Função Modular

O valor absoluto de um número real é o próprio número real sem considerar o sinal, consequentemente não negativo.

Exemplos:
| + 7 | = 7                 | – 4 | = 4                 | 3 | = 3

Sendo "a" um número real, | a | não pode ser igual a "a", pois se "a" fosse, por exemplo, –6, teria-se:
| – 6 | = – 6, o que estaria errado, mas se "a" fosse, por exemplo, 4, teria-se:
| 4 | = 4, que estaria certo.
Portanto, | a | = a, se "a" for positivo ou nulo e | a | = – a, se "a" for negativo.

Uma função real onde a variável está em módulo (valor absoluto) é dita função modular.
f :   
y = | f(x) |

Exemplos de função modular:
f(x) = | 2x + 4 |

g(x) = | x² – 4x + 3 |

O modulo de um número real é igual a raiz quadrada desse número ao quadrado | x | = 

Representação gráfica

O gráfico de uma função modular pode ser esboçado mediante a separação em sentenças, por exemplo, dada a função f(x) = | 2 – x |.
Transformando-a em uma função de duas sentenças, cujo domínio real é dividido em duas condições (uma positiva ou nula e outra negativa).

Estudando o sinal da função que está em módulo, ou seja, achando a raiz da função que está no módulo, 2 – x = 0; e portanto x = 2.
Logo, tem-se:
f(x) > 0 quando x  2
f(x) = 0 quando x = 2         daí,        f(x) = 2 – x,   se x  2
f(x) < 0 quando x > 2         daí,        f(x) = – 2 + x,   se x > 2
f(x) = 

Assim, f(1) = 2 – 1 = 1                f(2) = 2 – 2 = 0                  f(3) = – 2 + 3 = 1

Representando numa tabela tem-se:
                           

Equação modular

Uma equação em que a incógnita esteja em módulo é chamada de equação modular.

Resolução:
Para resolver uma equação modular da forma | f(x) | = a, com "a" um número real negativo.
| 2x – 3 | = – 5, neste caso, a solução é vazio, pois nunca pode dar negativo.
S = 

Para resolver uma equação modular da forma | f(x) | = 0.
| 2x – 3 | = 0, apenas a raiz é a solução, ou seja, 2x – 3 = 0  2x = 3 e daí, x = 3/2.
S = {3/2}

Para resolver uma equação modular da forma | f(x) | = a, com "a" um número real positivo.
| 2x – 3 | = 5, neste caso, separa | 2x – 3 | em dois casos: 2x – 3 = 5 ou – 2x + 3 = 5.

Para 2x – 3 = 5 tem-se: 2x – 8 = 0 e daí, x = 4.
Para – 2x + 3 = 5 tem-se: – 2x – 2 = 0 e daí, x = – 1.
S = { – 1; 4 }

Inequação modular

Uma inequação em que a incógnita esteja em módulo é chamada de inequação modular.

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) | < 0.
| 2x – 3 | < 0, neste caso, a solução é vazio, pois nada que está em módulo pode ser negativo.
S = 

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) |  0.
| 2x – 3 | = 0, apenas a raiz é a solução.
S = {3/2}

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) | > 0.
| 2x – 3 | > 0, neste caso, apenas a raiz não pertence a solução:
S = { x   ; x  3/2 }

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) |  0.
| 2x – 3 |  0, qualquer número real é válido.
S = 

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) | < a ou | f(x) |  a, com "a" um número real negativo.
| 2x – 3 | < – 5 ou | 2x – 3 |  – 5, neste caso, a solução é vazio, pois nunca pode dar negativo.
S = 

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) | < a, com "a" um número real positivo.
| 2x – 3 | < 5, neste caso, separa | 2x – 3 | em dois casos: 2x – 3 < 5 ou – 2x + 3 < 5.

Para 2x – 3 < 5 tem-se: 2x – 8 < 0 e daí, x < 4 (onde 2x – 8 é menor que zero, ou seja, negativo).
Para – 2x + 3 < 5 tem-se: – 2x – 2 < 0 e daí, x > – 1 (onde – 2x – 2 é menor que zero, ou seja, negativo).
S = { x   ; – 1 < x < 4 }

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) |  a, com "a" um número real positivo.
| 2x – 3 |  5, e a mesma situação anterior acrescentado o igual.
S = x   ; – 1  x  4 }

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) | > a, com "a" um número real positivo.
| 2x – 3 | > 5, neste caso, separa | 2x – 3 | em dois casos: 2x – 3 > 5 ou – 2x + 3 > 5.
Para 2x – 3 > 5 tem-se: 2x – 8 > 0 e daí, x > 4 (onde 2x – 8 é maior que zero, ou seja, positivo).
Para – 2x + 3 > 5 tem-se: – 2x – 2 > 0 e daí, x < – 1 (onde – 2x – 2 é maior que zero, ou seja, positivo).
S = { x   ; x < – 1 ou x > 4 }

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) |  a, com "a" um número real positivo.
| 2x – 3 |  5, é a mesma situação anterior acrescentado o igual.
S = x   ; x  – 1 ou x  4 }

Exercícios Resolvidos

R01 — Faça um Esboço gráfico de f(x) = | x – 1 |.

