Teoria dos conjuntos

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Relação de pertinência

Cada aluno da classe tem uma mesma propriedade: estar na sala de aula. Assim, ao falarmos neste conjunto estabelecemos a possibilidade de averiguar se uma pessoa pertence ou não a ele. O conceito básico da teoria dos conjuntos é a relação de pertinência representada pelo símbolo Î. As letras minúsculas designam os elementos de um conjunto e as maiúsculas, os conjuntos. Assim, o conjunto das vogais (V) é: V = {a, e, i, o, u}

→ A relação de pertinência é expressa por: a Î V, pois o elemento a pertence ao conjunto V.

→ A relação de não-pertinência é expressa por: b Î V, pois o elemento b não pertence ao conjunto V.

Formação de um conjunto

Um conjunto pode ser definido de duas maneiras:

→ Enumerando todos os elementos do conjunto: S = {1, 3, 5, 7, 9}

→ Expressando uma ou mais propriedades que se verificam para todos os seus elementos e somente para eles:

S = {números ímpares de um algarismo} Podemos representá-lo assim:

B = {x Î S / x tem a propriedade P}; (lê-se: x pertence ao conjunto S tal que x possui a propriedade P).

O conjunto B é formado por todos os elementos de S que possuem a propriedade P.

Exemplo: B = {x Î IN / x < 8} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Conjunto vazio: Ø ou { }

É aquele que não contém nenhum elemento.

Subconjuntos de um conjunto

Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem também a outro conjunto B, dizemos que:

A é um subconjunto de B, ou então que ... A é uma parte de B, ou então que ... A está incluído em B e escrevemos A Î B.

Se existir pelo menos um elemento de A que não pertença a B, diremos então que A não está incluído em B e escreveremos A Ë B.

Conjunto das partes de um conjunto

Se tivermos um conjunto de elementos a que chamamos F, o conjunto das partes de F será aquele formado por todos os possíveis subconjuntos de F e será representado por P(F).

Se o conjunto F tem n elementos, então o conjunto das partes de F, P(F), terá 2ⁿ elementos.

Exemplo: Sendo F = {3, 5, 9}, vamos escrever todos os possíveis subconjuntos de F:

→ com nenhum elemento Ø

→ com 1 elemento {3}, {5}, {9}

→ com 2 elementos {3, 5}, {3, 9}, {5, 9}

→ com 3 elementos {3, 5, 9}

Podemos então escrever: P(F) = { Ø, {3}, {5}, {9}, {3, 5}, {3, 9}, {5, 9}, {3, 5, 9} }

O número de elementos de um conjunto F é denominado ordem do conjunto e é indicado por n(F).

Repare que no exemplo acima n(F) = 3 e n (P(F)) = 2³ = 8

Relação de inclusão

A relação de inclusão possui 3 propriedades:

→ Propriedade reflexiva: A Î A, isto é, um conjunto sempre é subconjunto dele mesmo.

→ Propriedade anti-simétrica: se A Î B e B Î A, então A = B.

→ Propriedade transitiva: se A Î B e B Î C, então A Î C.

Conjunto complementar

Complementar de A com respeito a R e é representada por C_R^A = R - A.

No caso dos alunos de uma classe, o conjunto complementar do conjunto dos alunos presentes à aula será formado pelos alunos ausentes à aula.

União e intersecção de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos a que chamamos conjunto união e representamos por: A U B.

Formalmente temos que: A U B = {x / x Î A ou x Î B}

A união de conjuntos obedece às seguintes propriedades:

→ Propriedade comutativa: A U B = B U A

→ Propriedade associativa: A U (B U C) = (A U B) U C

→ Elemento Neutro: A U Ø = A

Utilizando os diagramas de Venn (Figura abaixo), verificamos algumas das propriedades acima.

A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são ao mesmo tempo de A e de B, e é representada por: A ∩ B

Formalmente temos que: A ∩ B = {x| xÎA e xÎB}

A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são ao mesmo tempo de A e de B, e é representada por: A ∩ B

Formalmente temos que: A ∩ B = {x| xÎA e xÎB}

A intersecção de dois conjuntos obedece às seguintes propriedades:

→ Propriedade comutativa: A ∩ B = B ∩ A

→ Propriedade associativa: A ∩ (B∩C) = (A∩B) ∩ C

→ Propriedade de idempotência: A ∩ A = A

→ A ∩ Ø = Ø

Relacionando união e intersecção, surgem duas outras propriedades interessantes:

→ Propriedade distributiva da união com relação à intersecção: A U (B∩C) = (AUB) ∩ (AUC);

→ Propriedade distributiva da intersecção com relação à união: A ∩ (BUC) = (A∩B) U (A∩C).

Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B, escrito A x B, é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b), em que o primeiro elemento a pertence a A e o segundo elemento b pertence a B.

Simbolicamente, podemos escrever:

A X B = {(a, b)| a Î A, b Î B}

Se A = {1, 2} e B = {x, y, z}, então: A X B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}

O conjunto A x B tem 2 x 3 = 6 elementos.

Em geral, se A tem a elementos e B tem b elementos, A x B tem a x b elementos, isto é:

se n(A) = a e n(B) = b, temos que n(A x B) = a x b.

É importante salientar que os pares ordenados recebem estes nomes por se constituírem de 2 elementos em que é fundamental a ordem na qual se apresentam.

No exemplo, o par (1, x) pertence a A x B. Mas o mesmo não acontece com o par (x, 1), que pertenceria ao produto B x A.

É por isso que se afirma que o produto cartesiano não tem a propriedade comutativa. Ele pode ser representado de várias formas:

→ Com um diagrama de flechas.

→ Com um diagrama cartesiano.

→ Com um diagrama em árvore.

As propriedades do produto cartesiano são as seguintes:

→ Propriedade associativa: (A x B) x C = A x (B x C) = A x B x C

→ A x Ø = Ø

→ A x B = Ø se, e somente se, A = Ø ou B = Ø

→ Se C ≠ Ø e A x C = B x C, então: A = B

Os conjuntos numéricos

A expansão contínua do campo numérico chegou, no final do século XIX, de forma totalmente desordenada. Os matemáticos estruturaram, então, uma teoria de conjuntos numéricos que, de certa forma, seguiu a lógica do processo histórico de criação do número.

O conjunto dos números naturais IN

O mais simples. Por ser um conjunto discreto, pode ter uma representação explícita:
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}

O conjunto dos números inteiros Z

É o que resulta da expansão de IN na integração dos números negativos. Por ser um conjunto discreto, pode ter representação explícita: Z = {... ­-3, ­-2, ­-1, 0, 1, 2, 3,...}.

O conjunto dos números racionais Q

É a expansão do conjunto Z, na qual o campo numérico passa a ocupar a parte racional da continuidade.

Por não ocupá-la completamente, é considerado um conjunto denso, sem representação explícita. Pode existir na reta, desde que se indiquem os espaços vazios da descontinuidade, que correspondem aos números irracionais, também à esquerda de zero.

O conjunto dos números reais IR

É a expansão do conjunto Q na qual o campo numérico passa a ocupar toda a continuidade, graças à união dos campos racional e irracional. Por se tratar de um conjunto contínuo, não tem representação explícita. É um conjunto numérico que ocupa todos os pontos da reta, também à esquerda de zero.

fonte:matematiques.com.br