Colégio Estadual Dinah Gonçalves
CONJUNTO DO NÚMERO RACIONAIS
Chama-se número racional todo o número que pode ser escrito em forma de fração,
São exemplos de números racionais;
“ Os números fracionários positivos;
+ 5/7, +1/3, +7/2, +9/4
“Os números fracionários negativos;
-5/7, -1/3, -7/2, -9/4
É concluir que todo número inteiro é também racional,
Veja:
a) O número 8 pode ser escrito como 8/1, logo 8 também é um número racional.
b) O número inteiro (-8) pode ser escrito como -8/1, logo (-8) também é um número racional
c) O número inteiro 0 pode ser escrito como 0/1, logo 0 é também um número racional.
O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q sendo formado pelos números inteiros e pelos números fracionários.
CONJUNTO Q
a) números inteiros positivos e negativos
b) número zero
c) números fracionários , positivos e negativos
CONVEM DESTACAR QUE:
1) O conjunto Q é infinito.
2) Os números racionais positivos podem ser escritos sem o sinal de +
Exemplo:
+3/7 escreve-se simplismente 3/7
3) Números opostos ou simétricos
Exemplos:
a) +3/8 e -3/8 são opostos
b) -1/2 e +1/2 são opostos
4) Regra de sinais
A indicação de uma divisão pode ser feita por meio de uma fração. Então, para saber o sinal do número racional, basta aplicar a regra de sinais da divisão.
Exemplos:
a) (-3) : (+5) = -3/+5 = -3/5
b) (-8) : (-7) = -8/-7 = +8/7 = 8/7
NÚMEROS DECIMAIS
Um número racional também pode ser representado por um número exato ou periódico.
Exemplos:
a) 7/2 = 3,5
b) -4/5 = -0,8
c) 1/3 = 0,333.......
d) 4/9 = 0,444......
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
Observe que os números racionais podem ser representados por pontos de uma reta, usando-se o mesmo processo de representação dos inteiros.
_-3___/____-2___/____-1_______0__/_____1_____/__2_______3__
.....-5/2........-3/2...................1/5.............5/3
Os pontos que estão à direita do zero chamam-se positivos.
Os negativos estão à esquerda do zero
Dados dois números quaisquer, o que está à direita é maior deles, e o que está a esquerda, o menor deles.
Na figura vemos que :
a) 1/5 > -3/2
b) -5/2 < -3/2
EXERCÍCIOS
1) Aplique a regra de sinais para a divisão e dê o resultado
a) -5/+9 = -5/9
b) -2/-3 = 2/3
c) +3/+4 = ¾
d) -9/+5 = -9/5
e) +7/-5 = -7/5
f) -8/7 = -8/7
2) Escreva os números racionais na forma irredutiveil:
a) 10/4 = 5/2
b) -12/48 = -1/4
c) -7/35 = -1/5
d) 18/-36 = -1/2
e) -75/50 = -3/2
f) -25/100 = -1/4
g) 11/99 = 1/9
h) -4/128 = -1/32
3) Transforme as frações seguintes em números inteiros:
a) -12/6 = -2
b) -32/8 = -4
c) 20/10 = 2
d) -17/1 = -17
e) -54/18 = -3
f) -45/15 = -3
g) 132/11 = -12
4) Dê o valor de:
a) (5.(-6))/2 = (R: -15)
b) ((-9) . (-8)) / 2 = (R: 36)
c) (2 . (-6) . (-3)) /(9 . (-2)) = (R: -2 )
d) (2 . 0 . 5) / 30 = (R: 0)
e) (6 . (-2) . (-3)) / -9 = (R: -4)
f) (-7 . (-8)) / -14 = (R: -4)
g) (-3 – 7 – 9) /19 = (R: -1)
h) (6 . (-4) . (-5)) /( 3 . (-8)) = (R: -5)
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO EM Q
Para as operações com números racionais relativos são validas as regras operatórias das frações e dos números inteiros relativos.
ADIÇÃO
Para adicionarmos números racionais relativos (na forma de fração) procedemos do seguinte modo:
1) Reduzimos (se necessário) as frações dadas ao mesmo denominador positivo.
2) Somamos os numeradores de acordo com a regra de sinais da adição de inteiros.
EXEMPLOS:
a) (-2/3) + (+1/2) = -2/3 + ½ = (-4 + 3) / 6 = -1/6
b) (+3/4) + (-1/2) = ¾ - ½ = (3-2)/ 4 = ¼
c) (-4/5) + (-1/2) = -4/5 -1/2 = (-8 -5) / 10 = -13/10
EXERCÍCIOS
1) Efetue as adições:
a) (+3/5) + (+1/2) = (R: 11/10)
b) (-2/3) + (+5/4) = (R: 7/12)
c) (-4/9) + (+2/3) = (R: 2/9)
d) (-3/7) + (+2/9) = (R: -13/63)
e) (-1/8) + (-7/8) = (R: -1)
f) (-1/3) + (-1/5) = (R: -8/15)
g) (-1/8) + (5/4) = (R: 9/8)
h) (+1/5) + ( +3/5) = (R: 4/5)
2) Efetue as adições:
a) (-2/5) + 3 = (R: 13/5)
b) (-1/6) + (+2) = (R: 11/6)
c) (-5/3) + (+1) = (R: -2/3)
d) (-4) + (-1/2) = (R: -9/2)
e) (-0,2) + (-1/5) = (R: -2/5)
f) (+0,4) + (+3/5) = (R: 1)
g) (-0,5) + (+0,7) = (R: 1/5 ou 0,2)
h) (-02) + (-1/2) = (R: -7/10)
3) Efetue as seguintes adições:
a) (+5/8) + (+1/2) + ( -2/15) = (R:119/120)
b) (+1/2) + (-1/3) + (+1/5) = (R:11/30)
c) (-1/2) + (-4/10) + (+1/5) = (R: -7/10)
d) (-3/5) + (+2) + (-1/3) = (R: 16/15)
b) -2/-3 = 2/3
c) +3/+4 = ¾
d) -9/+5 = -9/5
e) +7/-5 = -7/5
f) -8/7 = -8/7
2) Escreva os números racionais na forma irredutiveil:
a) 10/4 = 5/2
b) -12/48 = -1/4
c) -7/35 = -1/5
d) 18/-36 = -1/2
e) -75/50 = -3/2
f) -25/100 = -1/4
g) 11/99 = 1/9
h) -4/128 = -1/32
3) Transforme as frações seguintes em números inteiros:
a) -12/6 = -2
b) -32/8 = -4
c) 20/10 = 2
d) -17/1 = -17
e) -54/18 = -3
f) -45/15 = -3
g) 132/11 = -12
4) Dê o valor de:
a) (5.(-6))/2 = (R: -15)
b) ((-9) . (-8)) / 2 = (R: 36)
c) (2 . (-6) . (-3)) /(9 . (-2)) = (R: -2 )
d) (2 . 0 . 5) / 30 = (R: 0)
e) (6 . (-2) . (-3)) / -9 = (R: -4)
f) (-7 . (-8)) / -14 = (R: -4)
g) (-3 – 7 – 9) /19 = (R: -1)
h) (6 . (-4) . (-5)) /( 3 . (-8)) = (R: -5)
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO EM Q
Para as operações com números racionais relativos são validas as regras operatórias das frações e dos números inteiros relativos.
ADIÇÃO
Para adicionarmos números racionais relativos (na forma de fração) procedemos do seguinte modo:
1) Reduzimos (se necessário) as frações dadas ao mesmo denominador positivo.
2) Somamos os numeradores de acordo com a regra de sinais da adição de inteiros.
EXEMPLOS:
a) (-2/3) + (+1/2) = -2/3 + ½ = (-4 + 3) / 6 = -1/6
b) (+3/4) + (-1/2) = ¾ - ½ = (3-2)/ 4 = ¼
c) (-4/5) + (-1/2) = -4/5 -1/2 = (-8 -5) / 10 = -13/10
EXERCÍCIOS
1) Efetue as adições:
a) (+3/5) + (+1/2) = (R: 11/10)
b) (-2/3) + (+5/4) = (R: 7/12)
c) (-4/9) + (+2/3) = (R: 2/9)
d) (-3/7) + (+2/9) = (R: -13/63)
e) (-1/8) + (-7/8) = (R: -1)
f) (-1/3) + (-1/5) = (R: -8/15)
g) (-1/8) + (5/4) = (R: 9/8)
h) (+1/5) + ( +3/5) = (R: 4/5)
2) Efetue as adições:
a) (-2/5) + 3 = (R: 13/5)
b) (-1/6) + (+2) = (R: 11/6)
c) (-5/3) + (+1) = (R: -2/3)
d) (-4) + (-1/2) = (R: -9/2)
e) (-0,2) + (-1/5) = (R: -2/5)
f) (+0,4) + (+3/5) = (R: 1)
g) (-0,5) + (+0,7) = (R: 1/5 ou 0,2)
h) (-02) + (-1/2) = (R: -7/10)
3) Efetue as seguintes adições:
a) (+5/8) + (+1/2) + ( -2/15) = (R:119/120)
b) (+1/2) + (-1/3) + (+1/5) = (R:11/30)
c) (-1/2) + (-4/10) + (+1/5) = (R: -7/10)
d) (-3/5) + (+2) + (-1/3) = (R: 16/15)
SUBTRAÇÃO
Para encontrarmos a diferença entre dois números racionais, somamos o primeiro com o oposto do segundo
Exemplos
a) (+1/2) – (+1/4) = ½ -1/4 = 2/4 -1/4 = ¼
b) (-4/5) – (-1/2) = -4/5 + ½ = -8/10 + 5/10 = -3/10
Exercícios
1) Efetue as subtrações:
a) (+5/7) – (+2/3) = (R: 1/21)
b) (+2/3) – (+1/2) = (R: 1/6)
c) (+2/3) – (+4/5) = (R: -2/15)
d) (-7/8) – (-3/4) = (R: -1/8)
e) (-2/5) – (-1/4) = (R: -3/20)
f) (-1/2) – (+5/8) = (R: -9/8)
g) (+2/3) – ( (+1/5) = (R: 7/15)
h) (-2/5) – ( +1/2) = (R: -9/10)
2) Efetue as subtrações:
a) (+1/2) – (+5) = (R: -9/2)
b) (+5/7) – (+1) = (R: -2/7)
c) 0 – ( -3/7) = (R: 3/7)
d) (-4) – (-1/2) = (R: -7/2)
e) (+0,3) – (-1/5) = (R: ½)
f) (+0,7) – (-1/3) = 31/30
3) Calcule
a) -1 – ¾ = (R: -7/4)
b) (-3/5) + (1/2) = (R: -1/10)
c) 2 – ½ -1/4 = (R: 5/4)d) -3 -4/5 + ½ = (R: -33/10)
e) 7/3 + 2 -1/4 = (R: 49/12)
f) -3/2 + 1/6 + 2 -2/3 = (R: 0)
g) 1 – ½ + ¼ - 1/8 = (R:5/8)
h) 0,2 + ¾ + ½ - ¼ = (R:6/5)
i) ½ + (-0,3) + 1/6 = (R:11/30)
j) 1/5 + 1/25 + (-0,6) = (R: 1/10)
4) Calcule o valor de cada expressão:
a) 3/5 – 1 – 2/5 = (R: -4/5)
b) 3/5 – 0,2 + 1/10 = (R: ½)
c) -3 – 2 – 4/3 = (R: -19/3)
d) 4 – 1/10 + 2/5= (R: 43/10)
e) 2/3 – ½ -5 = (R: 29/6)
f) -5/12 – 1/12 + 2/3 = (R: 1/6)
5) Calcule o valor de cada expressões:
a) -1/3 + 2/9 – 4/3 = (R: -13/9)
b) -4 + ½ - 1/6 = (R:-11/3)
c) 0,3 + ½ - ¾ = (R: 1/20)
d) 1 + ¼ - 3/2 + 5/8 = (R: 3/8)
e) 0,1 + 3/2 – ¼ + 2 = (R: 67/20)
f) ¾ + 0,2 – 5/2 – 0,5 = ( R: - 41/20)
6) Calcule o valor de cada expressão
a) 1/2 – (-3/5) + 7/10 = (R: 9/5)
b) -(-1) – (- 4/3) + 5/6 = (R: 19/6)
c) 2 – ( - 2/3 – ¼) + 0,1 = (R: 181/60)d) ( -1 + ½) – ( -1/6 + 2/3) = (R: -1)
e) 2 – [ 3/5 – ( -1/2 + ¼ ) ] = (R: 23/20)
f) 3 – [ -1/2 – (0,1 + ¼ )] = (R: 77/20)
g) (1/3 + ½) – (5/6.- ¾) = (R: ¾)
h) (5/2 – 1/3 – ¾ ) – (1/2 + 1) = (R: -1/12)
i) (1/4 + ½ + 2 ) + (-1/6 + 2/3) = (R: 13/4)
j) (-0,3 + 0,5 ) – ( -2 - 4/5) = (R: 3)
k) (1/6 + 2/3) – (4/10 – 3/5) + 1/3 = (R: 41/30)
l) 0,2 + (2/3 – ¼) – ( -7/12 + 4/3) = (R: -2/15)
m) (1 – ¼) + (2 + ½) – (1 - 1/3) – ( 2 – ¼ ) = (R: 5/6 )
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO EM Q
MULTIPLICAÇÃO
Para multiplicarmos números racionais, procedemos do seguinte modo:
1) multiplicamos os numeradores entre si.
