CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

CIRCUNFERÊNCIA 




Circunferência é o conjunto de pontos de um plano, equidistantes de um ponto do plano chamado centro.

Qualquer segmento com uma extremidade no centro e a outra em um ponto da circunferência é chamado de raio

CORDA E DIÂMETRO



Corda é o segmento cujas extremidades pertencem à circunferência

Diâmetro é a corda que passa pelo centro da circunferência.

Observe que a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio, ou seja:

D = 2r


CIRCULO 

Observe as figuras e seus respectivos nomes :

Convém destacar que:

- todo ponto da circunferencia pertence ao círculo.
- Existem pontos do círculo que não pertencem à circunferência
- O centro, o raio e o diâmetro da circunferência são também centro, centro, raio e diametro do círculo.


EXERCÍCIOS

3) Determine:

a) o diâmetro de uma ciordunferência cujo raio mede 4,5 cm.
b) O raio de uma circunferência cujo diâmetro mede 17 cm
c) o diâmetro de uma circunferência cujo raio é igual a x.

5) O raio de uma circunferência é dado por r = 2x -6. Se o diâmetro mede 20 cm, calcule x.




POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA



Uma reta r e uma circunferência C podem ocupar as seguintes possições:

POSIÇÕES RELATICAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS



Duas circunferências distintas podem ser:

EXERCÍCIOS

1) Observe a figura e classifique:

2) Observe a figura e responda:

ARCOS

ÂNGULO CENTRAL

EXERCÍCIOS

ÂNGULO INSCRITO

exemplos

EXERCÍCIOS

CVCVCVCV

MONDAY, NOVEMBER 28, 2011

15 - POLÍGNOS CONVEXOS

POLÍGNOS CONVEXOS



POLÍGNOS

Plignos é um conjunto de segmentos consecutivos não colíneares no qual os extremos do primeiro e do último coincidem.

Assim como já vimos para os quadriláteros, dizemos que um polígno é convexo quando qualquer segmento com extremidades no polígno está contido nele.


ELEMENTOS DE UM POLÍGNO

NOMES DOS POLÍGONOS

Segundo o número de lados, os polígonos recebem nomes especiais:

O número de lados de um polígono é igual ao número de vértices.

EXERCÍCIOS

1)  Quais são os poligonos convexos?

2) Responda:

a) Quantos lados tem um hexágono?
b) Quantos lados tem um undecágono?
c) Quantos lados tem um polígono de 15 vértices ?
d) Quantos vértices tem um polígono de 9 lados?

3) Como se chama um polígono de:

a) 5 lados?
b) 12 lados?
c) 7 vértices?
d) 20 vértices?


SOMA DOS ÂNGULOS IN TERNOS DE UM POLIGONO CONVEXO

Ao traçar as diagonais qywe partem de um mesmo vértice de um polígono, nós o dividimos em triângulos, cujo número de triângulos é sempre o número de lados menos dois.

veja:

Um polígono de n lados será dividido em (n - 2) triângulso. logo para obter a soma de seus ângulos , basta multiplicar o número de triângulos por 180º ou seja:

Exemplos:

Calcular a soma dos ângulos internos so octógono (n = 8)

EXERCÍCIOS

1)  Calcule a soma dos ângulos internos dos seguintes polígonos :
a) pentágono
b) hexágono
c) eneagono
d) decagono
e) pentadecagono
f) icoságono


2) Qual a soma dos ângulos inbternos de um polígono convexo de 7 vértices?

3) A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é 900º Qual é o poligono?

4) A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é 3240º . Qual é o polígono?

5) Calcule x

EXERCÍCIOS

1) Qual é a medida de cada ângulo interno de um triângulo equilátero?

2) Calcule a medida do ângulo interno de cada polígono regular:
a) pentágono
b) hexagono
c) octógono
d) dodecágono


DIAGONAL DE UM POLÍGONO


Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vertices não consecutivos do polígono.

NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO

Exemplo

Calcule o número de diagonais de um octógono

EXERCÍCIOS

1) Calcule o número de diagonasis dos seguintes polígonos
a) hexágono
b) heptágono
c) eneágono
d) decágono
e) dodecágono
f) icoságono

2) Quantas diagonais tem um poligono de 25 lados?

3) Qual é o poligono cujo número de lados é igual ao número de diagonasi?

4) Qual é o poligono cujo o número de diagonais é o dobro do número de lados ?

5) A soma dos ângulos internos de um poligono convexo é 1080º  Calcule o número de diagonais desse poligono.

TUESDAY, NOVEMBER 08, 2011

03 - TERMOS SEMELHANTES

TERMOS SEMELHANTES

Dois ou mais termos são semelhantes quando têm a mesma parte literal.

