Ângulos

Ângulos

Fonte: http://www.somatematica.com.br

ÂNGULOS ADJACENTES
Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que:

	Os ângulos AÔC e CÔB não possuem pontos internos comuns
	Os ângulos AÔC e AÔB possuem pontos internos comuns
	Os ângulos CÔB e AÔB possuem pontos internos comuns

Verifique que os ângulos AÔC e CÔB são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Por isso eles são denominados ângulos adjacentes.
Assim:

Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.

Observação:
Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes. Exemplos:

ÂNGULO AGUDO, OBTUSO E RETO

Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto.

• Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º. Exemplo:

• Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º. Exemplo:

• Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º. Exemplo:

RETAS PERPENDICULARES

As retas r e s da figura abaixo são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos.

Dizemos que as retas r e s são perpendiculares e indicamos:

Observação

Duas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas de oblíquos. Exemplo:

ÂNGULOS COMPLEMENTARES

Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:

Verifique que:

m (AÔB) + m (BÔC) = 90º

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são complementares.

Assim:

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.

Exemplo:

Os ângulos que medem 42º e 48º são complementares, pois 42º + 48º = 90º.

Dizemos que o ângulo de 42º é o complemento do ângulo de 48º, e vice-versa.

Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo	Complemento
x	90º - x

Exemplo:

• Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º?

Solução

Medida do complemento = 90º - medida do ângulo

Medida do complemento = 90º - 75º

Medida do complemento = 15º

Logo, a medida do complemento do ângulo de 75º é 15º.

Observação:

Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de complementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes complementares.

ÂNGULOS SUPLEMENTARES

Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:

As semi-retas formam um ângulo raso.

Verifique que:

m ( AÔB ) + m (BÔC) = 180º

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são suplementares. Assim:

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.

Exemplo:
Os ângulos que medem 82º e 98º são suplementares, pois 82º + 98º = 180º.
Dizemos que o ângulo de 82º é o suplemento do ângulo de 98º, e vice-versa.
Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 180º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo	Suplemento
X	180º - X

Exemplo:

• Qual a medida do suplemento de um ângulo de 55º?

Solução
Medida do suplemento = 180º - medida do ângulo
Medida do suplemento = 180º - 55º
Medida do suplemento = 125º
Logo, a medida do suplemento do ângulo de 55º é 125º.
Observação:

Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de suplementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes suplementares.

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo:

Verifique que:

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e CÔD são opostos pelo vértice (o.p.v). Assim:

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retas opostas aos lados do outro.

Na figura abaixo, vamos indicar:

Sabemos que:

X + Y = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)

X + K = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)

Então:

Logo: y = k

Assim:

m (AÔB) = m (CÔD) AÔB CÔD

m (AÔD) = m (CÔB) AÔD CÔB

Daí a propriedade:

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Observe uma aplicação dessa propriedade na resolução de um problema:

• Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, expressas por x + 60º e 3x - 40º. Qual é o valor de x?

Solução:

x + 60º = 3x - 40º ângulos o.p.v x - 3x = - 40º - 60º -2x = - 100º x = 50º Logo, o valor de x é 50º.