2) multiplicamos os denominadores entre si.
3) aplicamos as regras de sinais da multiplicação em Z.
EXEMPLOS :
a) (+1/7) . (+2/5) = +2/35
b) (-4/3) . (-2/7) = +8/21
c) (+1/4) . (-3/5) = -3/20
d) (-4) . (+1/5) = -4/5
EXERCICIOS
1) Efetue as multiplicações
a) (+1/5) . (+4/3) = (R: +4/15)
b) (+4/9) . ( -7/5) = (R: -28/45)
c) (-3/2) . ( -5/7) = (R: 15/14)
d) (-1/5) . (+1/4) = (R: -1/20)
e) (+2/3) . (-1/3) = (R: -2/9)
f) (-5/8) . (-4/3) = (R: +5/6)
g) (+4/5) . (-1/3) = (R: -4/15)
h) (-3/5) . (-7/4) = (R: +21/20)
2) Efetue as multiplicações
a) (+3) . (-1/5) = (R: -3/5)
b) (+2) . (+4/11) = (R: +8/11)
c) (-1) . (-3/10) = (R: 3/10)d) (-4/7) . (+5) = (R: -20/7)
e) (-2/5) . (-3) = (R: +6/5)
f) (+2/9) . 0 = (R: 0)
3) Efetue as multiplicações
a) (-1/2) . (+2/3) . (-3/7) = (R: +1/7)
b) (-2/5) . (-3/2) . (-8/5) = (R: -24/25)
c) (-1/2) . (-1/2) . (-1/2) = (R: -1/8)
d) (-1) . (+5/3) . (+3/5) = (R: -1)
e) (+7) . (-1/7) . (+7) = (R: -7)
4) Efetue as multiplicações:
a) (-2/3) . (+1/5) = (R: -2/15)
b) (-7/3) . (-3/7) = (R: 1)
c) (1/5) . (-7/3) = (R: -7/15)
d) (-2/9) . 5/7 = (R: -10/63)
e) (-3/4) . (-5/7) = (R: 15/28)
f) (-2) . (-1/6) = (R: 1/3)
g) 5 . (-4/7) = (R: -20/7)
h) -2 . (-1/3) = (R: 2/3)
5) Efetue as multiplicações:
a) (1/4 . 3/5) . 2/7 = (R: 3/70)
b) (2 – ¼) . (-2/3) = (R: -7/6)
c) (-3/4) . (+1/5) . (-1/2) = (R: 3/40)
d) 4. ( 1 – 7/5) = (R: -8/5)
e) (-3/5) . (-2) . (7/5) = (R: 42/25)
f) ( 1 – 4/5) . ( 1 – ½) = (R: 1/10)
DIVISÃO
Para Calcularmos o quociente de dois números racionais relativos, em que o segundo é diferente de zero, procedemos do seguinte modo:
1) multiplicamos o dividendo pelo inverso do divisor.
2) aplicamos as regras da multiplicação de números racionais.
Exemplos
a) ( -7/9 ) : (+5/2) = (-7/9) . (+2/5) = -14/45
b) (-1/4) : (-3/7) = ( -1/4) . (-7/3) = +7/12
c) (+3/5) : (-2) = (+3/5) . -1/2) = -3/10
EXERCICIOS
1) Efetue as divisões:
a) (+1/3) : (+2/3) = (R: +3/6)
b) (+4/7) : ( -2/5) = (R: -20/14 ou -10/7)
c) (-3/5) : (-3/7) = (R: +21/15 ou +7/5)
d) (-3/7) : (+2/3) = (R: -9/14)
e) (+1/9) : (-7/5) = (R: -5/63)
f) (+1/2) : (-3/4) = (R: -4/6 ou -2/3)
g) (-3/4) : (-3/4) = (R: +1)
h) (-7/5) : (+1/2) = (R: -14/5)
3) Efetue as divisões:
a) (+5) : (-3/2) = (R: -10/3)b) (-4) : (-3/5) = (R: +20/3)
c) (-3) : (-2/9) = (R: +27/2)d) (-5/2) : (+2) = (R: -5/4)e) (+4/3) : (-2) = (R: -4/3)
f) (-3/5) : (+0,1) = (R: -6)
4) Efetue as divisões:
a) 2/3 : 3/16 = (R: 32/9)
b) 2/5 : (-3/4) = (R: -8/15)
c) (-4/5) : (-3/5) = ( R: 20/15 ou 4/3)
d) (-4/9) : (-3) = (R: 4/27)
e) (-7/8) : 2/3 = (R: -21/16)f) 0 : (-4/7) = (R: 0)
POTENCIAÇÃO E RAIZ QUADRADA EM Q
POTENCIAÇÃO
A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais
Exemplos
a) (+1/5)² = (+1/5) . (+1/5) = +1/25
b) (-2/3)² = (-2/3) . (-2/3) = +4/9
c) ((-1/2)³ = (-1/2) . (-1/2) . (-1/2) = -1/8
Observações:
1) Todo número elevado a expoente zero é igual a 1.
Exemplos:
a) (+5/9)⁰ = 1
b) (-3/7)⁰ = 1
2) Todo número elevado a expoente um é igual ao próprio número.
a) (+3/8)¹ = +3/8
b) (-3/4)¹ = -3/4
EXERCICIOS
1) Calcule as potências:
a) (+1/3)² = (R: +1/9)b) (-1/5)² = (R: +1/25)
c) (+2/3)² = (R: +4/9)
d) (-3/7)² = (R: +9/49)
e) (+4/5)² = (R: +16/25)
f) (-3/2)² = (R: +9/4)
g) (-8/3)² = (R: 64/9)
h) (-1/4)² = (R: 1/16)
i) (-2/3)³ = (R: 8/27)
2) Calcule as potências:
a) (+1/5)¹ = (R: +1/5)
b) (-3/7)¹ = (R: -3/7)
c) (+2/9)⁰ = (R: +1)
d) (-1/3)³ = (R: -1/27)
e) (+3/2)⁴ = (R: +81/16)
f) (-1/2)⁴= (R: +1/16)
g) (-2/7)⁰ = (R: +1)
h) (-1/6)¹ = (R: -1/6))
i) (-5/9)⁰ = (R: +1)
3) Calcule as expressões:
a) (-1/2)² + 2/5 = (R: 13/20)
b) (-1/2)³ + 1 = (R: 7/8)
c) (2/5)² - (-1/2)³ = (R: 57/200)d) 2 + (-1/3)² - (1/2) = (R: 29/18)
e) 1 + ( (+2/5) – ( ½)² = (R: 23/20)
EXPOENTE NEGATIVO
Observe o exemplo:
2² : 2⁵ = 2² / 2⁵ = 1/ 2³
Pela regra de divisão de potências de mesma base sabemos que:
2² : 2⁵ = 2²⁻⁵ = 2⁻³
Então 2⁻³ = 1/2³
Conclusão: Todo o número diferente de zero a um expoente negativo é igual ao inverso do mesmo número com expoente positivo.
Exemplos:
a) 5⁻² = 1/5² = 1/25
b) 2⁻³ = 1/2³= 1/8
EXERCICIOS
1) Calcule as potências:
a) 4⁻² = (R: 1/16)
b) 4⁻³ = ( R: 1/16)
c) 5⁻¹ = (R: 1/5)
d) 3⁻³ = (R: 1/27)
e) 10⁻² = (R: 1/100)
f) 10⁻³ = (R: 1/1000)
g) 2⁻⁵ = (R: 1/32)
h) 7⁻¹ = (R: 1/7)
i) 1⁻¹⁸ = (R: 1)
2) Calcular as potências
a) (-5)⁻² = (R: 1/25)
b) (-3)⁻⁴ = (R: 1/81)
c) (-2)⁻⁵ = (R: -1/32)
d) (-5)⁻³ = (R: -1/125)
e) (-1)⁻⁴ = (R: 1)
f) (-1)⁻⁵ = (R: -1)
2) Calcule as potências
a) (3/7)⁻² = (R: 49/9)
b) (2/5)⁻¹ = (R: 5/2)
c) (1/3)⁻³ = (R: 27)
d) (-5/4)⁻³ = (R: 16/25)
e) (-1/3)⁻² = (R: 9)
f) (-2/5)⁻³ = (R: -125/8)
RAIZ QUADRADA
Extraímos separadamente a raiz do numerador e a raiz do denominador,
Exemplos
a) √16/49 = 4/7
b) √25/9 = 5/3
Obs: Os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q
Exemplo √-4/3
sábado, 18 de julho de 2009
02 - POTENCIAÇÃO E RAIZ QUADRADA EM Z
POTENCIAÇÃO
A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais
Exemplos 2³ = 2 .2 .2 = 8
Você sabe também que:
2 é a base
3 é o expoente
8 é a potência ou resultado
1) O expoente é par
a) (+7)² = (+7) . (+7) = +49
b) (-7)² = (-7) . (-7) = +49
c) (+2)⁴ = (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = + 16
d) (-2)⁴ = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = + 16
Conclusão : Quando o expoente for par, a potencia é um número positivo
2) Quando o expoente for impar
a) (+4)³ = (+4) . (+4) . (+4) = + 64
b) (-4)³ = (-4) . (-4) . (-4) = - 64
c) (+2)⁵ = (+2) . (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = +32
d) (-2)⁵ = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = -32
Conclusão : Quando o expoente é impar, a potência tem o mesmo sinal da base.
EXERCÍCIOS
1) Calcule as potências ;
a) (+7)²= (+49)
b) (+4)² = (+16)
c) (+3)² = (+9)
d) (+5)³ = (+125)
e) (+2)³ = (+8)
f) (+3)³ = (+27)
g) (+2)⁴ = (+16)
h) (+2)⁵ = +32
i) (-5)² = +25
j) (-3)² = +9
k) (-2)³ = -8
l) (-5)³ = -125
m) (-1)³ = -1
n) (-2)⁴ = +16
o) (-3)³ = -27
p) (-3)⁴ = +81
2) Calcule as potencias:
a) (-6)² = +36
b) (+3)⁴ = +81
c) (-6)³ = -216
d) (-10)² = +100
e) (+10)² = +100
f) (-3)⁵ = -243
g) (-1)⁶ = +1h) (-1)³ = -1
i) (+2)⁶ = +64
j) (-4)² = +16
k) (-9)² = +81
l) (-1)⁵⁴ = +1
m) (-1)¹³ = -1
n) (-4)³ = -64
o) (-8)² = +64
p) (-7)² = +49
3) Calcule as potencias
a) 0⁷ = 0
b) (-2)⁸ = 256
c) (-3)⁵ = -243
d) (-11)³ = -1331
e) (-21)² = 441
f) (+11)³ = +1331
g) (-20)³ = -8000
h) (+50)² = 2500
4) Calcule o valor das expressões (primeiro as potências)
a) 15 + (+5)² = 40
b) 32 – (+7)² = -17
c) 18 + (-5)² = 43
d) (-8)² + 14 = 78
e) (-7)² - 60 = -11f) 40 – (-2)³ = 48
g) (-2)⁵ + 21 = -11
h) (-3)³ - 13 = -40
i) (-4)² + (-2)⁴ = 32
j) (-3)² + (-2)³ =1
k) (-1)⁶ + (-3)³ = -26
l) (-2)³ + (-1)⁵ = -9
CONVEÇÕES:
Todo o número inteiro elevado a 1 é igual a ele mesmo.
