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domingo, 28 de agosto de 2016

Cônicas

Geometria Analítica - Cônicas
Elipse
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 <>

A figura obtida é uma elipse.
Observações:
1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória.
A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.
2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.
3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.
Elementos
Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:
  • focos : os pontos F1 e F2
  • centro: o ponto O, que é o ponto médio de
  • semi-eixo maior: a
  • semi-eixo menor: b
  • semidistância focal: c
  • vértices: os pontos A1, A2, B1, B2
  • eixo maior:
  • eixo menor:
  • distância focal:
Relação fundamental
Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:

a2 =b2 + c2
Excentricidade
Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

Pela definição de elipse, 2c <>
Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.
Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal
Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):
Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:

b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical
Nessas condições, a equação da elipse é:

Hipérbole
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:

A figura obtida é uma hipérbole.
Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:

Elementos
Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:
  • focos: os pontos F1 e F2
  • vértices: os pontos A1 e A2
  • centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de
  • semi-eixo real: a
  • semi-eixo imaginário: b
  • semidistância focal: c
  • distância focal:
  • eixo real:
  • eixo imaginário:
Excentricidade
Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
Como c > a, temos e > 1.
Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox

F1 (-c, 0)
F2 ( c, 0)
Aplicando a definição de hipérbole:
Obtemos a equação da hipérbole:
b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy
Nessas condições, a equação da hipérbole é:

Hipérbole eqüilátera
Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais:

a = b
Assíntotas da hipérbole
Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.
Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ; quando é vertical, o coeficiente é .
Equação
Vamos considerar os seguintes casos:
a) eixo real horizontal e C(0, 0)
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:
b) eixo vertical e C(0, 0)
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:
Parábola
Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d.
Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:

Observações:
1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:
2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.
3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.
4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.
Elementos
Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:
  • foco: o ponto F
  • diretriz: a reta d
  • vértice: o ponto V
  • parâmetro: p
Então, temos que:
  • o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e.
Assim, sempre temos .
  • DF =p
  • V é o ponto médio de
Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal
Como a reta d tem equação e na parábola temos:
  • ;
  • P(x, y);
  • dPF = dPd ( definição);
obtemos, então, a equação da parábola:

y2 = 2px
b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal
Nessas condições, a equação da parábola é:

y2 = -2px
c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical

x2=2py
d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical


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