Equação Exponencial

Marcos Noé

Estudo das equações exponenciais

O estudo das equações surge a partir do momento em que desejamos calcular um valor desconhecido. Os modelos equacionais mais comuns são aqueles em que a variável (termo desconhecido comumente representado pelas letras x, y e z) se encontra na base da equação, de acordo com os seguintes exemplos:

2x + 3 = 0
4y + 7 = 2
5z – 6 = 0
x²+ 2x – 6 = 0
4x² + 10x = 9
5z³ + 6z² - 2z = 1
Observe que em todas as equações a incógnita se encontra na base.

Na equação exponencial a incógnita se apresenta no expoente de pelo menos uma potência. Observe:

2^x = 32
3^z = 27
3^{y + 9} = 27
4^x+1 = 16^x

Essas equações possuem um modelo de resolução diferente dos outros modelos.
Uma boa metodologia de resolução consiste em reduzir as bases ao mesmo valor, mantendo a base sempre maior que zero e diferente de um. Aplicando essa regra prática podemos desenvolver a seguinte propriedade:

b^x1 = b^x2
x₁ = x₂


Exemplos resolvidos

1) 2^x = 512 (512 = 2⁹)
2^x = 2⁹
x = 9

2) 5^x+2 = 125 (125 = 5³)
5^x+2 = 5³
x+2 = 3
x = 3 – 2
x = 1

3) 2^{4x + 1} * 8 ^{–x + 3} = 16^–1
2^4x+1 * 2 ^{3(–x + 3)} = 2^4(–1)
4x + 1 – 3x + 9 = – 4
4x – 3x = – 4 – 1 – 9
x = – 14


4) 2 ^{x + 1} * 2 ^{3x + 1} = 8 ^{x – 1}
2 ^{x + 1} * 2 ^{3x + 1} = 2 ^{3(x – 1)}
x + 1 + 3x + 1 = 3x – 3
x + 3x – 3x = – 1 – 1 – 3
x = – 5


5) 2 ^2x+1 – 2 ^x+4 = 2 ^x+2 – 32
2 ^2x * 2 ¹ – 2 ^x * 2 ⁴ = 2 ^x * 2 ² – 32

Considere 2^x = y, então:

2y ² – y * 2 ⁴ = y * 2 ² – 32
2y ² – 16y = 4y – 32
2y ² – 16y – 4y + 32= 0
2y ² – 20y + 32 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau, temos:
y’ = 8
y” = 2

2x = 8
2x = 23
x = 3

2x = 2
x = 1

Solução: x = 3 e x = 1

As equações exponenciais possuem diversas aplicações na Biologia, na Química, na Física e em situações matemáticas envolvendo logaritmos.