Exemplos:

a)     5m  e -7 m são termos semelhantes

b)     2xy³ e 9y³x São termos semelhantes

Obs: veja que não importa a ordem dos fatores literais

Não são semelhantes os termos :

a)     4x e 7x²

b)     3xy² e 4x²y

Obs : que os expoentes de x são diferentes

EXERCÍCIOS

1)     Quais os pares de termos semelhantes?

a)     7a e 4a (X)

b)     2x² e -6x² (X)

c)      4y e 5y²

d)     8xy e –xy (X)

e)     -5a e -4ab

f)      4ab e 5/8 ab (X)

g)     8xy e 5yx (X)

h)     4x²y e –xy

i)       xy²e 2x²y

j)      3acb e abc (X)

k)     x/2 e 7x (X)

2)     Considere:

a)     3ab²

b)     -6x²

c)      8a²b

d)     7a²b

e)     5x

f)      9x²

g)     -4x²

h)     -2ab²

i)       -ab²

j)      3ax

Forme o conjunto de termos semelhantes

REDUÇÃO DE TERMOS SEMELHANTES

Quando numa mesma expressão, tivermos dois ou mais termos semelhantes, podemos reduzi-los todos a um único termo, usando a propriedade distibutiva

Exemplos:

1)     5x + 3x – 2x = 6x

2)     7xy – xy + 5xy = 11xy

Conclusão: somamos os coeficientes e conservamos a parte literal

EXERCÍCIOS

1)     Reduza os termos semelhantes:

a)     8a + 2a = (R: 10a)

b)     7x – 5x = (R: 2x)

c)      2y²- 9y² = ( R: -7y²)

d)     4a² - a² = (R: 3a²)

e)     4y – 6y =  (R: -2y)

f)      -3m²+ 8m² = (R: 5m²)

g)     6xy²- 8y²x = (R: -2xy²)

h)     5a – 5a = (R: 0)

2)     Reduza os termos semelhantes:

a)     8x + 1x/2 = (R: 17x/2)

b)     3a – 2a/3 = (R: 7a/3)

c)      1x/2 + 1x/3 = (R: 5x/6) 

d)     2 x²/3 - 1 x²/2 = (R: 1 x² /6)

e)     1y/2 – 2y/5 = (R: 1y/10)

f)      2x + 1x/2 -3x/4 = (R: 7x/4)

3)     reduza os termos semelhantes:

a)     7x -5x + 3x = (R: 5x)

b)     2y – y – 10y = (R: -9y)

c)      4a + a – 7a = (R: -2a)

d)     x²+ x² - 2x² = (R: 0)

e)     ab – ab + 5ab = (R: 5ab)

f)      4x³- x³ + 2x³ = (R: 5x³)

g)     10x – 13x –x = (R: -4x)

h)     8x – 10x + 4x = (R: 2x)

Há casos em que numa expressão há termos diferentes e termos semelhantes entre si. Observe que a redução só pode ser feita com termos semelhantes

Exemplo 1

7x + 8y -2x – 5y

7x – 2x + 8y – 5y

5x + 3y

Exemplo 2

4a³ + 5a² + 7a – 2a²+ a³- 9a + 6

4a² + a³+ 5a² - 2a² + 7a – 9a + 6

5a³ + 3a² - 2a + 6

Exercícios

1)      Reduza os termos semelhantes

a)     6a + 3a -7

b)     4a – 5 – 6a

c)      5x²+ 3x² -4

d)     X – 8 + x

e)     4m – 6m -1

f)      4a – 3 +8

g)     x²- 5x + 2x²

h)     4a – 2m – a

i)       Y + 1 – 3y

j)      X + 3xy + x

2)      Reduza os termos semelhantes:

a)     1/2x – 1/3y + x

b)     4a – 1/2a + 5 – 1/3

c)      1/2a – 3a²+ a + 3a

d)     4y – 3/5y +1/2 + 1

e)     2m + 3 + m/2 – 1/2

 ELIMINAÇÃO DE PARENTESES, COLCHETES E CHAVES

Vamos lembrar que:

Ao eliminar parênteses precedidos pelo sinal de (+), não toque o sinais dos termos incluídos nos parênteses.

Exemplos:

2x + (5x -3)

2x + 5x – 3

7x – 3

2) Ao eliminarmos parênteses precedidos pelo sinal negativo (-) troque os sinais incluídos nos parênteses.

Exemplo:

7x – (4x – 5)

7x -4x + 5

3x + 5

Para eliminação de colchetes e chaves são validas as regras acima.

