Potenciação e radiciação

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Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são iguais

Exemplo
5x5x5, indicada por 5³

ou seja , 5³= 5x5x5=125

onde :

5 é a base (fator que se repete)

3 é o expoente ( o número de vezes que repetimos a base)

125 é a potência ( resultado da operação)

Outros exemplos :
a) 7²= 7x7=49
b) 4³= 4x4x4=64
c) 5= 5x5x5x5=625
d) 2= 2x2x2x2x2=32

O expoente 2 é chamado de quadrado
O expoente 3 é chamado de cubo
O expoente 4 é chamado de quarta potência.
O expoente 5 é chamado de quinta potência.

Assim:
a) 7² Lê-se: sete elevado ao quadrado
b) 4³ Lê-se: quatro elevado ao cubo
c) 5 Lê-se: cinco elevado a quarta potência
d) 2 Lê-se: dois elevado a quinta potência



Por convenção temos que:

1) todo o número elevado ao expoente 1 é igual à própria base,

exemplo
a) 8¹ = 8
b) 5¹ = 5
c) 15¹ = 15

2) todo o número elevado ao expoente zero é igual a 1
exemplo
a) 8º=1
b) 4º=1
c) 12º=1


EXERCÍCIOS

1) Em 7² = 49, responda:

a) Qual é a base?
b) Qual é o expoente?
c) Qual é a potência?

2) Escreva na forma de potência:

a) 4x4x4=
b) 5x5
c) 9x9x9x9x9=
d) 7x7x7x7
e) 2x2x2x2x2x2x2=
f) cxcxcxcxc=

3) Calcule a potência:

a) 3² = (R: 9)
b) 8² = (R: 64)
c) 2³= (R: 8)d) 3³ = (R: 27)e) 6³ = (R: 216)
f) 2 = (R: 16)
g) 3 = (R: 81)
h) 3 = (R: 243)i) 1 = (R: 1)j) 0 = (R: 0)l) 1 = (R: 1)
m) 10² = (R: 100)
n) 10³ = (R: 1000)
o) 15² = (R: 225)
p) 17² = (R: 289)
q) 30² = (R: 900)

4) Calcule as potências:
a)40² =1600
b)32² =1024
c)15³ = 3375
d) 30³= 27000
e) 11 =14641
f) 300² = 90000
g) 100³ = 1000000
h) 101² = 10201

5) Calcule as Potências:

a) 11² = 121b) 20² = 400
c) 17² =289
d) 0² = 0e) 0¹ = 0
f) 1⁶ = 1
g) 10³ = 1.000
h) 470¹ = 470i) 11³ = 1331
j) 67⁰ =1k) 1³⁰ = 1l) 10⁵ = 100000m) 1⁵ = 1n) 15³ = 3375
o) 1² = 1
p) 1001⁰= 1



RADICIAÇÃO
Qual o número que elevado ao quadrado é igual a 9?

Solução

Sendo 3² = 9, podemos escrever que √9 = 3

Essa operação chama-se radiciação, que é a operação inversa da potenciação

Exemplos

Potenciação------------------------radiciação
a) 7² = 49 ---------------------------- √49= 7
b) 2³= 8 ------------------------------ ∛8 = 2
c) 3⁴= 81 ---------------------------- ∜81 = 3

O sinal √ chamamos de radical
O índice 2 significa : raiz quadrada
O índice 3 significa: raiz cúbica
O índice 4 significa: raiz quarta

assim:

√49= 7 lê-se: raiz quadrada de 49

∛8 = 2 lê-se : raiz cúbica de 8

∜81 = 3 lê-se: raiz quarta de 81

Nota:

Não é necessário o índice 2 no radical para a raiz quadrada


EXERCÍCIOS

1)Descubra o número que :

a) elevado ao quadrado dá 9

b) elevado ao quadrado dá 25

c) elevado ao quadrado dá 49

d) elevado ao cubo dá 8


2) Quanto vale x ?

a) x²= 9 (R:3)
b) x²= 25 (R:5)
c) x²= 49 (R:7)
d) x²= 81 (R:9)

3) Determine a Raiz quadrada:

a) √9 = 3b) √16 = 4
c) √25 = 5
d) √81 = 9
e) √0 = 0
f) √1 = 1
g) √64 = 8
h) √100 = 10

4) Resolva as expressões abaixo:

a) √16 + √36 = 4 + 6 = 10
b) √25 + √9 = 5 + 3 = 8
c) √49 - √4 = 7 - 2 = 5
d) √36- √1 = 6 - 1 = 5
e) √9 + √100 = 3 + 10 = 13
f) √4 x √9 = 2 x 3 = 6


PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO

Primeira propriedade

Multiplicação de potências de mesma base

Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.
exemplos
3² x 3⁵ = 3²⁺⁵ = 3⁷

conclusão:
conservamos a base e somamos os expoentes.


EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência
a) 4³ x 4 ²= 4⁵
b) 7⁴ x 7⁵ = 7⁹
c) 2⁶ x 2²= 2⁸
d) 6³ x 6 = 6⁴
e) 3⁷ x 3² = 3⁹
f) 9³ x 9 = 9⁴
g) 5 x 5² = 5³
h) 7 x 7⁴ = 7⁵
i) 6 x 6 = 6²
j) 3 x 3 = 3²
l) 9² x 9⁴x 9 = 9⁷
m) 4 x 4² x 4 = 4⁴
n) 4 x 4 x 4= 4³
0) m⁰ x m x m³ = m⁴
p) 15 x 15³ x 15⁴x 15 = 15⁹


2) Reduza a uma só potência:

a) 7² x 7⁶ = 7⁸
b) 2² x 2⁴= 2⁶
c) 5 x 5³ = 5⁴
d) 8² x 8 = 8³
e) 3⁰ x 3⁰ = 3⁰
f) 4³ x 4 x 4² = 4⁶
g) a² x a² x a² = a⁶
h) m x m x m² = m⁴
i) x⁸ . x . x = x¹⁰
j) m . m . m = m³

Segunda Propriedade

Divisão de Potência de mesma base

Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

Exemplo

a) 8⁹: 8² = 8⁹⁻² = 8⁷

b) 5⁴ : 5 = 5⁴⁻¹ = 5³

conclusão : conservamos a base e subtraimos os expoentes

EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência


a) 5⁴ : 5² = 5²
b) 8⁷ : 8³ = 8⁴
c) 9⁵ : 9² = 9³
d) 4³ : 4² = 4¹e) 9⁶ : 9³ = 9³
f) 9⁵ : 9 = 9⁴
g) 5⁴ : 5³ = 5¹
h) 6⁶ : 6 = 6⁷
i) a⁵ : a³ = a²
j) m² : m = m¹
k) x⁸ : x = x⁷
l) a⁷ : a⁶ = a¹


2) Reduza a uma só potência:

a) 2⁵ : 2³ =
b) 7⁸ : 7³=
c) 9⁴ : 9 =
d) 5⁹ : 5³ =
e) 8⁴ : 8⁰ =
f) 7⁰ : 7⁰ =

Teceira Propriedade

Potência de Potência

Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.

(7²)³ = 7²΄³ = 7⁶

conclusão: conservamos a base e multiplicamos os expoentes.


EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência:
a) (5⁴)²
b) (7²)⁴
c) (3²)⁵
d) (4³)²
e) (9⁴)⁴
f) (5²)⁷
g) (6³)⁵
h) (a²)³
i) (m³)⁴
j) (m³)⁴
k) (x⁵)²
l) (a³)⁰
m) (x⁵)⁰

2) Reduza a uma só potência:

a) (7²)³ =
b) (4⁴)⁵ =
c) (8³)⁵ =
d) (2⁷)³ =
e) (a²)³ =
f) (m³)⁴ =
g) (a⁴)⁴ =
h) (m²)⁷ =


EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM POTENCIAÇÃO


Para resolver uma expressão numérica, efetuamos as operações obedecendo à seguinte ordem :

1°) Potenciação
2°) Multiplicações e divisões
3°) Adições e Subtrações

EXEMPLOS

1) 5 + 3² x 2 =
= 5 + 9 x 2 =
= 5 + 18 =
= 23

2) 7² - 4 x 2 + 3 =
= 49 – 8 + 3 =
= 41 + 3 =
= 44

Há expressões onde aparecem os sinais de associação e que devem ser eliminados nesta ordem:
1°) parênteses ( )
2°) colchetes [ ]
3°) chaves { }

exemplos

1°) 40 – [5² + ( 2³ - 7 )] =
= 40 – [5² + ( 8 - 7 )]
= 40 – [25 + 1 ]=
= 40 – 26 =
= 14

2°) 50 –{ 15 + [ 4² : ( 10 – 2 ) + 5 x 2 ] } =
= 50 –{ 15 + [ 16 : 8 + 10 ]}=
= 50 – { 15 + [ 2 + 10 ] } =
= 50 – { 15 +12 } =
= 50 – 27 =
= 23

Exercícios

1) Calcule o valor das expressões:
a) 7² - 4 = (R:45)
b) 2³ + 10 = (R:18)
c) 5² - 6 = (R:19)
d) 4² + 7⁰= (R:17)e) 5⁰+ 5³= (R: 126)
f) 2³+ 2⁴ = (R: 24)
g) 10³ - 10² = (R: 900)
h) 80¹ + 1⁸⁰ = (R: 81)
i) 5² - 3² = (R: 16)
j) 1⁸⁰ + 0⁷⁰ = (R: 1)
2) Calcule
a) 3² + 5 = (R: 14)b) 3 + 5² = (R: 28)
c) 3² + 5² = (R: 34)
d) 5² - 3² = (R: 16)
e) 18 - 7⁰ = (R: 17)f) 5³ - 2² = (R: 121)
g) 10 + 10² = (R: 110)
h) 10³ - 10² = (R: 900)
i) 10³ - 1¹ = (R: 999)