Exemplos:
a) (+7)¹ = +7
b) (-3)¹ = -3
Todo o número inteiro elevado a zero é igual a 1.
Exemplos:
a) (+5)⁰ = 1
b) (-8)⁰= 1
IMPORTANTE!
Observe como a colocação dos parênteses é importante:
a) (-3)² = (-3) . (-3) = +9
b) -3² = -(3 . 3) = -9
Para que a base seja negativa, ela deve estar entre parênteses.
EXERCÍCIOS
1) Calcule as potências:
a) (+6)¹ = +6
b) (-2)¹ = -2c) (+10)¹ = +10
d) (-4)⁰ = +1e) (+7)⁰ = +1
f) (-10)⁰ = +1
g) (-1)⁰ = +1
h) (+1)⁰ = +1
i) (-1)⁴²³ = -1j) (-50)¹ = -50
k) (-100)⁰ = +1
l) 20000⁰ = +1
2) Calcule:
a) (-2)⁶ = 64
b) -2⁶ = -64
Os resultados são iguais ou diferentes?
R: Deferentes
3) Calcule as potências:
a) (-5)² = 25
b) -5² = -25
c) (-7)² = +49
d) -7² = -49
e) (-1)⁴ = +1
f) -1⁴ = -1
4) Calcule o valor das expressões (primeiro as potências):
a) 35 + 5²= 60b) 50 - 4² = -14
c) -18 + 10² = 82
d) -6² + 20 = -16
e) -12-1⁷ = -13
f) -2⁵ - 40 = -72
g) 2⁵ + 0 - 2⁴ = 16
h) 2⁴ - 2² - 2⁰ = 11
i) -3² + 1 - .65⁰ = -9
j) 4² - 5 + 0 + 7² = 60
k) 10 - 7² - 1 + 2³ = -32
l) 3⁴ - 3³ + 3² - 3¹ + 3⁰ = 61
PROPRIEDADES
1) Produto de potência de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes.
Observe: a³ . a² = ( a .a .a ) . ( a .a ) = a⁵
Note que: a³ . a² = a³ ⁺ ² = a⁵
Exemplos
a) (-5)⁷ . (-5)² = (-5) ⁷ ⁺ ² = (-5)⁹
b) (+2)³ . (+2)⁴ = (+2)³ ⁺ ⁴ = (+2)⁷
EXERCÍCIOS
1) Reduza a uma só potência:
a) 5⁶ . 5² = 5⁹
b) x⁷. x⁸= x¹⁵a) 2⁴ . 2 . 2⁹ = 2¹⁴
b) x⁵ .x³ . x = x⁹
c) m⁷ . m⁰ . m⁵ = m¹²
d) a . a² . a = a⁴
1) Reduza a uma só potencia:
a) (+5)⁷ . (+5)² = (+5)⁹
b) (+6)² . (+6)³ = (+6)⁵
c) (-3)⁵ . (-3)² = (-3)⁷
d) (-4)² . (-4) = (-4)³
e) (+7) . (+7)⁴ = (+7)⁵
f) (-8) . (-8) . (-8) = (-8)³
g) (-5)³ . (-5) . (-5)² = (-5)⁶
h) (+3) . (+3) . (+3)⁷ = (+3)⁹
i) (-6)² . (-6) . (-6)² = (-6)⁵
j) (+9)³ . (+9) . (+9)⁴ = (+9)⁸
2) Divisão de potências de mesma base:
Observe: a⁵ : a² = (a . a . a . a .a ) : (a .a ) = a³
Note que: a⁵ : a² = a⁵⁻² = a³
Exemplos:
a) (-5)⁸ : (-5)⁶ = (-5)⁸⁻⁶ = (-5)²
b) (+7)⁹ : (+7)⁶ = (+7)⁹⁻⁶ = (+7)³
EXERCÍCIOS
1) Reduza a um asó potência:
a) a⁷ : a³ = a⁴
b) c⁸ : c² = c⁶
c) m³ : m = m²
d) x⁵ : x⁰ = x⁵
e) y²⁵ : y²⁵ = y⁰= 1f) a¹⁰² : a = a¹⁰¹
2) Reduza a uma só potência:
a) (-3)⁷ : (-3)² = (-3)⁵
b) (+4)¹⁰ : (+4)³ = (+4)⁷
c) (-5)⁶ : (-5)² = (-5)⁴
d) (+3)⁹ : (+3) = (+3)⁸
e) (-2)⁸ : (-2)⁵ = (-2)³
f) (-3)⁷ : (-3) = (-3)⁶
g) (-9)⁴ : (-9) = (-9)³
h) (-4)² : (-4)² = (-4)⁰ = 1
3) Calcule os quocientes:
a) (-5)⁶ : (-5)⁴ = (R: 25)
b) (-3)⁵ : (-3)² = (R: -27 )
c) (-4)⁸ : (-4)⁵= (R: -64)
d) (-1)⁹ : (-1)² = (R: -1)
e) (-7)⁸ : (-7)⁶= (R: 49)
f) (+10)⁶ : (+10)³ = (R: 1000)
3) Potência de Potência:
Obeserve: (a²)³ = a²˙³ = a⁶
Exemplo: [(-2)³]⁴ = (-2)³˙⁴ = (-2)¹²
EXERCÍCIOS
1) Aplique a propriedade de potência de potência.
a) [(-4)² ]³ = (-4)⁶
b) [(+5)³ ]⁴ = (+5)¹²
c) [(-3)³ ]² = (-3)⁶
d) [(-7)³ ]³ = (-7)⁹e) [(+2)⁴ ]⁵ = (+2)²⁰
f) [(-7)⁵ ]³ = (-7)¹⁵
g) [(-1)² ]² = (-1)⁴
h) [(+2)³ ]³ = (+2)⁹
i) [(-5)⁰ ]³ = (-5)⁰ = 1
2) Calcule o valor de:
a) [(+3)³]² = 729
b) [(+5)¹]⁵ = -243
c) [(-1)⁶]² = 1
d) [(-1)³]⁷ = -1e) [(-2)²]³ = 64
f) [(+10)²]² = 10000
4) Potência de um produto.
Obeserve: ( a . b )³ = ( a . b ) . (a . b ) . ( a . b ) = ( a . a . a ) . ( b . b . b ) = a³ . b³
Exemplos: [(-2) . (+5) ] = (-2)³ . (+5)³
EXERCÍCIOS
1) Aplique a propriedade de potência de um produto:
a) [(-2) . (+3)]⁵ = (-2)⁵ . (+3)⁵b) [(+5) . (-7)]³ = (+5)³. (-7)³
c) [(-7) . (+4)]² = (-7)² . (+4)²
d) [(+3) . (+5)]² = (+3)² . (+5)²
e) [(-4)² . (+6)]³ = (-4)⁶ . (+6)³
f) [(+5)⁴ . (-2)³]² = (-4)⁸ . (+6)⁶
RAIZ QUADRADA EXATA DE NÚMEROS INTEIROS
Vamos recordar:
√49 = 7, porque 7² = 49
No conjunto dos números inteiros, a raiz quadrada de 49 pode ser:
+7, poque (+7)² = 49.
-7, porque (-7)² = 49.
Como o resultado de uma operação, deve ser único, vamos adotar o seguinte critério:
Exemplos:
a) +√16 = +4
b) - √16 = -4
c) √9 = 3
d) -√9 = -3
Os números negativos não têm raiz quadrada no conjunto Z
Veja:
a) √-9 = nenhum inteiro, pois (nenhum inteiro)² = -9
b) √-16 = nenhum inteiro, pois (nenhum inteiro)² = -16
EXERCÍCIOS
1) Determine as raízes:
a) √4 = 2
b) √25 = 5
c) √0 = 0
d) -√25 = -5
e) √81 = 9
f) -√81 = -9
g) √36 = 6
h) -√1 = -1
i) √400 = 20
j) -√121 = -11
k) √169 = 13
l) -√900 = -30
2) Calcule caso exista em Z:
a) √4 = 2
b) √-4 = não existe
c) -√4 = -2d) √64 = 8e) √-64 = não existe
f) -√64 = -8
g) -√100 = -10
h) √-100 = não existe
3) Calcule:
a) √25 + √16 = 9
b) √9 - √49 = -4
c) √1 + √0 = 1
d) √100 - √81 + √4 = 3
e) -√36 + √121 + √9 = 8
f) √144 + √169 -√81 = 16
EXEPRESSÕES NÚMERICAS
As expressões devem ser resolvidas obedecendo à seguinte ordem de operações:
1) Potenciação e radiciação;
2) Multiplicação e divisão
3) Adição e subtração
Nessas operações são realizados :
1) parênteses ( )
2) colchetes [ ]
3) chaves { }
exemplos:
calcular o valor das expressões :
1°) exemplo
(-3)² - 4 - (-1) + 5²
9 – 4 + 1 + 25
5 + 1 + 25
6 + 25
31
2°) exemplo
15 + (-4) . (+3) -10
15 – 12 – 10
3 – 10
-7
3°) exemplo
5² + √9 – [(+20) : (-4) + 3]
25 + 3 – [ (-5) +3 ]
25 + 3 - [ -2]
25 +3 +2
28 + 2
30
EXERCÍCIOS
1) Calcule o valor das expressões:
a) 5 + ( -3)² + 1 = 15
b) 10 + (-2)³ -4 = -2
c) 12 – 1 + (-4)² = 27
d) (-1)⁵ + 3 – 9 = -7
e) 18 – (+7) + 3² = 20
f) 6 + (-1)⁵ - 2 = 3
g) (-2)³ - 7 – (-1) = -14
h) (-5)³ - 1 + (-1)⁹ = -127
i) 5⁰ - ( -10) + 2³ = 19
j) (-2)³ + (-3)² - 25 = -24
2) Calcule o valor das expressões:
a) 3 - 4² + 1 = -12
b) 2³ - 2² - 2 = 2
c) (-1)⁴ + 5 - 3² = -3
d) 5⁰ - 5¹ - 5⁰ = -5
e) (-3)². (+5) + 2 = 47
f) (-1)⁷ - (-1)⁸ = -2
g) 5 + (-3)² + 7⁰ = 15
h) √49 + 2³ - 1 = 14
3) Calcule o valor das expressões:
a) (-3)² + 5 = 14
b) (-8)² - (-9)² = -17
c) -72⁰ + (-1)⁸ = 0d) (-12)⁰ + (+12)⁰ = 2
e) 10³ - (-10)² - 10⁰ = 899
f) (-7)² + (-6)² - (-1)² = 84
g) (-1)⁶ + (+1)⁵ + (-1)⁴ + (+1)³ = 4
h) 2⁶ - 2⁵ - 2⁴ - 2³ - 2² - 2 = 2
4) Calcule o valor das expressões:
a) (-3) . (+7) + (-8) . (-3) = 3
b) (-3)³ + (+2)² - 7 = -30
c) 8 + (-3 -1)² = 24
d) (-2 + 6)³ : (+3 – 5)² = 16
e) –(-5)² + (-7 + 4) = -28
f) (-2)⁶ + (+5) . (-2) = 54
5) Calcule o valor das expressões:
a) (-3)³ . (-2)² + (3) + 5⁰ = -110
b) (-1)³ + 3 + (+2) . (+5) = 12
c) (-2) . (-7) + (-3)² = 23
d) 2 . (-5)² - 3 . (-1)³ + 4 = 57
e) –[ -1 + (-3) . (-2)]²
f) –(5 – 7)³ - [ 5 - 2² - (4 – 6)] = 5
g) (-3 + 2 – 1)³ - ( -3 + 5 – 1)⁸ + 3 = -6
h) 8 – [ -7 + )-1) . (-6) + 4]²
i) 14 – [(-1)³ . (-2)² + (-35) : (+5)] = 25
j) 5³ - [ 10 + (7 -8)² ]² - 4 + 2³ = 8
k) (-1)⁸ + 6⁰ - [15 + (-40) : (-2)³ ] = -18
l) -3 –{ -2 – [(-35) : (+5) + 2² ]} = -4
6) Calcule o valor das expressões:
a) (- 3 + 5 + 2) : (-2) = -2
b) (+3 – 1)² - 15 = -11
c) (-2)³ - (-1 + 2)⁵ = -9
d) 40 : (-1)⁹ + (-2)³ - 12 = -60
