Progressão Aritmética

Marcos Noé

P.A

A sequência numérica que envolve números reais em que a partir do 2º elemento a diferença entre qualquer termo e seu antecessor seja um número constante recebe o nome de Progressão Aritmética (PA). Esse valor constante é chamado de razão (r) da P.A.
Observe as Progressões Aritméticas a seguir:
(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ....), temos razão (r) igual à 2, pois 4 – 2 = 2.
(-2, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, ...), temos razão (r) igual à 4, pois 6 – 2 = 4.
(21, 19, 17, 15, 13, 11, 9, 7, ...), temos razão (r) igual à –2, pois 19 – 21 = –2.

Podemos classificar uma P.A. de acordo com a sua razão, se:

r > 0 , dizemos que a P.A. é crescente.
r < 0, dizemos que a P.A. é decrescente.
r = 0, P.A. constante, todos os termos são iguais.


Termo Geral de uma P.A.

Para obtermos qualquer termo de uma P.A. conhecendo o 1º termo (a₁) e a razão (r) utilizamos a seguinte expressão matemática:

Através dessa expressão podemos escrever qualquer termo de uma P.A., veja:

a₂ = a₁ + r
a₃ = a₁ + 2r
a₈ = a₁+ 7r
a₁₂ = a₁ + 11r
a₁₀₀ = a₁ + 99r
a₅₁ = a₁ + 50r

Exemplo 1

Determine o 12º termo da P.A. (4, 9, 14, 19, 24, 29, ...).

Dados:
a₁ = 4
r = 9 – 4 = 5
a_n = a₁ + (n – 1)*r
a₁₂ = 4 + (12 – 1)*5
a₁₂ = 4 + 11*5
a₁₂ = 4 + 55
a₁₂ = 59

Exemplo 2

Dada a P.A. (18, 12, 6, 0, -6, -12, ....), calcule o 16º termo.
a₁ = 18
r = 12 – 18 = – 6
a_n = a₁ + (n – 1)*r
a₁₆ = 18 + (16 – 1)*( –6)
a₁₆ = 18 + 15*( –6)
a₁₆ = 18 – 90
a₁₆ = – 72


Soma dos Termos de uma P.A.

Podemos calcular a soma dos n primeiros termos de uma P.A., para isso basta conhecermos o 1º termo (a1) e o último termo (an). Usaremos a seguinte expressão matemática:

Exemplo 3

Determine a soma dos 40 primeiros termos da seguinte P.A. (3, 6, 9, 12, 15, 18, ....).

Precisamos calcular o 40º termo:
a₁ = 3
r = 3
a_n = a₁ + (n – 1)*r
a₄₀ = 3 + (40 – 1)*3
a₄₀ = 3 + 39*3
a₄₀ =3 + 117
a₄₀ =120

Agora podemos determinar a soma dos 40 primeiros termos da P.A.