Fração geratriz

A fração geratriz, quando representada na forma decimal, produz dízimas periódicas simples ou compostas. Portanto, toda dízima periódica (número decimal) deve possuir uma forma fracionária, por isso demonstraremos como transformar números decimais em frações geratrizes. Primeiro vamos observar alguns exemplos de números racionais com períodos:

0,33333333... , período 3 (um algarismo)
0,23232323..., período 23 (dois algarismos)
0,562562562..., período 562 (três algarismos)

Para encontrarmos a fração geratriz seguimos os seguintes passos.

1º passo – relacionar a dízima periódica com uma incógnita

x = 0,333333...

2º passo – multiplicar os dois lados da igualdade por um múltiplo de 10, de acordo com a quantidade de algarismos do período, por exemplo:

um algarismo, multiplicar por 10
dois algarismos, multiplicar por 100
três algarismos, multiplicar por 1000, e assim sucessivamente.

x = 0,333333 ... * 10
10x = 3,3333 ...

3º passo – subtrair a segunda igualdade da primeira igualdade

10x = 3,3333
– x = 0,3333
9x = 3

9x = 3
x = 3/9

Exemplo 2

Encontrar a fração geratriz da seguinte dízima periódica: 0,232323... .

1º passo
x = 0,232323....

2º passo
x = 0,232323 ... * 100
100x = 23,23

3º passo
100x = 23,23
– x = 0,23

99x = 23
99x = 23
x = 23/99

Exemplo 3

Determinar a fração geratriz do número racional 0,562562...

1º passo
x = 0,562562...

2º passo
x = 0,562562... * 1000
1000x = 562,562

3º passo
1000x = 562,562
– x = 0,562

999x = 562
x = 562/999