e) 10 – [5 – (-2) + (-1)] = 4
f) 2 – { 3 + [ 4 – (1 – 2) + 3 ] – 4} = -5
g) 15 – [ (-5)² - (10 - 2³ ) ] = -8
h) 13 – [(-2) – (-7) + (+3)² ] = -1
i) 7² - [ 6 – (-1)⁵ - 2²] = 46
j) 2³ - [(-16) : (+2) – (-1)⁵] = 15
k) 50 : { -5 + [ -1 –(-2)⁵ : (-2)³ ]} = -5
7) Calcule o valor das expressões:
a) 10 + (-3)² = 19
b) (-4)² - 3 = 13
c) 1 + (-2)³ = -7
d) -2 + (-5)² = 23
e) (-2)² + (-3)³ = -23
f) 15 + (-1)⁵ - 2 = 12g) (-9)² -2 – (-3) = 82
h) 5 + (-2)³ + 6 = 3
8) Calcule o valor das expressões:
a) 5 – { +3 – [(+2)² -(-5)² + 6 – 4 ]} = -17
b) 15 – { -3 + [(5 – 6)² . (9 -8 ) ² + 1]} = 16
c) 18 – { 6 – [ -3 – (5 – 4) – (7- 9)³ ] – 1 } = 17
d) -2 + { -5 –[ -2 – (-2)³ - 3- (3 -2 )⁹ ] + 5 } = -4
e) 4 – {(-2)² . (-3) – [ -11 + (-3) . (-4)] – (-1)} = 16
Exercícios em forma de teste:
1) O resultado de (-1001)² é:
a) 11 011
b) -11 011
c) 1 002 001 X
d) -1 002 001
2) O valor da expressão 2⁰ - 2¹ - 2² é:
a) -4
b) -5 x
c) 8
d) 0
3) O valor da expressão (-10)² - 10² é:
a) 0 x
b) 40
c) -20
d) -40
4) O valor da expressão √16 - √4 é
a) 2 x
b) 4
c) 6
d) 12
5) O valor da expressão 10 + √9 – 1 é:
a) 14
b) 18
c) 12 x
d) 20
6) O valor da expressão (-4)⁴ - (-4) é :
a) 20
b) -20
c) 252
d) 260 x
7) O valor da expressão (-2)⁴ + (-9)⁰ - (-3)² é :
a) 8 x
b) 12
c) 16
d) -26
8) O valor da expressão (-7)² + (+3) . (-4) – (-5) é :
a) 7
b) 37
c) 42 x
d) 47
9) A expressão (-7)¹⁰ : (-7)⁵ é igual a:
a) (-7)⁵ x
b) (-7)²
c) (-7)¹⁵
d) (-1)²
10) O valor da expressão –[-2 + (-1) . (-3)]² é :
a) -1 x
b) -4
c) 1
d) 4
11) O valor da expressão numérica -4² + (3 -5) . (-2)³ + 3² - (-2)⁴ é
a) 7
b) 8
c) 15
d) -7 x
A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais
Exemplos 2³ = 2 .2 .2 = 8
Você sabe também que:
2 é a base
3 é o expoente
8 é a potência ou resultado
1) O expoente é par
a) (+7)² = (+7) . (+7) = +49
b) (-7)² = (-7) . (-7) = +49
c) (+2)⁴ = (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = + 16
d) (-2)⁴ = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = + 16
Conclusão : Quando o expoente for par, a potencia é um número positivo
2) Quando o expoente for impar
a) (+4)³ = (+4) . (+4) . (+4) = + 64
b) (-4)³ = (-4) . (-4) . (-4) = - 64
c) (+2)⁵ = (+2) . (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = +32
d) (-2)⁵ = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = -32
Conclusão : Quando o expoente é impar, a potência tem o mesmo sinal da base.
EXERCÍCIOS
1) Calcule as potências ;
a) (+7)²= (+49)
b) (+4)² = (+16)
c) (+3)² = (+9)
d) (+5)³ = (+125)
e) (+2)³ = (+8)
f) (+3)³ = (+27)
g) (+2)⁴ = (+16)
h) (+2)⁵ = +32
i) (-5)² = +25
j) (-3)² = +9
k) (-2)³ = -8
l) (-5)³ = -125
m) (-1)³ = -1
n) (-2)⁴ = +16
o) (-3)³ = -27
p) (-3)⁴ = +81
2) Calcule as potencias:
a) (-6)² = +36
b) (+3)⁴ = +81
c) (-6)³ = -216
d) (-10)² = +100
e) (+10)² = +100
f) (-3)⁵ = -243
g) (-1)⁶ = +1h) (-1)³ = -1
i) (+2)⁶ = +64
j) (-4)² = +16
k) (-9)² = +81
l) (-1)⁵⁴ = +1
m) (-1)¹³ = -1
n) (-4)³ = -64
o) (-8)² = +64
p) (-7)² = +49
3) Calcule as potencias
a) 0⁷ = 0
b) (-2)⁸ = 256
c) (-3)⁵ = -243
d) (-11)³ = -1331
e) (-21)² = 441
f) (+11)³ = +1331
g) (-20)³ = -8000
h) (+50)² = 2500
4) Calcule o valor das expressões (primeiro as potências)
a) 15 + (+5)² = 40
b) 32 – (+7)² = -17
c) 18 + (-5)² = 43
d) (-8)² + 14 = 78
e) (-7)² - 60 = -11f) 40 – (-2)³ = 48
g) (-2)⁵ + 21 = -11
h) (-3)³ - 13 = -40
i) (-4)² + (-2)⁴ = 32
j) (-3)² + (-2)³ =1
k) (-1)⁶ + (-3)³ = -26
l) (-2)³ + (-1)⁵ = -9
CONVEÇÕES:
Todo o número inteiro elevado a 1 é igual a ele mesmo.
Exemplos:
a) (+7)¹ = +7
b) (-3)¹ = -3
Todo o número inteiro elevado a zero é igual a 1.
Exemplos:
a) (+5)⁰ = 1
b) (-8)⁰= 1
IMPORTANTE!
Observe como a colocação dos parênteses é importante:
a) (-3)² = (-3) . (-3) = +9
b) -3² = -(3 . 3) = -9
Para que a base seja negativa, ela deve estar entre parênteses.
EXERCÍCIOS
1) Calcule as potências:
a) (+6)¹ = +6
b) (-2)¹ = -2c) (+10)¹ = +10
d) (-4)⁰ = +1e) (+7)⁰ = +1
f) (-10)⁰ = +1
g) (-1)⁰ = +1
h) (+1)⁰ = +1
i) (-1)⁴²³ = -1j) (-50)¹ = -50
k) (-100)⁰ = +1
l) 20000⁰ = +1
2) Calcule:
a) (-2)⁶ = 64
b) -2⁶ = -64
Os resultados são iguais ou diferentes?
R: Deferentes
3) Calcule as potências:
a) (-5)² = 25
b) -5² = -25
c) (-7)² = +49
d) -7² = -49
e) (-1)⁴ = +1
f) -1⁴ = -1
4) Calcule o valor das expressões (primeiro as potências):
a) 35 + 5²= 60b) 50 - 4² = -14
c) -18 + 10² = 82
d) -6² + 20 = -16
e) -12-1⁷ = -13
f) -2⁵ - 40 = -72
g) 2⁵ + 0 - 2⁴ = 16
h) 2⁴ - 2² - 2⁰ = 11
i) -3² + 1 - .65⁰ = -9
j) 4² - 5 + 0 + 7² = 60
k) 10 - 7² - 1 + 2³ = -32
l) 3⁴ - 3³ + 3² - 3¹ + 3⁰ = 61
PROPRIEDADES
1) Produto de potência de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes.
Observe: a³ . a² = ( a .a .a ) . ( a .a ) = a⁵
Note que: a³ . a² = a³ ⁺ ² = a⁵
Exemplos
a) (-5)⁷ . (-5)² = (-5) ⁷ ⁺ ² = (-5)⁹
b) (+2)³ . (+2)⁴ = (+2)³ ⁺ ⁴ = (+2)⁷
EXERCÍCIOS
1) Reduza a uma só potência:
a) 5⁶ . 5² = 5⁹
b) x⁷. x⁸= x¹⁵a) 2⁴ . 2 . 2⁹ = 2¹⁴
b) x⁵ .x³ . x = x⁹
c) m⁷ . m⁰ . m⁵ = m¹²
d) a . a² . a = a⁴
1) Reduza a uma só potencia:
a) (+5)⁷ . (+5)² = (+5)⁹
b) (+6)² . (+6)³ = (+6)⁵
c) (-3)⁵ . (-3)² = (-3)⁷
d) (-4)² . (-4) = (-4)³
e) (+7) . (+7)⁴ = (+7)⁵
f) (-8) . (-8) . (-8) = (-8)³
g) (-5)³ . (-5) . (-5)² = (-5)⁶
h) (+3) . (+3) . (+3)⁷ = (+3)⁹
i) (-6)² . (-6) . (-6)² = (-6)⁵
j) (+9)³ . (+9) . (+9)⁴ = (+9)⁸
2) Divisão de potências de mesma base:
Observe: a⁵ : a² = (a . a . a . a .a ) : (a .a ) = a³
Note que: a⁵ : a² = a⁵⁻² = a³
Exemplos:
a) (-5)⁸ : (-5)⁶ = (-5)⁸⁻⁶ = (-5)²
b) (+7)⁹ : (+7)⁶ = (+7)⁹⁻⁶ = (+7)³
EXERCÍCIOS
1) Reduza a um asó potência:
a) a⁷ : a³ = a⁴
b) c⁸ : c² = c⁶
c) m³ : m = m²
d) x⁵ : x⁰ = x⁵
e) y²⁵ : y²⁵ = y⁰= 1f) a¹⁰² : a = a¹⁰¹
2) Reduza a uma só potência:
a) (-3)⁷ : (-3)² = (-3)⁵
b) (+4)¹⁰ : (+4)³ = (+4)⁷
c) (-5)⁶ : (-5)² = (-5)⁴
d) (+3)⁹ : (+3) = (+3)⁸
e) (-2)⁸ : (-2)⁵ = (-2)³
f) (-3)⁷ : (-3) = (-3)⁶
g) (-9)⁴ : (-9) = (-9)³
h) (-4)² : (-4)² = (-4)⁰ = 1
3) Calcule os quocientes:
a) (-5)⁶ : (-5)⁴ = (R: 25)
b) (-3)⁵ : (-3)² = (R: -27 )
c) (-4)⁸ : (-4)⁵= (R: -64)
d) (-1)⁹ : (-1)² = (R: -1)
e) (-7)⁸ : (-7)⁶= (R: 49)
f) (+10)⁶ : (+10)³ = (R: 1000)
3) Potência de Potência:
Obeserve: (a²)³ = a²˙³ = a⁶
Exemplo: [(-2)³]⁴ = (-2)³˙⁴ = (-2)¹²
EXERCÍCIOS
1) Aplique a propriedade de potência de potência.
a) [(-4)² ]³ = (-4)⁶
b) [(+5)³ ]⁴ = (+5)¹²
c) [(-3)³ ]² = (-3)⁶
d) [(-7)³ ]³ = (-7)⁹e) [(+2)⁴ ]⁵ = (+2)²⁰
f) [(-7)⁵ ]³ = (-7)¹⁵
g) [(-1)² ]² = (-1)⁴
h) [(+2)³ ]³ = (+2)⁹
i) [(-5)⁰ ]³ = (-5)⁰ = 1
2) Calcule o valor de:
a) [(+3)³]² = 729
b) [(+5)¹]⁵ = -243
c) [(-1)⁶]² = 1
d) [(-1)³]⁷ = -1e) [(-2)²]³ = 64
f) [(+10)²]² = 10000
4) Potência de um produto.
