Função composta

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Função é uma relação entre dois conjuntos. Uma função composta é uma relação de outra relação, ou seja, é uma relação que depende de outra pra existir.

Costuma-se dizer que função composta é a junção de duas outras funções. Matematicamente podemos dizer que função composta é:

Considerando três conjuntos distintos A, B e C. Entre eles existem as seguintes funções: f: A→ B e
g: B→C.
Irá existir outra função h: A→ C, assim a função h(x) = g(f(x)) é chamada função composta. Essa função composta também poderá ser indicada por g o f (lê – se: g composta com f).

Observando a definição acima de função composta, veja um exemplo de como encontramos uma função composta:

Dados três conjuntos A = {-2, -1, 0, 3}, B = {3, 0, -1, 8} e C = {6, 0, -2, 16}. Entre eles existem as seguintes funções:
f: A→B definida por f(x) = x2 – 1 e g: B→C definida por g(x) = 2x. Veja o diagrama abaixo que representa essas funções:



Para cada elemento de A existe um elemento em B tal que f(x) = x2 – 1 e para cada elemento de B existe um elemento de C tal que g(x) = 2x. Assim, podemos concluir que existe uma função h: A →C definida por h(x) = g(f(x)), ou seja,
h(x) = 2(x2 – 1) = 2x2 – 2. Veja o diagrama abaixo:



Exemplo 1:
Dada as duas funções f(x) = x2 e g(x) = 2x – 1, calcule:

f(g(x)) = (2x – 1)2
f(g(x)) = (2x)2 + 2 . 2x . (-1) + (-1)2
f(g(x)) = 4x2 – 4x + 1

g(g(x)) = 2(2x – 1) – 1
g(g(x)) = 4x – 2 – 1
g(g(x)) = 4x – 3

Exemplo 2:

Dada a função f(x) = x2 + 1 e g(x) = 3x – 4, calcule:

f(g(3)) = (3x – 4)2 + 1
f(g(3)) = (3 . 3 – 4)2 + 1
f(g(3)) = (9 – 4)2 + 1
f(g(3)) = 52 + 1
f(g(3)) = 25 + 1
f(g(3)) = 26

f(g(0)) + g(f(1)) = (3x – 4)2 + 1 + 3 (x2 + 1) – 4
f(g(0)) + g(f(1)) = (3 . 0 – 4)2 + 1 + 3(12 + 1) – 4
f(g(0)) + g(f(1)) = (-4)2 + 1 + 3(1 + 1) – 4
f(g(0)) + g(f(1)) = 16 + 1 + 3 . 2 – 4
f(g(0)) + g(f(1)) = 16 + 1 + 6 – 4
f(g(0)) + g(f(1)) = 17 + 6 – 4
f(g(0)) + g(f(1)) = 23 – 4
f(g(0)) + g(f(1)) = 19

Por Danielle de Miranda