Encontrando a raiz: x – 1 = 0 então, a raiz é x = 1. Como a direita da raiz é positivo e a esquerda é negativo, vem que:
f(x) = x – 1,  se x  1    e    f(x) = – x + 1,  se x < 1.
f(x) = 
Assim, f(0) = – 0 + 1 = 1,        f(1) = 1 – 1 = 0,        f(2) = 2 – 1 = 1.
                   

R02 — Faça um Esboço gráfico de f(x) = | x – 1 | + 1.

Como a raiz é x = 1 tem-se:
f(x) = x – 1 + 1 = x,  se  1    e    f(x) = – x + 1 + 1 = – x + 2,  se x < 1.
f(x) = 
Assim, f(0) = – 0 + 2 = 2,        f(1) = 1,        f(2) = 2.
                   

R03 — Faça um Esboço gráfico de f(x) = | x – 1 | – 1.

Como a raiz é x = 1 tem-se:
f(x) = x – 1 – 1 = x – 2,  se  1    e    f(x) = – x + 1 – 1 = – x,  se x < 1.
f(x) = 
Assim, f(0) = – 0 = 0,        f(1) = 1 – 2 = 0,        f(2) = 2 – 2 = 0.
                   

R04 — Esboçe o gráfico de f(x) = | | x – 1 | – 1 |.

Encontrando a raiz de | x – 1 | tem-se x = 1, então | x – 1 | = x – 1,  se x  1    e    | x – 1 | = – x + 1,  se x < 1.
Então f(x) = | x – 1 – 1 | = | x – 2 |, se x  1 e f(x) = | – x + 1 – 1 = | – x |,  se x < 1.
Para x  1:
A raiz de x – 2 = 0 é x = 2 (que é positivo  se x  2 e negativo  se x < 2).
f(x) = x – 2,  se x  2    e    f(x) = – x + 2,  se 1  x < 2.

Para x < 1:
A raiz de – x = 0 é x = 0 (que é positivo quando x  0 e negativo  se x > 0).
f(x) = – x  se x  0    e    f(x) = – (–x) = x,  se 0 < x < 1.
f(x) = 
Assim, f(– 1) = – (– 1) = 1,        f(0) = – 0 = 0,        f(1) = – 1 + 2 = 1,        f(2) = 2 – 2 = 0,        f(3) = 3 – 2 = 1.

R05 — Resolva a equação | | 2x – 1 | – 3 | = 2.

Há duas opções para esta equação: ou | 2x – 1 | – 3 = 2    ou    | 2x – 1 | – 3 = – 2.
Na primeira | 2x – 1 | = 2 + 3 = 5, o que dá duas opções: 2x – 1 = 5 e daí, 2x = 6 logo x = 3    ou     2x – 1 = – 5 e daí, 2x = – 4, logo x = – 2.

Na segunda | 2x – 1 | = – 2 + 3 = 1, o que também dá duas opções: 2x – 1 = 1    ou    2x – = – 1.
Em 2x – 1 = 1, tem-se x = 1    e    em 2x – 1 = – 1, tem-se, x = 0.

Portanto, a solução é S = { – 2, 0, 1, 3 }.

R06 — Encontre a solução da inequação 6 > | x² + 5x |.

Em | x² + 5x | < 6, têm-se: x² + 5x < 6    ou    x² + 5x > – 6
O que é o mesmo que resolver as inequações:
x² + 5x – 6 < 0    ou    x² + 5x + 6 > 0

Para x² + 5x – 6 = 0 tem-se:
x' = 1 e x'' = – 6
E como se deseja que x² + 5x – 6 seja negativo, a solução é – 6 < x < 1.

Para x² + 5x + 6 = 0 tem-se:
x' = – 2 e x'' = – 3
E como se deseja que x² + 5x + 6 seja positivo, a solução é x < – 3 ou x > – 2.



Logo a solução da inequação | x² + 5x | < 6 é:
S = { x   ; – 6 < x < – 3    ou    – 2 < x < 1 }

R07 — Calcule k de modo que a função (| 2k – 3 |)x² + 5x – 3 seja do 2° grau.

Para ser do 2° grau, | 2k – 3 |  0 e, portanto, com exceção da raiz qualquer real serve.
A raiz é 2k – 3 = 0, ou seja, k = 3/2. Então a solução é:
S = { k   ; k  3/2 }

R08 — Esboce um gráfico para a função modular dada por f(x) = | x + 2 | – | x + 1 |.