Obeserve: ( a . b )³ = ( a . b ) . (a . b ) . ( a . b ) = ( a . a . a ) . ( b . b . b ) = a³ . b³
Exemplos: [(-2) . (+5) ] = (-2)³ . (+5)³
EXERCÍCIOS
1) Aplique a propriedade de potência de um produto:
a) [(-2) . (+3)]⁵ = (-2)⁵ . (+3)⁵b) [(+5) . (-7)]³ = (+5)³. (-7)³
c) [(-7) . (+4)]² = (-7)² . (+4)²
d) [(+3) . (+5)]² = (+3)² . (+5)²
e) [(-4)² . (+6)]³ = (-4)⁶ . (+6)³
f) [(+5)⁴ . (-2)³]² = (-4)⁸ . (+6)⁶
RAIZ QUADRADA EXATA DE NÚMEROS INTEIROS
Vamos recordar:
√49 = 7, porque 7² = 49
No conjunto dos números inteiros, a raiz quadrada de 49 pode ser:
+7, poque (+7)² = 49.
-7, porque (-7)² = 49.
Como o resultado de uma operação, deve ser único, vamos adotar o seguinte critério:
Exemplos:
a) +√16 = +4
b) - √16 = -4
c) √9 = 3
d) -√9 = -3
Os números negativos não têm raiz quadrada no conjunto Z
Veja:
a) √-9 = nenhum inteiro, pois (nenhum inteiro)² = -9
b) √-16 = nenhum inteiro, pois (nenhum inteiro)² = -16
EXERCÍCIOS
1) Determine as raízes:
a) √4 = 2
b) √25 = 5
c) √0 = 0
d) -√25 = -5
e) √81 = 9
f) -√81 = -9
g) √36 = 6
h) -√1 = -1
i) √400 = 20
j) -√121 = -11
k) √169 = 13
l) -√900 = -30
2) Calcule caso exista em Z:
a) √4 = 2
b) √-4 = não existe
c) -√4 = -2d) √64 = 8e) √-64 = não existe
f) -√64 = -8
g) -√100 = -10
h) √-100 = não existe
3) Calcule:
a) √25 + √16 = 9
b) √9 - √49 = -4
c) √1 + √0 = 1
d) √100 - √81 + √4 = 3
e) -√36 + √121 + √9 = 8
f) √144 + √169 -√81 = 16
EXEPRESSÕES NÚMERICAS
As expressões devem ser resolvidas obedecendo à seguinte ordem de operações:
1) Potenciação e radiciação;
2) Multiplicação e divisão
3) Adição e subtração
Nessas operações são realizados :
1) parênteses ( )
2) colchetes [ ]
3) chaves { }
exemplos:
calcular o valor das expressões :
1°) exemplo
(-3)² - 4 - (-1) + 5²
9 – 4 + 1 + 25
5 + 1 + 25
6 + 25
31
2°) exemplo
15 + (-4) . (+3) -10
15 – 12 – 10
3 – 10
-7
3°) exemplo
5² + √9 – [(+20) : (-4) + 3]
25 + 3 – [ (-5) +3 ]
25 + 3 - [ -2]
25 +3 +2
28 + 2
30
EXERCÍCIOS
1) Calcule o valor das expressões:
a) 5 + ( -3)² + 1 = 15
b) 10 + (-2)³ -4 = -2
c) 12 – 1 + (-4)² = 27
d) (-1)⁵ + 3 – 9 = -7
e) 18 – (+7) + 3² = 20
f) 6 + (-1)⁵ - 2 = 3
g) (-2)³ - 7 – (-1) = -14
h) (-5)³ - 1 + (-1)⁹ = -127
i) 5⁰ - ( -10) + 2³ = 19
j) (-2)³ + (-3)² - 25 = -24
2) Calcule o valor das expressões:
a) 3 - 4² + 1 = -12
b) 2³ - 2² - 2 = 2
c) (-1)⁴ + 5 - 3² = -3
d) 5⁰ - 5¹ - 5⁰ = -5
e) (-3)². (+5) + 2 = 47
f) (-1)⁷ - (-1)⁸ = -2
g) 5 + (-3)² + 7⁰ = 15
h) √49 + 2³ - 1 = 14
3) Calcule o valor das expressões:
a) (-3)² + 5 = 14
b) (-8)² - (-9)² = -17
c) -72⁰ + (-1)⁸ = 0d) (-12)⁰ + (+12)⁰ = 2
e) 10³ - (-10)² - 10⁰ = 899
f) (-7)² + (-6)² - (-1)² = 84
g) (-1)⁶ + (+1)⁵ + (-1)⁴ + (+1)³ = 4
h) 2⁶ - 2⁵ - 2⁴ - 2³ - 2² - 2 = 2
4) Calcule o valor das expressões:
a) (-3) . (+7) + (-8) . (-3) = 3
b) (-3)³ + (+2)² - 7 = -30
c) 8 + (-3 -1)² = 24
d) (-2 + 6)³ : (+3 – 5)² = 16
e) –(-5)² + (-7 + 4) = -28
f) (-2)⁶ + (+5) . (-2) = 54
5) Calcule o valor das expressões:
a) (-3)³ . (-2)² + (3) + 5⁰ = -110
b) (-1)³ + 3 + (+2) . (+5) = 12
c) (-2) . (-7) + (-3)² = 23
d) 2 . (-5)² - 3 . (-1)³ + 4 = 57
e) –[ -1 + (-3) . (-2)]²
f) –(5 – 7)³ - [ 5 - 2² - (4 – 6)] = 5
g) (-3 + 2 – 1)³ - ( -3 + 5 – 1)⁸ + 3 = -6
h) 8 – [ -7 + )-1) . (-6) + 4]²
i) 14 – [(-1)³ . (-2)² + (-35) : (+5)] = 25
j) 5³ - [ 10 + (7 -8)² ]² - 4 + 2³ = 8
k) (-1)⁸ + 6⁰ - [15 + (-40) : (-2)³ ] = -18
l) -3 –{ -2 – [(-35) : (+5) + 2² ]} = -4
6) Calcule o valor das expressões:
a) (- 3 + 5 + 2) : (-2) = -2
b) (+3 – 1)² - 15 = -11
c) (-2)³ - (-1 + 2)⁵ = -9
d) 40 : (-1)⁹ + (-2)³ - 12 = -60
e) 10 – [5 – (-2) + (-1)] = 4
f) 2 – { 3 + [ 4 – (1 – 2) + 3 ] – 4} = -5
g) 15 – [ (-5)² - (10 - 2³ ) ] = -8
h) 13 – [(-2) – (-7) + (+3)² ] = -1
i) 7² - [ 6 – (-1)⁵ - 2²] = 46
j) 2³ - [(-16) : (+2) – (-1)⁵] = 15
k) 50 : { -5 + [ -1 –(-2)⁵ : (-2)³ ]} = -5
7) Calcule o valor das expressões:
a) 10 + (-3)² = 19
b) (-4)² - 3 = 13
c) 1 + (-2)³ = -7
d) -2 + (-5)² = 23
e) (-2)² + (-3)³ = -23
f) 15 + (-1)⁵ - 2 = 12g) (-9)² -2 – (-3) = 82
h) 5 + (-2)³ + 6 = 3
8) Calcule o valor das expressões:
a) 5 – { +3 – [(+2)² -(-5)² + 6 – 4 ]} = -17
b) 15 – { -3 + [(5 – 6)² . (9 -8 ) ² + 1]} = 16
c) 18 – { 6 – [ -3 – (5 – 4) – (7- 9)³ ] – 1 } = 17
d) -2 + { -5 –[ -2 – (-2)³ - 3- (3 -2 )⁹ ] + 5 } = -4
e) 4 – {(-2)² . (-3) – [ -11 + (-3) . (-4)] – (-1)} = 16
Exercícios em forma de teste:
1) O resultado de (-1001)² é:
a) 11 011
b) -11 011
c) 1 002 001 X
d) -1 002 001
2) O valor da expressão 2⁰ - 2¹ - 2² é:
a) -4
b) -5 x
c) 8
d) 0
3) O valor da expressão (-10)² - 10² é:
a) 0 x
b) 40
c) -20
d) -40
4) O valor da expressão √16 - √4 é
a) 2 x
b) 4
c) 6
d) 12
5) O valor da expressão 10 + √9 – 1 é:
a) 14
b) 18
c) 12 x
d) 20
6) O valor da expressão (-4)⁴ - (-4) é :
a) 20
b) -20
c) 252
d) 260 x
7) O valor da expressão (-2)⁴ + (-9)⁰ - (-3)² é :
a) 8 x
b) 12
c) 16
d) -26
8) O valor da expressão (-7)² + (+3) . (-4) – (-5) é :
a) 7
b) 37
c) 42 x
d) 47
9) A expressão (-7)¹⁰ : (-7)⁵ é igual a:
a) (-7)⁵ x
b) (-7)²
c) (-7)¹⁵
d) (-1)²
10) O valor da expressão –[-2 + (-1) . (-3)]² é :
a) -1 x
b) -4
c) 1
d) 4
11) O valor da expressão numérica -4² + (3 -5) . (-2)³ + 3² - (-2)⁴ é
a) 7
b) 8
c) 15
d) -7 x
domingo, 17 de maio de 2009
01-NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
INTRODUÇÃO:
Observe que, no conjunto dos números naturais, a operação de subtração nem sempre é possivel
exemplos:
a) 5 - 3 = 2 (possível: 2 é um número natural)
b) 9 - 9 = 0 ( possível: 0 é um número natural)
c) 3 - 5 = ? ( impossível nos números naturais)
Para tonar sempre possível a subtração, foi criado o conjunto dos números inteiros relativos,
-1, -2, -3,.........
lê-se: menos um ou 1 negativo
lê-se: menos dois ou dois negativo
lê-se: menos três ou três negativo
Reunindo os números negativos, o zero e os números positivos, formamos o conjunto dos numeros inteiros relativos, que será representado por Z.
Z = { .....-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,......}
Importante: os números inteiros positivos podem ser indicados sem o sinal de +.
exemplo
a) +7 = 7
b) +2 = 2
c) +13 = 13
d) +45 = 45
Sendo que o zero não é positivo nem negativo
EXERCICIOS
1) Observe os números e diga:
-15, +6, -1, 0, +54, +12, -93, -8, +23, -72, +72
a) Quais os números inteiros negativos?
R: -15,-1,-93,-8,-72
b) Quais são os números inteiros positivos?
R: +6,+54,+12,+23,+72
2) Qual o número inteiro que não é nem positivo nem negativo?
R: É o zero
3) Escreva a leitura dos seguintes números inteiros:
a) -8 =(R: oito negativo)
b)+6 = (R: seis positivo)
c) -10 = (R: dez negativo)
d) +12 = (R: doze positivo)
e) +75 = (R: setenta e cinco positivo)
f) -100 = (R: cem negativo)
4) Quais das seguintes sentenças são verdadeiras?
a) +4 = 4 = ( V)
b) -6 = 6 = ( F)
c) -8 = 8 = ( F)
d) 54 = +54 = ( V)
e) 93 = -93 = ( F )
5) As temperaturas acima de 0°C (zero grau) são representadas por números positivos e as temperaturas abaixo de 0°C, por números negativos. Represente a seguinte situação com números inteiros relativos:
a) 5° acima de zero = (R: +5)
b) 3° abaixo de zero = (R: -3)
c) 9°C abaixo de zero= (R: -9)
d) 15° acima de zero = ( +15)
REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA
Vamos traçar uma reta e marcar o ponto 0. À direta do ponto 0, com uma certa unidade de medida, assinalemos os pontos que correspondem aos números positivos e à esquerda de 0, com a mesma unidade, assinalaremos os pontos que correspondem aos números negativos.