3) Calcule o valor das expressões

a) 2³ x 5 + 3² = (R: 49)
b) 70⁰+ 0⁷⁰ - 1 = (R: 0 )
c) 3 x 7¹ - 4 x 5⁰ = (R: 17)
d) 3⁴- 2⁴: 8 – 3 x 4 = (R: 67)
e) 5² + 3 x 2 – 4 = (R: 27)
f) 5 x 2² + 3 – 8 = (R: 15)
g) 5² - 3 x 2² - 1 = (R: 12)
h) 16 : 2 – 1 + 7² = (R: 56)

4) calcule o valor das expressões:

a) 5² : ( 5 +1 -1)+ 4 x 2 = (R: 13)
b) (3 +1)² +2 x 5 - 10⁰ = (R: 25)
c) c) 3²: ( 4 – 1) + 3 x 2² = (R: 15)
d) 70 –[ 5 x (2² : 4) + 3²] = (R: 56)
e) ( 7 + 4) x ( 3² - 2³) = (R: 11)
f) 5² + 2³ - 2 x (3 + 9) = (R: 9)
g) 6² : 3² + 4 x 10 – 12 = (R: 32)
h) (7² - 1 ) : 3 + 2 x 5 = (R: 26)

5) calcule o valor das expressões:

a) 5 + 4²- 1 = (R: 20)
b) 3⁴ - 6 + 2³ = (R: 83)
c) 2⁵ - 3² + 1⁹ = (R: 24)
d) 10²- 3² + 5 = (R: 96)e) 11² - 3² + 5 = (R: 117)
f) 5 x 3² x 4 = (R: 180)
g) 5 x 2³ + 4² = (R: 56)
h) 5³ x 2² - 12 = (R: 488)

6) Calcule o valor das expressões:

a) ( 4 + 3)² - 1 = (R: 48)
b) ( 5 + 1 )² + 10 = (R: 46)
c) ( 9 – 7 )³ x 8 = (R: 64)
d) ( 7² - 5²) + ( 5² - 3 ) = (R: 46)e) 6² : 2 - 1⁴ x 5 = (R: 13)
f) 3² x 2³ + 2² x 5² = (R: 172)

7) Calcule o valor das expressões:

a) 4²- 10 + (2³ - 5) = (R: 9)b) 30 – (2 + 1)²+ 2³ = (R: 29)
c) 30 + [6² : ( 5 – 3) + 1 ] = (R: 49)
d) 20 – [6 – 4 x( 10 - 3²) + 1] = (R: 17)
e) 50 + [ 3³ : ( 1 + 2) + 4 x 3] = (R: 71)f) 100 –[ 5² : (10 – 5 ) + 2⁴ x 1 ] = (R: 79)
g) [ 4² + ( 5 – 3)³] : ( 9 – 7)³ = (R: 3 )h) 7²+ 2 x[(3 + 1)² - 4 x 1³] = (R: 73)
i) 25 + { 3³ : 9 +[ 3² x 5 – 3 x (2³- 5¹)]} = (R: 64)

8) Calcule as expressões:

a) ( 8 : 2) . 4 + {[(3² - 2³) . 2⁴ - 5⁰] . 4¹}= (R:76)
b) ( 3² - 2³) . 3³ - 2³ + 2² . 4² = ( R:83)
c) ( 2⁵ - 3³) . (2² - 2 ) = (R: 10)
d) [2 . (10 - 4² : 2) + 6²] : ( 2³ - 2²) = ( R:10)
e) (18 – 4 . 2) . 3 + 2⁴ . 3 - 3² . ( 5 – 2) = (R: 51)
f) 4² . [2⁴ : ( 10 – 2 + 8 ) ] + 2⁰ = (R: 17)
g) [( 4² + 2 . 3²) + ( 16 : 8)² - 35]² + 1¹⁰ - 10⁰ = (R : 9)
h) 13 + ( 10 – 8 + (7 – 4)) = (R: 18)
i) (10 . 4 + 18 – ( 2 . 3 +6)) = (R:46)
j) 7 . ( 74 – ( 4 + 7 . 10)) = (R: 0)
k) ( 19 : ( 5 + 3 . 8 – 10)) = (R : 1)
l) (( 2³ + 2⁴) . 3 -4) + 3² = (R: 77)
m) 3 + 2 . ((3²- 2⁰) + ( 5¹ - 2²)) + 1 = (R: 22)