Potenciação

As potências surgiram no intuito de representar multiplicações onde os fatores eram iguais. Dessa forma, algumas propriedades foram criadas nas operações envolvendo potenciações de bases iguais ou diferentes, simplificando os cálculos. Observe o desenvolvimento de uma potência:

3² = 3 x 3 = 9
4³ = 4 x 4 x 4 = 64
10³ = 10 x 10 x 10 = 1000
25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
64 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296

As potências possuem inúmeras aplicações no cotidiano, os cálculos envolvendo juros compostos são desenvolvidos baseados na potenciação das taxas de juros, a função exponencial também é um exemplo onde utilizamos potências, a notação científica utiliza potências no intuito de representar números muito grandes ou pequenos. É notório a importância das potências nos cálculos matemáticos modernos, facilitando e contribuindo na resolução de problemas cotidianos.

Exemplo 1

Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a uma taxa de 2% ao mês durante 10 meses, no regime de juros compostos. Determine o valor a ser recebido após o tempo da aplicação.

Resolução:

A situação acima envolve juros compostos, por isso ocorre acumulação de capital que deverá ser expresso por uma potenciação, onde o número de meses corresponderá ao expoente e a base será representada pela taxa. Observe a fórmula do cálculo do montante nos juros compostos:

M = C * (1 + i)t (base: (1 + i), expoente: t)
M = 500 * (1 + 0,02)10
M = 500 * 1,0210
M = 500 * 1,21899441999475713024
M = 609,50


Exemplo 2

Notação científica

Números muito grandes

A distância entre o Sol e a Terra é de aproximadamente 150 milhões de quilômetros
(150 000 000). Esse valor pode ser expresso utilizando a seguinte notação decimal:
1,5 x 108. (base: 10, expoente: 8)

Números muito pequenos

0,0000000007 = 7 * 10–10 (base: 10, expoente: –10)

O quadrado do número 7 é igual a 49 (7² = 49). Assim temos que o quadrado do número 8 é dado pela expressão (a + b)². Veja:
8 = (7 + 1)² = 7² + 2*7*1 + 1 = 49 + 14 + 1 = 64

Todos os números podem ter seus quadrados calculados dessa forma, a expressão algébrica (a + b)², permite que esses cálculos se tornem possíveis.

Número Expressão Quadrado
1 1² + 2*0*1 + 0² = 1 + 0 + 0 = 1
2 1² + 2*1*1 + 1² = 1 + 2 + 1 = 4
3 2² + 2*2*1 + 1² = 4 + 4 + 1 = 9
4 3² + 2*3*1 + 1² = 9 + 6 + 1 = 16
5 4² + 2*4*1 + 1² = 16 + 8 + 1 = 25
6 5² + 2*5*1 + 1² = 25 + 10 + 1 = 36
7 6² + 2*6*1 + 1² = 36 + 12 + 1 = 49
8 7² + 2*7*1 + 1² = 49 + 14 + 1 = 64
9 8² + 2*8*1 + 1² = 64 + 16 + 1 = 81
10 9² + 2*9*1 + 1² = 81 + 18 + 1 = 100
11 10² + 2*10*1 + 1² = 100 + 20 + 1 = 121
12 11² + 2*11*1 + 1² = 121 + 22 + 1 = 144
13 12² + 2*12*1 + 1² = 144 + 24 + 1 = 169
14 13² + 2*13*1 + 1² = 169 + 26 + 1 = 196
15 14² + 2*14*1 + 1² = 196 + 28 + 1 = 225
16 15² + 2*15*1 + 1² = 225 + 30 + 1 = 256
17 16² + 2*16*1 + 1² = 256 + 32 + 1 = 289
18 17² + 2*17*1 + 1² = 289 + 34 + 1 = 324
19 18² + 2*18*1 + 1² = 324 + 36 + 1 = 361
20 19² + 2*19*1 + 1² = 361 + 38 + 1 = 400
... .... ...
Toda potência tem a sua forma de representação, assim, possui também uma leitura específica que irá depender do valor do expoente. Veja como é feita a leitura das potências.

51 = cinco elevado a potência um ou cinco elevado a um.

42 = quatro elevado a potência dois ou quatro elevado a dois ou quatro elevado ao quadrado ou quadrado de nove.

83 = oito elevado a terceira potência, oito elevado a três ou oito elevado ao cubo ou cubo de oito.

94 = nove elevado a quarta potência, nove elevado a quarta.

25 = dois elevado a quinta potência ou dois elevado a quinta.

Quando o expoente é igual a 2 ou 3 chamamos de quadrado ou cubo, essa denominação veio do cálculo da área de um quadrado que é o produto de dois fatores iguais (lados iguais) e do volume do cubo que é o produto de três fatores iguais (comprimento, largura e altura).

Observação:

A base de uma potência pode assumir qualquer valor real como o expoente também, ou seja, a base ou o expoente podem ser representados em forma de fração, número decimal, número negativo.

Exemplo:
Considere a potência 54 = 625, agora faça a identificação de seus elementos:

5 é a base
4 é o expoente
625 é a potência

Exemplo:
Veja como calculamos algumas potências:
302 = 30 . 30 = 900
123 = 12 . 12 . 12 = 1728
104 = 10 . 10 . 10 . 10 = 10000
Para chegarmos ao valor numérico de uma expressão numérica é preciso obedecer às regras de resolução de uma expressão numérica e quando encontramos em sua estrutura uma potência é preciso dar preferência a ela.