Exemplos

1) 5x + (3x – 4)  - (2x – 9)

5x + 3x – 4 – 2x + 9

5x + 3x – 2x – 4 + 9

6x + 5

2) 8x – [ -2x + (10 + 3x – 7)]

8x – [ -2x + 10 +3x – 7]

8x +2x – 10 – 3x + 7

8x + 2x -3x - 10 +7

7x – 3

3) 2a² + { 3a – [ 6a – (3a² + a)]}

2a² + { 3a – [ 6a – 3a² - a]}

2a² + { 3a –  6a + 3a² + a}

2a² + 3a –  6a + 3a² + a

2a² + 3a² + 3a –  6a +a

5 a² -2ª

EXERCÍCIOS

1)      Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébricas:

a)      6x +  (2x – 4) – 2  = (R: 8x -6)

b)      7y -8 – (5y – 3)  = (R: 2y -5)

c)       4x – ( -3X + 9 – 2X) = ( R: 9x – 9)

d)      3x – (-2x + 5) – 8x + 9 = (R: -3x + 4)

e)      4x – 3 + (2x + 1) = (R: 6x -2)

f)       (x + y) – (x + 2y) = (R: -y)

g)      ( 3x – 2y) + (7x + y) = (R: 10x – 19)

h)      –(8a + 4 – ( 3a + 2) = (R: -11a -6)

2)      Reduza os termos semelhantes nas  seguintes expressões algébricas

a)      5a + (3a -2) – (10a – 8) = (R: -2a + 6)

b)      6x + (5x -7) – (20 + 3x ) = (R: 8x -27)

c)       (x + y + z) + x – (3y + z) = ( R: 2x – 2y)

d)      (m + 2n ) – ( r – 2n) – ( n+ r)  = (R: m + 3n – 2r)

e)      – (6y + 4x ) + ( 3y – 4x ) – (-2x + 3y)  = (R: -6y – 6x)

3)       Reduza os termos semelhantes nas  seguintes expressões algébricas

a)      6x² - [ 4x² + (3x – 5) + x] = (R: 2x²- 4x + 5)

b)      3X + { 2Y – [ 5X – (Y + X)]} = (R: -1x + 3y)

c)       – 3x + [ x² - ( 4x² - x ) + 5x] = (R: 0 )

d)      Xy – [ 2x + (3xy – 4x ) + 7x]  = (R: 2xy – 5x)

e)      8a – [ ( a + 2m) – ( 3a – 3m)] = (R: 10a – 5m)

f)       a– (b – c) + [ 2a + (3b + c)]  = (R: 3a + 2b + 2c)

g)      –[x + (7 – x) – (5 + 2x)]  = (R: -2x -2)

h)      { 9x – [ 4x – (x – y)- 5y] + y} = (R: 6x + 5y)

i)        (3a + 2m ) – [ ( a – 2m) – (6a + 2m)] = (R: 8a + 6m)

j)        7x³- { 3x² - x – [ 2x – { 5x³ - 6x² ) – 4x ]} = (R: 2x³ + 3x²- 1x)

k)      2y – { 3y + [4y – (y – 2x) + 3x ] – 4x } + 2x  = (R: 11y – 4x)

l)        8y + { 4y – [ 6x – y- (4x – 3y) – y ] – 2x } = (R: 6x + 4y)

m)    4x – { 3x + [ 4x – 3y – (6x – 5y ) – 3x ] – 6y}

n)      3x – { 3x – [3x – (3x –y) – y ] – y} - y

4)      Reduza os termos semelhantes das expressões  algébricas

a)      -2n – (n – 8) + 1 =  (R: -3n + 9)

b)      5 – ( 2a – 5 ) + a = (R: -a + 10)

c)       3x + ( -4 – 6x) + 9 = (R:  -3x + 5)

d)      8y – 8 – ( -3y + 5) =  (R: 11y – 13)

e)      a – [ n + ( a + 3) ] = (R: -n -3)

f)       5 + [ x – (3 – x)] = (R: 2x + 2)

g)      x² - [ x – (5 - x²)] = (R: -x + 5)

h)      5x – y – [ x – ( x – y)] = (R: 5x – 2y)

5)      Reduza os termos semelhantes das expressões  algébricas

a)      2x + ( 2x + y) – (3x – y) + 9x = (R: 10x + 2y)

b)      5a – { 5a – [ 5a – (5a – m) – m] – m } – m = (R: 0)

c)       – { 7a – m – [ 4m – (n – m + 3a) – 4a] + n } = (R : 14a + 6m – 2n)

d)      5xy – [ - (2xy + 5x) + [ 3Y – (-XY + X + 3XY)]} = (R: 9X + 6X -3Y)

e)      – {x – 2y + y – [ 3x + 5xy + 6y – (x –y) + 8 ]} = (R: x + 8y + 5xy + 8)

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