_I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_
-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6
exercícios
1) Escreva os números inteiros:
a) compreendidos entre 1 e 7 (R: 2,3,4,5,6)
b) compreendidos entre -3 e 3 (R: -2,-1,0,1,2)
c) compreendidos entre -4 e 2 ( R: -3, -2, -1, 0, 1)
d) compreendidos entre -2 e 4 (R: -1, 0, 1, 2, 3 )
e) compreendidos entre -5 e -1 ( R: -4, -3, -2)
f) compreendidos entre -6 e 0 (R: -5, -4, -3, -2, -1)
2) Responda:
a) Qual é o sucessor de +8? (R: +9)
b) Qual é o sucessor de -6? (R: -5)
c) Qual é o sucessor de 0 ? (R: +1)
d) Qual é o antecessor de +8? (R: +7)
e) Qual é o antecessor de -6? ( R: -7)
f) Qual é o antecessor de 0 ? ( R: -1)
3) Escreva em Z o antecessor e o sucessor dos números:
a) +4 (R: +3 e +5)
b) -4 (R: -5 e - 3)
c) 54 (R: 53 e 55 )
d) -68 (R: -69 e -67)
e) -799 ( R: -800 e -798)
f) +1000 (R: +999 e + 1001)
NÚMEROS OPOSTOS E SIMÉTRICOS
Na reta numerada, os números opostos estão a uma mesma distancia do zero.
-I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_
-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6
Observe que cada número inteiro, positivo ou negativo, tem um correspondente com sinais deferentes
exemplo
a) O oposto de +1 é -1.
b) O oposto de -3 é +3.
c) O oposto de +9 é -9.
d) O oposto de -5 é +5.
Obsevação: O oposto de zero é o próprio zero.
EXERCÍCIOS
1) Determine:
a) O oposto de +5 = (R:-5)
b) O oposto de -9 = (R: +9)
c) O oposto de +6 = (R: -6)
d) O oposto de -6 = (R: +6)
e) O oposto de +18 = (R: -18)
f) O oposto de -15 = (R: +15)
g) O oposto de +234= (R: -234)
h) O oposto de -1000 = (R: +1000)
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS ,
Observe a representação gráfica dos números inteiros na reta.
-I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_
-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6
Dados dois números quaisquer, o que está à direita é o mair deles, e o que está à esquerda, o menor deles.
exemplos
a) -1 maior; -4, poque -1 está à direita de -4.
b) +2 maior; -4, poque +2 está a direita de -4
c) -4 menor -2 , poque -4 está à esquerda de -2.
d) -2 menor +1, poque -2 está à esquerda de +1.
exercicios
1) Qual é o número maior ?
a) +1 ou -10 (R:+1)
b) +30 ou 0 (R: +30)
c) -20 ou 0 ( R: 0)
d) +10 ou -10 (R: +10)
e) -20 ou -10 (R: -10)
f) +20 ou -30 (R: +20)
g) -50 ou +50 (R:+50)
h) -30 ou -15 (R:-15)
2) compare os seguites pares de números, dizendo se o primeiro é maior, menor ou igual
a) +2 e + 3 (menor)
b) +5 e -5 (maior)
c) -3 e +4 (nenor)
d) +1 e -1 (maior)
e) -3 e -6 ( maior)
f) -3 e -2 (menor)
g) -8 e -2 (menor)
h) 0 e -5 (maior)
i) -2 e 0 (nenor)
j) -2 e -4 (maior)
l) -4 e -3 (menor)
m) 5 e -5 (maior)
n) 40 e +40 ( igual)
o) -30 e -10 (menor)
p) -85 e 85 (menor)
q) 100 e -200 (maior)
r) -450 e 300 (menor)
s) -500 e 400 (menor)
3) coloque os números em ordem crescente.
a) -9,-3,-7,+1,0 (R: -9,-7,-3,0,1)
b) -2, -6, -5, -3, -8 (R: -8, -6,-5, -3,-2)
c) 5,-3,1,0,-1,20 (R: -3,-1,0,1,5,20)
d) 25,-3,-18,+15,+8,-9 (R: -18,-9,-3,+8,+15,+25)
e) +60,-21,-34,-105,-90 ( R: -105,-90,-34,-21, +60)
f) -400,+620,-840,+1000,-100 ( R: -840,-400,-100,+620,+1000)
4) Coloque os números em ordem decrescente
a) +3,-1,-6,+5,0 (R: +5,+3,0,-1,-6)
b) -4,0,+4,+6,-2 ( R: +6,+4,0,-2,-4)
c) -5,1,-3,4,8 ( R: 8,4,1,-3,-5)
d) +10,+6,-3,-4,-9,+1 (R: +10,+6,+1,-3,-4,-9)
e) -18,+83,0,-172, -64 (R: +83,0,-18,-64,-172)
f) -286,-740, +827,0,+904 (R: +904,+827,0,-286,-740)
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS INTEIROS
ADIÇÃO
1) Adição de números positivos
A soma de dois números positivos é um número positivo.
EXEMPLO
a) (+2) + (+5) = +7
b) (+1) + (+4) = +5
c) (+6) + (+3) = +9
Simplificando a maneira de escrever
a) +2 +5 = +7
b) +1 + 4 = +5
c) +6 + 3 = +9
Observe que escrevemos a soma dos números inteiros sem colocar o sinal + da adição e eliminamos os parêteses das parcelas.
2) Adição de números negativos
A soma de dois numeros negativos é um número negativo
Exemplo
a) (-2) + (-3) = -5
b) (-1) + (-1) = -2
c) (-7) + (-2) = -9
Simplificando a maneira de escrever
a) -2 - 3 = -5
b) -1 -1 = -2
c) -7 - 2 = -9
Observe que podemos simplificar a maneira de escrever deixando de colocar o sinal de + na operação e eliminando os parênteses das parcelas.
EXERCÍCIOS
1) Calcule
a) +5 + 3 = (R:+8)
b) +1 + 4 = (R: +5)
c) -4 - 2 = (R: -6)
d) -3 - 1 = (R: -4)
e) +6 + 9 = (R: +15)
f) +10 + 7 = (R: +17)
g) -8 -12 = (R: -20)
h) -4 -15 = (R: -19)
i) -10 - 15 = (R: -25)
j) +5 +18 = (R: +23)
l) -31 - 18 = (R: -49)
m) +20 +40 = (R: + 60)
n) -60 - 30 = (R: -90)
o) +75 +15 = (R: +90)
p) -50 -50 = (R: -100)
2) Calcule:
a) (+3) + (+2) = (R: +5)
b) (+5) + (+1) = (R: +6)
c) (+7) + ( +5) = (R: +12)
d) (+2) + (+8) = (R: +10)
e) (+9) + (+4) = (R: +13)
f) (+6) + (+5) = (R: +11)
g) (-3) + (-2) = (R: -5)
h) (-5) + (-1) = (R: -6)
i) (-7) + (-5) = (R: -12)
j) (-4) + (-7) = (R: -11)
l) (-8) + ( -6) = (R: -14)
m) (-5) + ( -6) = (R: -11)
3) Calcule:
a) ( -22) + ( -19) = (R: -41)
b) (+32) + ( +14) = (R: +46)
c) (-25) + (-25) = (R: -50)
d) (-94) + (-18) = (R: -112)
e) (+105) + (+105) = (R: +210)
f) (-280) + (-509) = (R: -789)
g) (-321) + (-30) = (R: -350)
h) (+200) + (+137) = (R: +337)
3) Adição de números com sinais diferentes
A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os valores absolutos, dando-se o sinal do número que tiver maior valor absoluto.
exemplos
a) (+6) + ( -1) = +5
b) (+2) + (-5) = -3
c) (-10) + ( +3) = -7
simplificando a maneira de escrever
a) +6 - 1 = +5
b) +2 - 5 = -3
c) -10 + 3 = -7
Note que o resultado da adição tem o mesmo sinal que o número de maior valor absoluto
Observação:
Quando as parcelas são números opostos, a soma é igual a zero.
Exemplo
a) (+3) + (-3) = 0
b) (-8) + (+8) = 0
c) (+1) + (-1) = 0
simplificando a maneira de escrever
a) +3 - 3 = 0
b) -8 + 8 = 0
c) +1 - 1 = 0
4) Um dos numeros dados é zero
Quando um dos números é zero , a soma é igual ao outro número.
exemplo
a) (+5) +0 = +5
b) 0 + (-3) = -3
c) (-7) + 0 = -7
Simplificando a maneira de escrever
a) +5 + 0 = +5
b) 0 - 3 = -3
c) -7 + 0 = -7
exercícios
1) Calcule:
a) +1 - 6 = -5
b) -9 + 4 = -5
c) -3 + 6 = +3
d) -8 + 3 = -5
e) -9 + 11 = +2
f) +15 - 6 = +9
g) -2 + 14 = +12
h) +13 -1 = +12
i) +23 -17 = +6
j) -14 + 21 = +7
l) +28 -11 = +17
m) -31 + 30 = -1
2) Calcule:
a) (+9) + (-5) = +4
b) (+3) + (-4) = -1
c) (-8) + (+6) = -2
d) (+5) + (-9) = -4
e) (-6) + (+2) = -4
f) (+9) + (-1) = +8
g) (+8) + (-3) = +5
h) (+12) + (-3) = +9
i) (-7) + (+15) = +8
j) (-18) + (+8) = -10
i) (+7) + (-7) = 0
l) (-6) + 0 = -6
m) +3 + (-5) = -2
n) (+2) + (-2) = 0
o) (-4) +10 = +6
p) -7 + (+9) = +2
q) +4 + (-12) = -8
r) +6 + (-4) = +2
PROPRIEDADE DA ADIÇÃO
1) Fechamento : a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro
exemplo (-4) + (+7) =( +3)
2) Comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma.
exemplo: (+5) + (-3) = (-3) + (+5)
3) Elemento neutro: o número zero é o elemento neutro da adição.
exemplo: (+8) + 0 = 0 + (+8) = +8
4) Associativa: na adição de três números inteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado.
exemplo: [(+8) + (-3) ] + (+4) = (+8) + [(-3) + (+4)]
5) Elemento oposto: qualquer número inteiro admite um simétrico ou oposto.
exemplo: (+7) + (-7) = 0
ADIÇÃO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS
Para obter a soma de três ou mais números adicionamos os dois primeiros e, em seguida, adicionamos esse resultado com o terceiro, e assim por diante.
exemplos
1) -12 + 8 - 9 + 2 - 6 =
= -4 - 9 + 2 - 6 =
= -13 + 2 - 6 =
= -11 - 6 =
= -17
2) +15 -5 -3 +1 - 2 =
= +10 -3 + 1 - 2 =
= +7 +1 -2 =
= +8 -2 =
= +6
Na adição de números inteiros podemos cancelar números opostos, poque a soma deles é zero.