Veja alguns exemplos de expressões numéricas com potência em sua estrutura.

Exemplo:

• 3 . {43 – [5 . 60 + 7 . (92 – 80)]}

Nessa expressão numérica iremos resolver as potências 43, 60 e 92 antes de qualquer outra operação.

3 . {64 – [5 . 1 + 7 . (81 – 80)]}

Depois de eliminar todas as potências, é preciso aplicar as regas de resolução.

3 . {64 – [5 + 7 . 1 ]}
3 . {64 – [5 + 7]}
3 . {64 – 12}
3 . 52
156


• (33 + 3 . 7)2 : {4 . [800 – (32 . 2 + 10)2]}

Nessa expressão numérica iremos resolver as potências 33 e 32 antes de qualquer outra operação.

(27 + 3 . 7)2 : {4 . [800 – (9 . 2 + 10)2]}

Para resolvermos as potências (9 + 3 . 7)2 e (9 . 2 + 10)2 é preciso resolver as operações que estão dentro dos parênteses.

(27 + 21)2 : {4 . [800 – (18 + 10)2]}
2304 : {4 . [800 -784]}
2304 : {4 . 16}
2304 : 64
36
Quando trabalhamos com base sendo números inteiros é necessário obedecer algumas regras no cálculo da potência.

O cálculo da potência de base de número inteiro é dividido em base positiva e base negativa.

• Base positiva

Quando a base é positiva resolvemos a potência normalmente.
(+2)5 = +2 . (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = 32
Como a base é positiva podemos escrever essa mesma potência sem representação do sinal de +.
25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32

• Base negativa

Quando a base for negativa devemos fazer o jogo de sinais utilizados na multiplicação.

(-5)3 = (-5) . (-5) . (-5) = - 125
Como estamos multiplicando uma quantidade ímpar de fatores e todos eles são negativos a potência (resultado) também será negativa, ou seja, sempre que o expoente for ímpar e a base negativa a potência será negativa.

(-3)4 = (-3) . (-3) . (-3) . (-3) = 81
Nesse caso, a potência (resultado) ficou positiva, pois quando multiplicamos quantidades pares de fatores negativos a potência sempre será positiva, ou seja, quando a Base for negativa e o expoente for par a potência será positiva.

Exemplos:

(-15)2 = 225

(-3)3 = -27
Existem algumas potências que possuem bases e expoentes que facilitam o cálculo do seu resultado.

Potência de expoente 1.

Sempre que o expoente for igual a 1 o resultado será igual à base.

51 = 5

251 = 25

Potência de expoente zero.

Sempre que o expoente for igual a zero o seu resultado será igual a 1.

20 = 1

50 = 1

(-10)0 = 1

650 = 1

Deduzimos que toda potência de expoente zero é igual a 1, porque ao efetuarmos a divisão de potências de bases iguais e expoentes iguais, chegamos a valores diferentes veja:

43 : 43 = 43 – 3 = 40

43 : 43 = 1

Utilizamos dois métodos diferentes para a resolução da mesma divisão e encontramos dois resultados diferentes, portanto, concluímos que:

40 = 1

Assim, é possível concluir que toda potência de expoente zero será igual a 1.

Potência de base 10

Sempre que uma potência tiver base igual a 10 seu resultado será igual a 1, seguido de tantos zeros quantos forem as unidades do expoentes.

101 = 10

102 = 100

103 = 1000
104 = 10000
A potenciação é utilizada no intuito de demonstrar multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, a multiplicação 2 * 2 * 2 * 2 * 2, pode ser escrita na forma de uma potência de base 2 e expoente 5. Veja: 25.

Certas potenciações são resolvidas utilizando algumas definições práticas que facilitam o cálculo do resultado.

A base é um número qualquer diferente de zero, e o expoente é igual a 1.

Sempre que o expoente for igual a 1, o resultado será igual à base.

2¹ = 2

12¹ = 12

32¹ = 32

100¹ = 100


A base é um número qualquer diferente de zero, e o expoente é igual a 0.

Sempre que o expoente for igual a zero, o seu resultado será igual a 1.

40 = 1

150 = 1

(–1000)0 = 1

2380 = 1


A base é igual a 10 e o expoente um número qualquer, diferente de zero.

Sempre que uma potência tiver base igual a 10, seu resultado será igual a 1, seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.

10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1 000

104 = 10 000

A base é um número qualquer menor que zero, e o expoente é um número par.

Nesses casos, o resultado será um número positivo.

(–2)4 = + 16

(–3)2 = + 9

(–5)4 = + 625

(–10)5 = + 100 000


A base é um número qualquer menor que zero, e o expoente é um número ímpar.

Nesse caso, o resultado será um número negativo.

(–2)3 = – 8

(–3)5 = – 243

(–5)5 = – 3 125

(–10)7 = – 10 000 000



A base é um número qualquer diferente de zero, e o expoente é igual a um número negativo.

Devemos inverter a base trocando o sinal negativo existente por um sinal positivo, e logo após, calcularmos o resultado final.

A base é um número qualquer diferente de zero, e o expoente é igual a um número fracionário.

Devemos escrever a base como radicando de uma raiz de índice igual ao denominador da fração, e expoente do radicando de mesmo valor do numerador da fração. Observe:


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