MMC e MDC

A utilização do MMC (mínimo múltiplo comum) e do MDC (máximo divisor comum) está ligada aos cálculos envolvendo múltiplos e divisores de um número natural. Esses conteúdos são utilizados na resolução de situações cotidianas, as quais serão demonstradas nas explicações seguintes.

Iniciaremos nosso estudo com a definição e exemplificação de MMC e MDC.

Mínimo Múltiplo Comum – MMC

Números múltiplos são aqueles em que o resto da divisão entre eles é igual a zero. Dois ou mais números naturais sempre têm múltiplos comuns. Para obter o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números, execute os seguintes passos:

1º passo: Realize a decomposição dos números em fatores primos, de forma conjunta.

2º passo: Multiplique os valores da decomposição em fatores primos.

3º passo: O resultado do 2º passo será o Mínimo Múltiplo Comum (MMC).

Vamos determinar o mínimo múltiplo comum entre os seguintes números: 12, 15 e 18. A fatoração entre os números será simultânea. Observe:

Fatores
Primos

MMC(12, 15, 18) = 2 * 2 * 3 * 3 * 5
MMC(12, 15, 18) = 180

Máximo Divisor Comum – MDC

Divisor é todo número inteiro, que ao dividir um número natural tem como resto o número 0 (zero). Dois ou mais números naturais sempre têm divisores comuns. Para obter o Máximo Divisor Comum (MDC) de dois ou mais números, execute os seguintes passos:

1º passo: Realize a decomposição dos números em fatores primos, separadamente.

2º passo: Identifique os valores da decomposição em fatores primos comuns a todos os números.

3º passo: Separe os fatores identificados no 2º passo e multiplique esses valores.

4º passo: O resultado do 3º passo será o Máximo Divisor Comum (MDC).

Vamos determinar o máximo divisor comum dos seguintes números: 88, 144 e 256.

Realizaremos a decomposição em fatores primos dos números individualmente. Observe:



88 = 2 * 2 * 2 * 11
144 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3
256 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

MDC(88, 144, 256) = 2 * 2 * 2
MDC(88, 144, 256) = 8

Máximo Divisor comum utilizando a fatoração simultânea

Nessa técnica, os números são fatorados unicamente juntos. Os fatores primos que dividirem todos os números por vez devem ser marcados. Ao final, basta realizar a multiplicação entre os fatores assinalados. Veja:

A multiplicação dos fatores assinalados será o MDC entre os números 88, 144 e 256, que é igual a 8.

Exemplos de Aplicações

1 – Em uma rodoviária, o ônibus da empresa Viaje Bem parte a cada 20 minutos e o ônibus da empresa Boa Viagem parte a cada 30 minutos. Supondo que os dois ônibus partem juntos às 6 horas da manhã, depois de quanto tempo os ônibus das duas empresas devem partir juntos novamente?

Vamos aplicar a noção de MMC, pois precisamos determinar depois de quanto tempo os ônibus deverão partir juntos.

MMC(20, 30) = 2 * 2 * 3 * 5 = 60

Os ônibus devem partir juntos novamente após 60 minutos.

2 – Dois pedaços de madeira, um com 80 centímetros e outro com 120 centímetros, devem ser cortados em pedaços de tamanhos iguais, para que seja montada a estrutura de um pequeno armário. Para que os pedaços de madeira possuam o tamanho máximo possível, para que não haja desperdício, qual deve ser o comprimento de cada pedaço?

O exercício relata o fato de que o tamanho da madeira seja máximo e com comprimento igual. Dessa forma, devemos utilizar os fundamentos do máximo divisor comum. Vamos estabelecer o MDC entre 80 e 120.



80 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5
120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5

MDC(80, 120) = 2 * 2 * 2 * 5
MDC(80, 120) = 40
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