INDICAÇÃO SIMPLIFICADA
a) podemos dispensar o sinal de + da primeira parcela quando esta for positiva.
exemplos
a) (+7) + (-5) = 7 - 5 = +2
b) (+6) + (-9) = 6 - 9 = -3
b) Podemos dispensar o sinal + da soma quando esta for positiva
exemplos
a) (-5) + (+7) = -5 + 7 = 2
b) (+9) + (-4) = 9 - 4 = 5
EXERCÍCIOS
1) Calcule
a) 4 + 10 + 8 = (R: 22)
b) 5 - 9 + 1 = (R: -3)
c) -8 - 2 + 3 = (R: -7)
d) -15 + 8 - 7 = (R: -14)
e) 24 + 6 - 12 = (R:+18)
f) -14 - 3 - 6 - 1 = (R: -24)
g) -4 + 5 + 6 + 3 - 9 = (R: + 1)
h) -1 + 2 - 4 - 6 - 3 - 8 = (R: -20)
i) 6 - 8 - 3 - 7 - 5 - 1 + 0 - 2 = (R: -20)
j) 2 - 10 - 6 + 14 - 1 + 20 = (R: +19)
L) -13 - 1 - 2 - 8 + 4 - 6 - 10 = (R: -36)
2) Efetue, cancelando os números opostos:
a) 6 + 4 - 6 + 9 - 9 = (R: +4)
b) -7 + 5 - 8 + 7 - 5 = (R: -8)
c) -3 + 5 + 3 - 2 + 2 + 1 = (R: +6)
d) -6 + 10 + 1 - 4 + 6= (R: +7)
e) 10 - 6 + 3 - 3 - 10 - 1 = (R: -7)
f) 15 - 8 + 4 - 4 + 8 - 15 = (R: 0)
3) Coloque em forma simplificada ( sem parênteses)
a) (+1) + (+4) +(+2) = (R: 1 +4 + 2)
b) (+1) + (+8) + (-2) = (R: 1 + 8 - 2)
c) (+5) +(-8) + (-1) = (R: +5 - 8 - 1)
d) (-6) + (-2) + (+1) = (R: -6 - 2 + 1)
4) Calcule:
a) (-2) + (-3) + (+2) = (R: -3)
b) (+3) + (-3) + (-5) = (R: -5)
c) (+1) + (+8) +(-2) = (R: +7 )
d) (+5) + (-8) + (-1) = (R: -4)
e) (-6) + (-2) + (+1) = (R: -7)
f) (-8) + ( +6) + (-2) = (R: -4)
g) (-7) + 6 + (-7) = (R: -8)
h) 6 + (-6) + (-7) = (R: -7)
i) -6 + (+9) + (-4) = (R: -1)
j) (-4) +2 +4 + (+1) = (R: +3)
5) Determine as seguintes somas
a) (-8) + (+10) + (+7) + (-2) = (R: +7)
b) (+20) + (-19) + (-13) + (-8) = (R: -20)
c) (-5) + (+8) + (+2) + (+9) = (R: +14)
d) (-1) + (+6) + (-3) + (-4) + (-5) = (R: -7)
e) (+10) + (-20) + (-15) + (+12) + (+30) + (-40) = (R: -23)
6) Dados os números x= 6, y = 5 e z= -6, calcule
a) x + y = (R: +11)
b) y + z = (R: -4)
c) x + z = (R: -3)
SUBTRAÇÃO
A operação de subtração é uma operação inversa à da adição
Exemplos
a) (+8) - (+4) = (+8) + (-4) = = +4
b) (-6) - (+9) = (-6) + (-9) = -15
c) (+5) - (-2) = ( +5) + (+2) = +7
Conclusão: Para subtraimos dois números relativos, basta que adicionemos ao primeiro o oposto do segundo.
Observação: A subtração no conjunto Z tem apenas a propriedade do fechamento ( a subtração é sempre possivel)
ELIMINAÇÃO DE PARÊNTESES PRECEDIDOS DE SINAL NEGATIVO
Para facilitar o cálculo, eliminamos os parênteses usando o segnificado do oposto
veja:
a) -(+8) = -8 (significa o oposto de +8 é -8 )
b) -(-3) = +3 (significa o oposto de -3 é +3)
analogicamente:
a) -(+8) - (-3) = -8 +3 = -5
b) -(+2) - (+4) = -2 - 4 = -6
c) (+10) - (-3) - +3) = 10 + 3 - 3 = 10
conclusão: podemos eliminar parênteses precedidos de sinal negativo trocando-se o sínal do número que está dentro dos parênteses.
EXERCÍCIOS
1) Elimine os parênteses
a) -(+5) = -5
b) -(-2) = +2
c) - (+4) = -4
d) -(-7) = +7
e) -(+12) = -12
f) -(-15) = +15
g) -(-42) = +42
h) -(+56) = -56
2) Calcule:
a) (+7) - (+3) = (R: +4)
b) (+5) - (-2) = (R: +7)
c) (-3) - ( +8) = (R: -11)
d) (-1) -(-4) = (R: +3)
e) (+3) - (+8) = (R: -5)
f) (+9) - (+9) = (R: 0 )
g) (-8) - ( +5) = (R: -13)
h) (+5) - (-6) = (R: +11)
i) (-2) - (-4) = (R: +2)
j) (-7) - (-8) = (R: +1)
l) (+4) -(+4) = (R: 0)
m) (-3) - ( +2) = (R: -5)
n) -7 + 6 = (R: -1)
o) -8 -7 = (R: -15)
p) 10 -2 = (R: 8)
q) 7 -13 = (R: -6)
r) -1 -0 = (R: -1)
s) 16 - 20 = (R: -4)
t) -18 -9 = (R: -27)
u) 5 - 45 = (R:-40)
v) -15 -7 = (R: -22)
x) -8 +12 = (R: 4)
z) -32 -18 = (R:-50)
3) Calcule:
a) 7 - (-2) = (R: 9)
b) 7 - (+2) = (R: 5)
c) 2 - (-9) = (R: 11)
d) -5 - (-1) = (R: -4)
e) -5 -(+1) = (R: -6)
f) -4 - (+3) = (R: -7)
g) 8 - (-5) = (R: 13)
h) 7 - (+4) = (R: 3)
i) 26 - 45 = (R: -19)
j) -72 -72 = (R: -144)
l) -84 + 84 = (R: 0)
m) -10 -100 = (R: -110)
n) -2 -4 -1 = (R: -7)
o) -8 +6 -1 = (R: -3)
p) 12-7 + 3 = (R: 8)
q) 4 + 13 - 21 = (R: -4)
r) -8 +8 + 1 = (R: 1)
s) -7 + 6 + 9 = (R: 8)
t) -5 -3 -4 - 1 = (R: -13)
u) +10 - 43 -17 = (R: -50)
v) -6 -6 + 73 = (R: 61)
x) -30 +30 - 40 = (R: -40)
z) -60 - 18 +50 = (R: -28)
4) Calcule:
a) (-4) -(-2)+(-6) = (R: -8)
b) (-7)-(-5)+(-8) = (R: -10)
c) (+7)-(-6)-(-8) = (R: 21)
d) (-8) + (-6) -(+3) = (R: -17)
e) (-4) + (-3) - (+6) = (R: -13)
f) 20 - (-6) - (-8) = (R: 34)
g) 5 - 6 - (+7) + 1 = (R: -7)
h) -10 - (-3) - (-4) = (R: -3)
i) (+5) + (-8) = (R: -3)
j) (-2) - (-3) = (R: +1)
l) (-3) -(-9) = (R: +6)
m) (-7) - (-8) =(R: +1)
n) (-8) + (-6) - (-7) = (R: -7)
o) (-4) + (-6) + (-3) = (R: -13)
p) 15 -(-3) - (-1) = (R: +19)
q) 32 - (+1) -(-5) = (R: +36)
5) Calcule:
a) (-5) + (+2) - (-1) + (-7) = (R: -9)
b) (+2) - (-3) + (-5) -(-9) = (R: 9)
c) (-2) + (-1) -(-7) + (-4) = (R: 0)
d) (-5) + (-6) -(-2) + (-3) = (R: -12)
e) (+9) -(-2) + (-1) - (-3) = (R: 13)
f) 9 - (-7) -11 = (R: 5 )
g) -2 + (-1) -6 = (R: -9)
h) -(+7) -4 -12 = (R: -23)
i) 15 -(+9) -(-2) = (R: 8 )
j) -25 - ( -5) -30 = (R: -50)
l) -50 - (+7) -43 = (R: -100)
m) 10 -2 -5 -(+2) - (-3) = (R: 4)
n) 18 - (-3) - 13 -1 -(-4) = (R: 11)
o) 5 -(-5) + 3 - (-3) + 0 - 6 = (R: 10)
p) -28 + 7 + (-12) + (-1) -4 -2 = (R: -40)
q) -21 -7 -6 -(-15) -2 -(-10) = (R: -11)
r) 10 -(-8) + (-9) -(-12)-6 + 5 = (R: 20)
ELIMINAÇÃO DOS PARENTESES
1) parenteses precedidos pelo sinal +
Ao eliminarmos os parênteses e o sinal + que os precede, devemos conservar os sinais dos números contidos nesses parênteses.
exemplo
a) + (-4 + 5) = -4 + 5
b) +(3 +2 -7) = 3 +2 -7
2) Parênteses precedidos pelo sinal -
Ao eliminarmos os parênteses e o sinal de - que os precede, devemos trocar os sinais dos números contidos nesses parênteses.
exemplo
a) -(4 - 5 + 3) = -4 + 5 -3
b) -(-6 + 8 - 1) = +6 -8 +1
EXERCICIOS
1) Elimine os parênteses:
a) +(-3 +8) = (R: -3 + 8)
b) -(-3 + 8) = (R: +3 - 8)
c) +(5 - 6) = (R: 5 -6 )
d) -(-3-1) = (R: +3 +1)
e) -(-6 + 4 - 1) = (R: +6 - 4 + 1)
f) +(-3 -2 -1) = (R: -3 -2 -1 )
g) -(4 -6 +8) = (R: -4 +6 +8)
h) + (2 + 5 - 1) = (R: +2 +5 -1)
2) Elimine os parênteses e calcule:
a) + 5 + ( 7 - 3) = (R: 9)
b) 8 - (-2-1) = (R: 11)
c) -6 - (-3 +2) = (R: -5)
d) 18 - ( -5 -2 -3 ) = (R: 28)
e) 30 - (6 - 1 +7) = (R: 18)
f) 4 + (-5 + 0 + 8 -4) = (R: 3)
g) 4 + (3 - 5) + ( -2 -6) = (R: -8)
h) 8 -(3 + 5 -20) + ( 3 -10) = (R: 13)
i) 20 - (-6 +8) - (-1 + 3) = (R: 16)
j) 35 -(4-1) - (-2 + 7) = (R: 27)
3) Calcule:
a) 10 - ( 15 + 25) = (R: -30)
b) 1 - (25 -18) = (R: -6)
c) 40 -18 - ( 10 +12) = (R: 0)
d) (2 - 7) - (8 -13) = (R: 0 )
e) 7 - ( 3 + 2 + 1) - 6 = (R: -5)
f) -15 - ( 3 + 25) + 4 = (R: -39)
g) -32 -1 - ( -12 + 14) = (R: -35)
h) 7 + (-5-6) - (-9 + 3) = (R: 2)
i) -(+4-6) + (2 - 3) = (R: 1)
j) -6 - (2 -7 + 1 - 5) + 1 = (R: 4)
EXPRESSÕES COM NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
Lembre-se de que os sinais de associação são eliminados obedecendo à seguinte ordem:
1°) PARÊNTESES ( ) ;
2°) COLCHETES [ ] ;
3°) CHAVES { } .
