Introdução ao estudo dos conjuntos

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

 www.ensinodematemtica.blogspot.com.br

www.accbarrosogestar.blogspot.com.br 

       

Teoria de conjuntos

O estudo sobre teoria dos conjuntos é atribuído ao russo George Ferdinand Cantor (1845 – 1918). Podemos definir conjunto como sendo um agrupamento de elementos com características comuns. Compreender a teoria de conjuntos é fundamental para resolução de diversas situações-problema da matemática.

Os conjuntos são representados sempre por uma letra maiúscula do alfabeto e podem ser expressos das seguintes formas:

1. Por extenso: A = {6, 8, 10, 12, 14}
2. Por descrição: B = {x: x é um número ímpar maior que 7} → lê-se: B é um conjunto formado por elementos x, tal que x é um número ímpar maior que 7.
3. Pelo diagrama de Venn-Euler:

Um conjunto pode: apresentar infinitos elementos, sendo classificado como conjunto infinito; apresentar um número finito de elementos, denominado de conjunto finito; apresentar somente um elemento, sendo chamado de conjunto unitário; ou não possuir nenhum elemento, sendo classificado como conjunto vazio. Vejamos alguns exemplos de cada um desses conjuntos.

1. Conjunto Infinito
A = {x: x é um número par} = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...}

2. Conjunto Finito
B = {x: x é um número par menor que 11} = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

3. Conjunto Unitário
C = {x: x é um número primo e par} = {2}

4. Conjunto Vazio
D = {x: x é um número primo menor que 2} = { } = ø

Relação de pertinência

A relação de pertinência é utilizada para determinar se um elemento pertence ou não a um determinado conjunto. Para isso utilizamos os símbolos:


Exemplo 1: Dado o conjunto A = {5, 9, 13, 17, 21, 25, 29}, temos que:


A relação de pertinência é utilizada somente para comparação de elemento com conjunto.

Relação de inclusão

A relação de inclusão é utilizada para verificar se um conjunto está ou não contido em outro, ou seja, se um é subconjunto do outro, utilizando para isso os símbolos:


Dizemos que um conjunto A está contido num conjunto B quando todos os elementos de A pertencem também a B.

Exemplo 2: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7} e C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, podemos dizer que:


Quando ocorrer de , dizemos que A é um subconjunto de B.

Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, define-se produto cartesiano, representado por A x B (lê-se A cartesiano B), como sendo o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde os valores de x são compostos por elementos do conjunto A e os valores de y compostos por elementos do conjunto B.

Exemplo 3: Seja A = {2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5}, temos que:

A x B = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (6, 1), (6, 3), (6, 5), (8, 1), (8, 3), (8, 5)}

Note que B x A é diferente de A x B:

B x A = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (3, 8), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (5, 8)}

Exemplo 4: Sendo A = {m, n, p} e B = {10, 11}, temos que:

A x B = {(m, 10), (m, 11), (n, 10), (n, 11), (p, 10), (p, 11)}
B x A = {(10, m), (10, n), (10, p), (11, m), (11, n), (11, p)}

Marcelo Rigonatto