Característica, Mantissa e Tabela Logarítmica

Característica, Mantissa e Tabela Logarítmica

Normalmente, toda calculadora científica possui a função que permite calcular o valor do logaritmo decimal ou de base 10 de um número.
A figura abaixo exibe a calculadora do Windows XP no modo científico, com o resultado do logaritmo decimal de 127.
Observe que estão assinalados a característica do logaritmo (a parte inteira), a mantissa (a parte decimal) com 31 casas e a função log que efetua o cálculo.
O objetivo é obter esse resultado, com menos casas decimais, a partir dos conceitos de característica e mantissa do logaritmo decimal.

A mantissa, como veremos, é obtida a partir da tábua de logaritmos (ou tabela logarítmica) apresentada abaixo. A tabela contém a mantissa, com quatro casas decimais, dos logaritmos decimais de 10 a 309.
Henry Briggs, matemático inglês (1561-1630), foi quem publicou a primeira tábua de logaritmos de 1 a 1000 em 1617.

Característica de um logaritmo decimal

Antes de estabelecer o conceito de característica de um logaritmo decimal, vamos “tentar” calcular o logaritmo de 127. Pela definição de logaritmo temos que:

log 127 = x => 10^x = 127

Claramente se observa que não existe nenhum x inteiro que satisfaça essa igualdade. No entanto, podemos inferir facilmente que:

10² <>x (= 127) <>3

E daqui, que o valor de x está entre 2 e 3, ou seja:

2 < 3 =""> 2 <>

Desta forma, podemos estabelecer uma relação semelhante para qualquer logaritmo de um número inteiro positivo maior que 1. E, no caso, por exemplo, de log 0,0127. Por raciocínio análogo, vemos que:

log 0,0127 = x => 10^x = 0,0127

Ou seja:

0,01 < 1 =""> 10^-2 <>x <>-1 => -2 <>

A partir dos exemplos, que é consequência do fato de que qualquer número real positivo está necessariamente entre duas potências de 10 de expoentes inteiros consecutivos, pode-se concluir que o log b (b um número maior do que 0) está situado entre dois números inteiros e consecutivos, isto é, podemos sempre determinar um número inteiro c tal que:

c < = log b <>

Ao número c damos o nome de característica de log b. Ou, alternativamente, podemos definir a característica como o maior número inteiro que não supera o logaritmo decimal.
Dos exemplos, podemos, então, estabelecer as duas seguintes regras para determinar a característica de log b:
Regra 1:
Se b > 1, a característica de log b é o número de algarismos que antecedem a vírgula subtraído de uma unidade.
Exemplos:

1. log 127 => c = 3 – 1 = 2
2. log 12,756 => c = 2 – 1 = 1
3. log 3756,12 => c = 4 – 1 = 3

Regra 2:
Se 0 <>
Exemplos:

1. log 0,0127 => c = -2
2. log 0,00056 => c = -4
3. log 0,83 => c = -1

Fica claro dos fatos anteriores que o logaritmo decimal de um número b > 0 pode ser escrito como:

log b = c + m

onde c é um número inteiro (a característica) e m (a mantissa) um número decimal maior ou igual a zero e menor do que 1 (0 =<>

Mantissa

A mantissa m, em geral um número irracional, é obtida da tabela logarítmica a seguir, que fornece, apenas, os valores aproximados dos logaritmos de 10 a 309.
Voltando ao exemplo inicial vamos determinar a mantissa de log 127 com o uso da tabela: se encontra na interseção da linha com o número 12 com a coluna com o número 7, cujo valor é 1038, o que significa que m = 0,1038 e portanto:

log 127 = 2 + 0,1038 = 2,1038

Compare com o valor obtido com o uso da calculadora e veja que corresponde ao valor até a quarta casa decimal.
Propriedade da Mantissa:
A mantissa do logaritmo decimal de b não se altera se multiplicarmos b por um potência de 10 com expoente inteiro.
A propriedade é decorrência de:

log b.10^x = log b + log 10^x = log b + x.log 10 = log b + x

Note que, na expressão acima, o que muda no cálculo do logaritmo é o valor da característica que é acrescida (ou decrescida) do valor x correspondente ao expoente da potência. Por exemplo:

log 12 = 1 + 0,0792 e log 120 = 2 + 0,0792 = 1 + 0,0792 + 1

Veja na tabela que a mantissa de log 12 e log 120 são iguais.
Uma consequência dessa propriedade é: Os logaritmos de números cujas representações decimais diferem apenas pela posição da vírgula têm mantissas iguais.
Exemplo:
Os logaritmos decimais de 127, 1270, 0,127, 12,7 e 0,0127 têm mantissa igual a 0,1038 e caracaterísticas 2, 3, -1, 1 e -2 respectivamente.

Tabela Logarítmica

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	0000	0414	0792	1139	1461	1761	2041	2304	2553	2788
2	3010	3222	3424	3617	3802	3979	4150	4314	4472	4624
3	4771	4914	5051	5185	5315	5441	5563	5682	5798	5911
4	6021	6128	6232	6335	6435	6532	6628	6721	6812	6902
5	6990	7076	7160	7243	7324	7404	7482	7559	7634	7709
6	7782	7853	7924	7993	8062	8129	8195	8261	8325	8388
7	8451	8513	8573	8633	8692	8751	8808	8865	8921	8976
8	9031	9085	9138	9191	9243	9294	9345	9395	9445	9494
9	9542	9590	9638	9685	9731	9777	9823	9868	9912	9956
10	0000	0043	0086	0128	0170	0212	0253	0294	0334	0374
11	0414	0453	0492	0531	0569	0607	0645	0682	0719	0755
12	0792	0828	0864	0899	0934	0969	1004	1038	1072	1106
13	1139	1173	1206	1239	1271	1303	1335	1367	1399	1430
14	1461	1492	1523	1553	1584	1614	1644	1673	1703	1732
15	1761	1790	1818	1847	1875	1903	1931	1959	1987	2014
16	2041	2068	2095	2122	2148	2175	2201	2227	2253	2279
17	2304	2330	2355	2380	2405	2430	2455	2480	2504	2529
18	2553	2577	2601	2625	2648	2672	2695	2718	2742	2765
19	2788	2810	2833	2856	2878	2900	2923	2945	2967	2989
20	3010	3032	3054	3075	3096	3118	3139	3160	3181	3201
21	3222	3243	3263	3284	3304	3324	3345	3365	3385	3404
22	3424	3444	3464	3483	3502	3522	3541	3560	3579	3598
23	3617	3636	3655	3674	3692	3711	3729	3747	3766	3784
24	3802	3820	3838	3856	3874	3892	3909	3927	3945	3962
25	3979	3997	4014	4031	4048	4065	4082	4099	4116	4133
26	4150	4166	4183	4200	4216	4232	4249	4265	4281	4298
27	4314	4330	4346	4362	4378	4393	4409	4425	4440	4456
28	4472	4487	4502	4518	4533	4548	4564	4579	4594	4609
29	4624	4639	4654	4669	4683	4698	4713	4728	4742	4757
30	4771	4786	4800	4814	4829	4843	4857	4871	4886	4900