Ensino de Matemática : Geometria Analítica retas

Retas
Geometria analítica: retas
Introdução
Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa.
Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:

Medida algébrica de um segmento
Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais x_A e x_B , temos:

A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.
Plano cartesiano
A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.
Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria ( ponto, reta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.), podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar algebricamente representações gráficas.
Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:

Exemplos:

A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (x_A > 0 e y_A > 0)
B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( x_B <>B <>

Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.
Distância entre dois pontos
Dados os pontos A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B) e sendo d_AB a distância entre eles, temos:

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:

Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

Razão de secção

Dados os pontos A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C) de uma mesma reta

, o ponto C divide

numa determinada razão, denominada razão de secção e indicada por:

em que

, pois se

, então A = B.
Observe a representação a seguir:

Como o

, podemos escrever:

Vejamos alguns exemplos:

Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(3, 4), a razão em que o ponto P divide é:

Se calculássemos r_p usando as ordenadas dos pontos, obteríamos o mesmo resultado:

Para os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(1, 2), temos:

Assim, para um ponto P qualquer em relação a um segmento orientado

contido em um eixo, temos:

se P é interior a , então r_p > 0
se P é exterior a , então r_p <>
se P = A, então r_p =0
se P = B, então não existe r_p (PB = 0)
se P é o ponto médio de , então r_p =1

Ponto médio

Dados os pontos A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) e P, que divide ao meio, temos:

Assim:

Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas por:

Baricentro de um triângulo

Observe o triângulo da figura a seguir, em que M, N e P são os pontos médios dos lados , respectivamente. Portanto, são as medianas desse triângulo:

Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das medianas de um triângulo.

Esse ponto divide a mediana relativa a um lado em duas partes: a que vai do vértice até o baricentro tem o dobro da mediana da que vai do baricentro até o ponto médio do lado.

Veja:

Cálculo das coordenadas do baricentro

Sendo A(X_A, Y_A), B(X_B, Y_B) e C(X_C, Y_C) vértices de um triângulo, se N é ponto médio de , temos:

Mas:

Analogamente, determinamos . Assim:
Condições de alinhamento de três pontos

Se três pontos, A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) e C(x_C, y_C), estão alinhados, então:

Para demonstrar esse teorema podemos considerar três casos:

a) três pontos alinhados horizontalmente

Neste caso, as ordenadas são iguais:

y_A = y_B = y_C

e o determinante é nulo, pois a 2ª e a 3ª coluna são proporcionais.

b) três pontos alinhados verticalmente

Neste caso, as abscissas são iguais:

x_A = x_B = x_C

e o determinante é nulo, pois a 1ª e a 3ª coluna são proporcionais.

c) três pontos numa reta não-paralela aos eixos

Pela figura, verificamos que os triângulos ABD e BCE são semelhantes. Então:

Desenvolvendo, vem:

Como:

então .

Observação: A recíproca da afirmação demonstrada é válida, ou seja, se , então os pontos A(x_A,y_A), B(x_B,y_B) e C(x_C, y_C) estão alinhados.

Equações de uma reta

Equação geral

Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos.

Dada uma reta r, sendo A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:

Fazendo y_A - y_B = a, x_B - x_A = b e x_Ay_B - x_By_A=c, como a e b não são simultaneamente nulos , temos:

ax + by + c = 0

(equação geral da reta r)

Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n):
se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta;
se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.

Acompanhe os exemplos:

Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4).

Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

Vamos verificar se os pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos:

-3 - (-1) + 2 = 0

-3 + 1 + 2 = 0

Como a igualdade é verdadeira, então P

Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:

1 - 2 + 2

Como a igualdade não é verdadeira, então Q

Equação segmentária

Considere a reta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com

A equação geral de r é dada por:

Dividindo essa equação por pq

, temos:

Como exemplo, vamos determinar a equação segmentária da reta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2), conforme o gráfico:

Equações paramétricas

São equações equivalentes à equação geral da reta, da forma x= f(t) e y= g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com um parâmetro t.

Assim, por exemplo,

, são equações paramétricas de uma reta r.

Para obter a equação geral dessa reta a partir das paramétricas, basta eliminar o parâmetro t das duas equações:

x = t + 2

t = x -2

Substituindo esse valor em y = - t + 1, temos:

y = -(x - 2) + 1 = -x + 3

x + y - 3 = 0 ( equação geral de r)

Equação Reduzida

Considere uma reta r não-paralela ao eixo Oy:

Isolando y na equação geral ax + by + c = 0, temos:

Fazendo

, vem:

y = mx + q

Chamada equação reduzida da reta, em que

fornece a inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

Quando a reta for paralela ao eixo Oy, não existe a equação na forma reduzida.

