau 3 |
RESOLUÇÃO
A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade).
Ex: Equação diferencial ordinária:
= 3x2 - 4x + 1
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dy = (3x2 - 4x + 1) dx
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y = x3 - 2x2 + x + C (solução geral)
Uma solução particular pode ser obtida da geral através, por exemplo, da condição y(-1) = 3
(condição inicial)
3 = -1 - 2 - 1 + C
C = 7
y = x3 - 2x2 + x + 7 (solução particular)
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Observação: Em qualquer dos dois casos, a prova pode ser feita derivando a solução e, com isso, voltando à equação dada.
As soluções se classificam em:
Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n = ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, C2, lnC,
Solução Particular - Obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de contorno).
EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS, 2ª ORDEM
FORMA : y'' + a1 y' + a0 y = 0 (a0, a1 constantes)Ex: y =
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Então y' =
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Substituindo na equação dada:
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A solução da equação diferencial linear irá depender da raízes
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-
1,
2 números reais e distintos
C1
e C2
são soluções particulares da EDO e a solução geral é y = C1
+ C2
1 =
2 =
(números reais e iguais)
a solução geral da EDO é y = C1
+ C2x
1 = a + bi,
2 = a - bi (complexos conjugados: a, b reais)
a solução geral é y = C1
+ C2
Equação característica:
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Solução geral: y =
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N
Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma:
fn(x)y(n) + fn-1(x) y(n-1) +...+ f2(x) y'' + f1(x)y' + f0(x)y = k(x)
onde k(x) e os coeficientes fi (x) são funções de x.CLASSIFICAÇÕES:
Equação linear homogênea (k(x) = 0), ou equação linear não-homogênea (k(x)
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Equação linear: de coeficientes constantes ( f0, f1, f2, ..., fn constantes)
de coeficientes variáveis (pelo menos um fi variável)
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS
Se P e Q têm derivadas parciais contínuas, então:P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
é uma equação diferencial exata se e somente se
Ex: (3x² - 2y³ + 3)dx + (x³ - 6xy² + 2y)dy = 0
P(x,y) = 3x²y - 2y³ + 3 e Q(x,y) = x³ - 6xy² + 2y
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logo Px = Qx e a equação diferencial é exata.
TEOREMA: A equação diferencial linear de primeira ordem y' + P(x)y = Q(x) pode ser transformada em uma equação diferencial de variáveis separáveis multiplicando-se ambos os membros pelo fator integrante
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Ex:
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Solução: A equação tem a forma do teorema onde, P(x) = -3x² e Q(x) = x²
Pelo teorema:
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Multiplicando todos os termos pelo fator integrante:
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A multiplicação por
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