O CÁLCULO PROPOSICIONAL E A ÁLGEBRA DOS CONJUNTOS

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com
O CÁLCULO PROPOSICIONAL E A ÁLGEBRA DOS CONJUNTOS
O Cálculo Proposicional e a Álgebra dos Conjuntos possuem estruturas semelhantes.
Toda fórmula do Cálculo Proposicional determina uma operação correspondente entre conjuntos :

• a negação (~ ) corresponde à complementação ( ’ ),

• a conjunção (Ù ) corresponde à intersecção (Ç ) ,

• a disjunção (Ú ) corresponde à união (È ).

As variáveis proposicionais podem servir como variáveis simbolizando conjuntos na nova expressão.
Exemplo: (( p Ú q) Ù ~ p)corresponde a (( p È q ) Ç p’)
Podemos expressar, as operações entre conjuntos através dos DIAGRAMAS DE EULER-VENN (John Venn 1834-1923) que são úteis na verificação de propriedades de operações entre conjuntos, mas não devem ser considerados instrumentos de prova matemática rigorosa. Verifique seu conhecimento com estas operações considerando 2 conjuntos ou 3 conjuntos.
1.COMPLEMENTAÇÃO : p’que corresponde à NEGAÇÃO :~p

	p	~ p
1	V	F
2	F	V

onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem às regiões (1) e (2) do diagrama respectivamente.
2.UNIÃO : p È q que corresponde à DISJUNÇÃO: p Úq
p È q

	p	q	p Ú q
1	V	V	V
2	V	F	V
3	F	V	V
4	F	F	F

as linhas (1), (2), (3) e (4) da tabela correspondem às regiões (1), (2), (3) e (4) do diagrama respectivamente.
A região hachurada no diagrama corresponde às linhas da tabela onde a fórmula p Ú q assume valor V.
3. INTERSECÇÃO : p Ç q que corresponde à CONJUNÇÃO: p Ù q
p Ç q

	p	q	p Ùq
1	V	V	V
2	V	F	F
3	F	V	F
4	F	F	F

A região hachurada do diagrama corresponde à linha (1) da tabela, onde a fórmula pÙq assume valor V.
A figura abaixo forma um Diagrama de Venn apropriado para três conjuntos. Temos 8 regiões que correspondem, respectivamente, às 8 linhas da tabela-verdade ao lado do diagrama :

	p	q	r
1	V	V	V
2	V	V	F
3	V	F	V
4	V	F	F
5	F	V	V
6	F	V	F
7	F	F	V
8	F	F	F

Exemplo: O diagrama de Venn abaixo corresponde à fórmula ~((p Ù q) ® r) e à expressão (p Ç q) Ç r’. O valor V da fórmula (última coluna) corresponde à região 2 do diagrama de Venn.

p	q	r	~((p Ù q) ® r )
V	V	V	F V V V
V	V	F	V V F F
V	F	V	F F V V
V	F	F	F F V F
F	V	V	F F V V
F	V	F	F F V F
F	F	V	F F V V
F	F	F	F F V F

---

CELINA ABAR