Coeficiente angular

Chamamos de coeficiente angular da reta r o número real m tal que:

O ângulo

é orientado no sentido anti-horário e obtido a partir do semi-eixo positivo Ox até a reta r. Desse modo, temos sempre

Assim:

para ( a tangente é positiva no 1º quadrante)
para ( a tangente é negativa no 2º quadrante)

Exemplos:

Determinação do coeficiente angular
Vamos considerar três casos:
a) o ângulo

é conhecido

b) as coordenadas de dois pontos distintos da reta são conhecidas: A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B)

Como

( ângulos correspondentes) temos que

Mas, m = tg

Então:

Assim, o coeficiente angular da reta que passa, por exemplo, por A(2, -3) e B(-2, 5) é:

c) a equação geral da reta é conhecida

Se uma reta passa por dois pontos distintos A(X_A, Y_A) e B(X_B, Y_B), temos:

Aplicando o Teorema de Laplace na 1ª linha, vem:

(Y_A - Y_B)x + (X_B - X_A)y + X_AY_A - X_BY_B = 0

Da equação geral da reta, temos:

Substituindo esses valores em

, temos:

Equação de uma reta r, conhecidos o coeficiente angular e um ponto de r

Seja r uma reta de coeficiente angular m. Sendo P(X₀, Y₀), P

r, e Q(x,y) um ponto qualquer de r(Q

P), podemos escrever:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da reta r que passa por P(1, 2), sendo m=3. Assim, temos X₀=1 e Y₀=2. Logo:

y-y₀=m(x-x₀)=y-2 = 3(x - 1) = y-2 = 3x - 3 = 3x - y - 1 = 0

que é a equação geral de r.

Representação gráfica de retas

Para representar graficamente as retas de equação ax + by + c = 0 ( b

0), isolamos a variável y e atribuímos valores a x, obtendo pares ordenados que são pontos da reta.

Assim, é mais conveniente usar a equação na forma reduzida, já que ela apresenta o y isolado.

Coordenadas do ponto de intersecção de retas

A intersecção das retas r e s, quando existir, é o ponto P(x, y), comum a elas, que é a solução do sistema formado pelas equações das duas retas.

Vamos determinar o ponto de intersecção, por exemplo, das retas r: 2x +y - 4 =0 e s: x -y +1=0. Montando o sistema e resolvendo-o, temos:

Substituindo esse valor em x -y = -1, temos:

1 - y = -1

y = 2

Logo, P(1, 2) é o ponto de intersecção das retas r e s.

Graficamente, temos:

Posições relativas entre retas

Paralelismo

Duas retas, r e s, distintas e não-verticais, são paralelas se, e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais.

Concorrência

Dadas as retas r: a₁x +b₁y + c₁ = 0 e s: a₂x + b₂y + c₂ = 0, elas serão concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes:

Como exemplo, vamos ver se as retas r: 3x - 2y + 1 = 0 e s: 6x + 4y + 3 = 0 são concorrentes:

Perpendicularismo

Se r e s são duas retas não-verticais, então r é perpendicular a s se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1. Lê-se

. Acompanhe o desenho:

Ângulo entre duas retas

Sendo r e s duas retas não-verticais e não-perpendiculares entre si, pelo teorema do ângulo externo

, temos:

Dependendo da posição das duas retas no plano, o ângulo

pode ser agudo ou obtuso. Logo:

Essa relação nos fornece o ângulo agudo

entre r e s, pois

. O ângulo obtuso

será o suplemento de

Distância entre ponto e reta

Dados um ponto P(x₁, y₁) e uma reta r:ax + by + c = 0, a distância entre eles (d_pr)é dada por:

Vamos calcular a distância, por exemplo, do ponto P(-1,2) à reta r: x - 2y + 1 = 0.

Temos P(-1, 2) = P(x1, y1), a = 1, b= - 2 e c=1. Assim:

Bissetrizes

Dadas as retas concorrentes r: a₁x + b₁y + c₁ = 0 e s: a₂x + b₂y + c₂ = 0, o que se interceptam em um ponto Q, se P(x, y) é um ponto qualquer de uma das bissetrizes, P