Condições de existência de uma equação do 2º grau

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Uma equação do 2º grau possui algumas condições de existência envolvendo o valor do discriminante. Os coeficientes de uma equação quadrática determinam os possíveis resultados, por exemplo:

Caso o valor do discriminante seja maior que zero, a equação terá duas raízes reais e diferentes.

O discriminante possuindo valor menor que zero, indica que a equação não possui raízes reais.

Nas situações em que o discriminante assume valor igual a zero, a equação possui apenas uma raiz real.

Vamos desenvolver alguns exemplos relacionados às condições de existência e restrições de uma equação do 2º grau:

Exemplo 1

Determine o valor de k, considerando que a equação 2x² + 4x + 5k = 0 , tenha duas raízes reais e distintas.

Coeficientes:
a = 2, b = 4 e c = 5k

a) duas raízes reais e distintas

S = {k Є R / k < 2/5}



Exemplo 2

Vamos determinar o valor de p na seguinte equação: x² – (p + 5)x + 36 = 0, de forma que a equação possua raízes reais e iguais.

Coeficientes:
a = 1
b = p + 5
c = 36


a) raízes reais e iguais

S = {p Є R / p = 7 e p = –17}
A representação de um módulo ou valor absoluto de um número real é feito por duas barras paralelas.

Veja o resumo da definição de módulo de um número real abaixo:

|x| = x, se x ≥ 0
-x, se x < 0

Veja alguns exemplos de como calcular módulo ou valor absoluto de números reais.

• |+4| = 4

• |-3| = - (-3) = 3

• |10 – 6 | = |+4| = 4

• |-1 – 3| = |-4| = - (-4) = 4

• |-1| + |5| - |6| = -(-1) + 5 – 6 = 1 + 5 - 6 = 6 – 6 = 0

• - | -8| = -[-(-8)] = - 8

Veja alguns exemplos de como encontrar o módulo de valores desconhecidos.

• |x + 2| nesse caso teremos duas opções, pois não sabemos o valor da incógnita x. Assim, seguimos a definição:
x + 2, se x + 2 ≥ 0, ou seja, x ≥ -2
- (x + 2), se x + 2 < 0, ou seja, x < -2

• |2x – 10|
2x – 10, se 2x – 10 ≥ 0, ou seja, 2x ≥ 10 → x ≥ 5
-(2x – 10), se 2x – 10 < 0, ou seja, 2x < 10 → x < 5

• |x2 – 9|
x 2 – 9, se x2 – 9 ≥ 0
x 2 – 9 ≥ 0
x 2 ≥ 9
x ≥ 3 ou x ≤ -3

- (x 2 – 9) , se x2 – 9 < 0
x2 – 9 < 0
x2 < 9
-3 < x < 3

Concluímos que o módulo de um número real é sempre positivo ou nulo.
extraido de www.mundoeducacao.com.br