Em | x + 2 | se tem: x + 2, se x  – 2 e – x – 2, se x < – 2.
Em | x + 1 | se tem: x + 1, se x  – 1 e – x – 1, se x < – 1.

Se x  – 2 e x  – 1 tem-se:
f(x) = x + 2 – ( x + 1 ) = x + 2 – x – 1 = 1, se x  – 1.

Se x  – 2 e x < – 1 tem-se:
f(x) = x + 2 – ( – x – 1 ) = x + 2 + x + 1 = 2x + 3, se – 2  x < – 1.

Se x < – 2 e x  – 1, não há intervalo comum.

Se x < – 2 e x < – 1 tem-se:
f(x) = – x – 2 – ( – x – 1 ) = – x – 2 + x + 1 = – 1, se x < – 2.

Assim, a lei de formação de f(x) é dada por:
f(x) = 

R09 — Dada a função f(x) = | k – 1 |x² – x – 3. Determine k para que a função tenha raízes reais e distintas.

Para que raízes distintas  > 0, então:
 = (– 1)² – 4 . | k – 1 | . (– 3) = 1 + 12 . | k – 1 |.
1 + 12 . | k – 1 | > 0    ou     12 . | k – 1 | > – 1    ou     | k – 1 | > – 1/12

Como sempre o módulo é positivo, então qualquer que seja o k real é válido.

R10 — As raízes da equação | x |² + | x | – 6 = 0:
a) são positivas
b) tem soma igual a zero
c) tem soma igual a um
d) tem produto igual a seis
e) tem produto igual a menos seis

Substituindo | x | por "y" tem-se: y² + y – 6 = 0, cujas raízes são y' = – 3 e y'' = 2.
Então | x | = – 3    ou     | x | = 2
Como a primeira não tem solução, as únicas soluções são x = – 2    ou     x = 2.
Alternativa "b".

R11 — Resolva a equação  = 4.

Elevando ambos os membros ao quadrado têm-se:
(x – 1)² = 16  x – 1 = ± 4, e daí, x' = 5 e x'' = – 3.
S = { – 3, 5 }

Outra forma de resolver seria:
 = | x – 1 | = 4, e daí,    x – 1 = 4         ou         x = 4 + 1 = 5         e          x – 1 = – 4         ou         x = – 4 + 1 = – 3.

R12 — Resolva a equação | 3 – 2x | = x + 3.

Neste caso, é necessário x + 3 > 0,  ou seja,  x > – 3.
3 – 2x = x + 3      ou      – 3 + 2x = x + 3
3 – 3 = x + 2x      ou      2x – x = 3 + 3
0 = 3x      ou      x = 6

Como ambos são maiores que – 3, então:
S = { 0, 6 }.

Exercícios Propostos

P01 — Faça um esboço gráfico de f(x) = | 1 – 2x |.

P02 — Resolva a equação | 3 – 5x | = 1.

P03 — Represente graficamente a função y = | – x² + 2x + 3 |.

P04 — Resolva a equação | 2 – 4x | = 3x – 5.

P05 — Resolva a inequação | 3x + 9 |  6.

P06 — Esboce um gráfico para a função modular f(x) = | 2x – 6 | + | x – 3 |.

P07 — Resolva a equação 3| x |² – | x | – 2 = 0.

P08 — Determine o valor de k para que o gráfico da função f(x) = ( | k² – 4 | )x² + x – 2 tenha a concavidade voltada para cima.

P09 — A soma das raízes da equação | x² – 3x | = 2 é:
a) 3                  b) 4                  c) 5                  d) 6                  e) 7

P10 — Encontre k para que a função f(x) = (| 2k – 1 | – 4)x + 7 seja crescente.

P11 — Determine k para que a função y = (| k | – 3)x² – 5x + 6 tenha a concavidade voltada para baixo.

P12 — Encontre a solução de | 4 – 3x | > 2x – 1.

P13 — Obtenha o conjunto-solução de   0.

P14 — Resolva a inequação: | x + 1 | – | 2 – x | < 0.

P15 — Encontre a solução de | x – 4 | = | 2x – 3 |.

P16 — Esboce um gráfico para a função modular dada por f(x) = | x + 2 | + | x + 1 |.

P17 — Considere a equação | x | = x – 6. Com respeito à solução real dessa equação, podemos afirmar que:
a) a solução pertence ao intervalo [ 1, 2 ]
b) a solução pertence ao intervalo [ –2, –1 ]
c) a solução pertence ao intervalo ] –1, 1 [
d) a equação não tem solução

P18 — O maior valor que y pode assumir em y = 3 – | x – 3 | é:
a) 2                 b) 3                 c) 6                d) 9                 e) 27

P19 — Encontre k para que a função f(x) = (| 3k – 3| – 5)x + 7 seja do 1° grau.

P20 — Determine k para que a função y = (| 2k + 6 | – 6)x² – 5x + 1 tenha a concavidade voltada para cima.

Fonte: http://hpdemat.apphb.com