Observe as equações:
x4 - 13x2 + 36 = 0
9x4 - 13x2 + 4 = 0
x4 - 5x2 + 6 = 0
Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.
Denominamos essas equações de equações biquadradas.
Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:
ax4 + bx2 + c = 0
|
Exemplos:
x4 - 5x2 + 4 = 0
x4 - 8x2 = 0
3x4 - 27 = 0
Cuidado!
x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0 6x4 + 2x3 - 2x = 0 x4 - 3x = 0
As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA
Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau.
Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada.
Seqüência prática
- Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.
- Resolva a equação ay2 + by + c = 0
- Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0.
Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.
Exemplos:
- Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.
Solução
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
y2 - 13y + 36 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos:
y'=4 e y''=9
Como x2= y, temos:
Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.
- Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.
Solução
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
y2 + 4y - 60 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos:
y'=6 e y''= -10
Como x2= y, temos:
Logo, temos para o conjunto verdade:
.
.- Determine a soma das raízes da equação
.
Solução
Utilizamos o seguinte artifício:
Assim:
y2 - 3y = -2
y2 - 3y + 2 = 0
y'=1 e y''=2
Substituindo y, determinamos:
Logo, a soma das raízes é dada por:
Resolução de equações da forma: ax2n + bxn + c = 0
Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.
Para isso, substituimos xn por y, obtendo:
ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.
Exemplo:
- resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.
Solução
Fazendo x3=y, temos:
y2 + 117y - 1.000 = 0
Resolvendo a equação, obtemos:
y'= 8 e y''= - 125
Então:
Logo, V= {-5, 2 }.
Composição da equação biquadrada
Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula:
(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0
|
Exemplo:
- Compor a equação biquadrada cujas raízes são:
Solução
a) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0 b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0
x2(x2 -49) = 0 (x2-a2) (x2-b2) = 0
x4 - 49x2 = 0 x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0
PROPRIEDADES DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA
Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equação do 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.
De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada. Assim:
Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:
1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
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2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a -
.
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3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a 
.
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