Exemplos:
1°) exemplo
8 + ( +7 -1 ) - ( -3 + 1 - 5 ) =
8 + 7 - 1 + 3 - 1 + 5 =
23 - 2 = 21
2°) exemplo
10 + [ -3 + 1 - ( -2 + 6 ) ] =
10 + [ -3 + 1 + 2 - 6 ] =
10 - 3 + 1 + 2 - 6 =
13 - 9 =
= 4
3°) exemplo
-17 + { +5 - [ +2 - ( -6 +9 ) ]} =
-17 + { +5 - [ +2 + 6 - 9]} =
-17 + { +5 - 2 - 6 + 9 } =
-17 +5 - 2 - 6 + 9 =
-25 + 14 =
= - 11
EXERCICIOS
a) Calcule o valor das seguintes expressões :
1) 15 -(3-2) + ( 7 -4) = (R: 17)
2) 25 - ( 8 - 5 + 3) - ( 12 - 5 - 8) = (R: 20 )
3) ( 10 -2 ) - 3 + ( 8 + 7 - 5) = (R: 15)
4) ( 9 - 4 + 2 ) - 1 + ( 9 + 5 - 3) = (R: 17)
5) 18 - [ 2 + ( 7 - 3 - 8 ) - 10 ] = (R: 30 )
6) -4 + [ -3 + ( -5 + 9 - 2 )] = (R: -5)
7) -6 - [10 + (-8 -3 ) -1] = (R: -4)
8) -8 - [ -2 - (-12) + 3 ] = (R: -21)
9) 25 - { -2 + [ 6 + ( -4 -1 )]} = (R: 26)
10) 17 - { 5 - 3 + [ 8 - ( -1 - 3 ) + 5 ] } = (R: -2)
11) 3 - { -5 -[8 - 2 + ( -5 + 9 ) ] } = (R: 18)
12) -10 - { -2 + [ + 1 - ( - 3 - 5 ) + 3 ] } = (R: -20)
13) { 2 + [ 1 + ( -15 -15 ) - 2] } = (R: -29)
14) { 30 + [ 10 - 5 + ( -2 -3)] -18 -12} = (R: 0 )
15) 20 + { [ 7 + 5 + ( -9 + 7 ) + 3 ] } = (R: 33)
16) -4 - { 2 + [ - 3 - ( -1 + 7) ] + 2} = (R: 1)
17) 10 - { -2 + [ +1 + ( +7 - 3) - 2] + 6 } = (R: 3 )
18) -{ -2 - [ -3 - (-5) + 1 ]} - 18 = (R: -13)
19) -20 - { -4 -[-8 + ( +12 - 6 - 2 ) + 2 +3 ]} = (R: -15)
20) {[( -50 -10) + 11 + 19 ] + 20 } + 10 = (R: 0 )
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS
MULTIPLICAÇÃO
1) multiplicação de dois números de sinais iguais
observe o exemplo
a) (+5) . (+2) = +10
b) (+3) . (+7) = +21
c) (-5) . (-2) = +10
d) (-3) . (-7) = +21
conclusão: Se os fatores tiverem sinais iguais o produto é positivo
2) Multiplicação de dois produtos de sinais diferentes
observe os exemplos
a) (+3) . (-2) = -6
b) (-5) . (+4) = -20
c) (+6) . (-5) = -30
d) (-1) . (+7) = -7
Conclusão : Se dois produtos tiverem sinais diferentes o poduto é negativo
Regra pratica dos sinais na multiplicação
SINAIS IGUAIS: o resultado é positivo +
a) (+) . (+) = (+)
b) (-) . (-) = (+)
SINAIS DIFERENTES: o resultado é negativo -
a) (+) . (-) = (-)
b) (-) . (+) = (-)
EXERCÍCIOS
1) Efetue as multiplicações
a) (+8) . (+5) = (R: 40)
b) (-8) . ( -5) = (R: 40)
c) (+8) .(-5) = (R: -40)
d) (-8) . (+5) = (R: -40)
e) (-3) . (+9) = (R: -27)
f) (+3) . (-9) = (R: -27)
g) (-3) . (-9) = (R: 27)
h) (+3) . (+9) = (R: 27)
i) (+7) . (-10) = (R: -70)
j) (+7) . (+10) = (R: 70)
l) (-7) . (+10) = (R: -70)
m) (-7) . (-10) = (R: 70)
n) (+4) . (+3) = (R: 12)
o) (-5) . (+7) = (R: -35)
p) (+9) . (-2) = (R: -18)
q) (-8) . (-7) = (R: 56)
r) (-4) . (+6) = (R: -24)
s) (-2) .(-4) = (R: 8 )
t) (+9) . (+5) = (R: 45)
u) (+4) . (-2) = (R: -8)
v) (+8) . (+8) = (R: 64)
x) (-4) . (+7) = (R: -28)
z) (-6) . (-6) = (R: 36)
2) Calcule o produto
a) (+2) . (-7) = (R: -14)
b) 13 . 20 = (R: 260)
c) 13 . (-2) = (R: -26)
d) 6 . (-1) = (R: -6)
e) 8 . (+1) = (R: 8)
f) 7 . (-6) = (R: -42)
g) 5 . (-10) = (R: -50)
h) (-8) . 2 = (R: -16)
i) (-1) . 4 = (R: -4)
j) (-16) . 0 = (R: 0)
MULTIPLICAÇAO COM MAIS DE DOIS NÚMEROS
Multiplicamos o primeiro número pelo segundo, o produto obtido pelo terceiro e assim sucessivamente, até o ultimo fator
exemplos
a) (+3) . (-2) . (+5) = (-6) . (+5) = -30
b) (-3) . (-4) . (-5) . (-6) = (+12) . (-5) . (-6) = (-60) . (-6) = +360
EXERCÍCIOS
1) Determine o produto:
a) (-2) . (+3) . ( +4) = (R: -24)
b) (+5) . (-1) . (+2) = (R: -10)
c) (-6) . (+5) .(-2) = (R: +60)
d) (+8) . (-2) .(-3) = (R: +48)
e) (+1) . (+1) . (+1) .(-1)= (R: -1)
f) (+3) .(-2) . (-1) . (-5) = (R: -30)
g) (-2) . (-4) . (+6) . (+5) = (R: 240)
h) (+25) . (-20) = (R: -500)
i) -36) .(-36 = (R: 1296)
j) (-12) . (+18) = (R: -216)
l) (+24) . (-11) = (R: -264)
m) (+12) . (-30) . (-1) = (R: 360)
2) Calcule os produtos
a) (-3) . (+2) . (-4) . (+1) . (-5) = (R: -120)
b) (-1) . (-2) . (-3) . (-4) .(-5) = (R: -120)
c) (-2) . (-2) . (-2) . (-2) .(-2) . (-2) = (R: 64)
d) (+1) . (+3) . (-6) . (-2) . (-1) .(+2)= (R: -72)
e) (+3) . (-2) . (+4) . (-1) . (-5) . (-6) = (R: 720)
f) 5 . (-3) . (-4) = (R: +60)
g) 1 . (-7) . 2 = (R: -14)
h) 8 . ( -2) . 2 = (R: -32)
i) (-2) . (-4) .5 = (R: 40)
j) 3 . 4 . (-7) = (R: -84)
l) 6 .(-2) . (-4) = (R: +48)
m) 8 . (-6) . (-2) = (R: 96)
n) 3 . (+2) . (-1) = (R: -6)
o) 5 . (-4) . (-4) = (R: 80)
p) (-2) . 5 (-3) = (R: 30)
q) (-2) . (-3) . (-1) = (R:-6)
r) (-4) . (-1) . (-1) = (R: -4)
3) Calcule o valor das expressões:
a) 2 . 3 - 10 = (R: -4)
b) 18 - 7 . 9 = (R: -45)
c) 3. 4 - 20 = (R: -8)
d) -15 + 2 . 3 = (R: -9)
e) 15 + (-8) . (+4) = (R: -17)
f) 10 + (+2) . (-5) = (R: 0 )
g) 31 - (-9) . (-2) = (R: 13)
h) (-4) . (-7) -12 = (R: 16)
i) (-7) . (+5) + 50 = (R: 15)
j) -18 + (-6) . (+7) = (R:-60)
l) 15 + (-7) . (-4) = (R: 43)
m) (+3) . (-5) + 35 = (R: 20)
4) Calcule o valor das expressões
a) 2 (+5) + 13 = (R: 23)
b) 3 . (-3) + 8 = (R: -1)
c) -17 + 5 . (-2) = (R: -27)
d) (-9) . 4 + 14 = (R: -22)
e) (-7) . (-5) - (-2) = (R: 37)
f) (+4) . (-7) + (-5) . (-3) = (R: -13)
g) (-3) . (-6) + (-2) . (-8) = (R: 34)
h) (+3) . (-5) - (+4) . (-6) = (R: 9)
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
1) Fechamento: o produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
exemplo: (+2) . (-5) = (-10)
2) Comultativa: a ordem dos fatores não altera o produto.
exemplo: (-3) . (+5) = (+5) . (-3)
3) Elemento Neutro: o número +1 é o elemento neutro da multiplicação.
Exemplos: (-6) . (+1) = (+1) . (-6) = -6
4) Associativa: na multiplicação de três números inteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado.
exemplo: (-2) . [(+3) . (-4) ] = [ (-2) . (+3) ] . (-4)
5) Distributiva
exemplo: (-2) . [(-5) +(+4)] = (-2) . (-5) + (-2) . (+4)
DIVISÃO
Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação
Observe:
a) (+12) : (+4) = (+3) , porque (+3) . (+4) = +12
b) (-12) : (-4) = (+3) , porque (+3) . (-4) = -12
c) (+12) : (-4) = (-3) , porque (-3) . (-4) = +12
d) (-12) : (+4) = (-3), porque (-3) . (+4) = -12
REGRA PRÁTICA DOS SINAIS NA DIVISÃO
As regras de sinais na divisão é igual a da multiplicação:
SINAIS IGUAIS: o resultado é +
(+) : (+) = (+)
(-) : (-) = (-)
SINAIS DIFERENTES : o resultado é -
(+) : (-) = (-)
(-) : (+) = (-)
EXERCÍCIOS
1) Calcule o quocientes:
a) (+15) : (+3) = (R: 5 )
b) (+15) : (-3) = (R: -5)
c) (-15) : (-3) = (R: 5)
d) (-5) : (+1) = (R: -5)
e) (-8) : (-2) = (R: 4)
f) (-6) : (+2) = (R: -3)
g) (+7) : (-1) = (R: -7)
h) (-8) : (-8) = (R: 1)
f) (+7) : (-7) = (R: -1)
2) Calcule os quocientes
a) (+40) : (-5) = (R: -8)
b) (+40) : (+2) = (R: 20)
c) (-42) : (+7) = (R: -6)
d) (-32) : (-8)= (R: 4)
e) (-75) : (-15) = (R: 5)
f) (-15) : (-15) = (R: 1)
g) (-80) : (-10) = (R: 8)
h) (-48 ) : (+12) = (R: -4)
l) (-32) : (-16) = (R: 2)
j) (+60) : (-12) = (R: -5)
l) (-64) : (+16) = (R: -4)
m) (-28) : (-14) = (R: 2)
n) (0) : (+5) = (R: 0)
o) 49 : (-7) = (R: -7)
p) 48 : (-6) = (R: -8)
q) (+265) : (-5) = (R: -53)
r) (+824) : (+4) = (R: 206)
s) (-180) : (-12) = (R: 15)
t) (-480) : (-10) = (R: 48)
u) 720 : (-8) = (R: -90)
v) (-330) : 15 = (R: -22)
3) Calcule o valor das expressões
a) 20 : 2 -7 = (R: 3 )
b) -8 + 12 : 3 = (R: -4)
c) 6 : (-2) +1 = (R: -2)
d) 8 : (-4) - (-7) = (R: 5)
e) (-15) : (-3) + 7 = (R: 12)
f) 40 - (-25) : (-5) = (R: 35)
g) (-16) : (+4) + 12 = (R: 8)
h) 18 : 6 + (-28) : (-4) = ( R: 10)
i) -14 + 42 : 3 = (R: 0)
j) 40 : (-2) + 9 = (R: -11)
l) (-12) 3 + 6 = (R: 2)
m) (-54) : (-9) + 2 = (R: 8)
n) 20 + (-10) . (-5) = (R: 70)
o) (-1) . (-8) + 20 = (R: 28 )
p) 4 + 6 . (-2) = (R: -8)
q) 3 . (-7) + 40 = (R: 19)
r) (+3) . (-2) -25 = (R: -31)
s) (-4) . (-5) + 8 . (+2) = (R: 36)
t) 5: (-5) + 9 . 2 = (R: 17)
u) 36 : (-6) + 5 . 4 = (R: 14)
mpmat13.blogspot.com/
Nenhum comentário:
Postar um comentário