Geometria Analítica

Ponto

O estudo do ponto na geometria analítica refere-se aos extremos de segmentos, vértices de polígonos ou condição de alinhamento.
No plano cartesiano pode-se representar, por exemplo, dois pontos A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B):

Distância entre dois pontos

Considerando os pontos A e B como na figura abaixo:


O segmento AB é a hipotenusa do triângulo ABC, o segmento AC vale x_B – x_A e o segmento BC vale y_B – y_A.

Pelo teorema de Pitágoras tem-se que a distância entre dois pontos A e B é dada por:
d_AB² = (x_B – x_A)² + (y_B – y_A)²
d_AB = 

Razão de um segmento

Dado um ponto P(x_P, y_P) entre um segmento AB.



O quociente entre os segmentos AP e PB é a razão "r" e é dada por:
r = AP / PB

Em relação a abscissa, AP é x_P – x_A e PB é x_B – x_P.
r = ( x_P – x_A ) / ( x_B – x_P )

Em relação a ordenada, AP é y_P – y_A e PB é y_B – y_P.
r = ( y_P – y_A ) / ( y_B – y_P )

As coordenadas do ponto P pode ser obtida por:
r = ( x_P – x_A ) / ( x_B – x_P )
r . ( x_B – x_P ) = x_P – x_A
r . x_B – r . x_P = x_P – x_A
r . x_B + x_A = x_P + r . x_P
r . x_B + x_A = x_P . ( 1 + r )
E, portanto:
x_P = ( x_A + r . x_B ) / ( 1 + r ) 

Da mesma maneira se obtém:
y_P = ( y_A + r . y_B ) / ( 1 + r ) 

Ponto médio

Se um ponto dividir um segmaento AB em duas partes de comprimentos iguais, tem-se a razão igual a 1, então:



O ponto médio de um segmento AB é M(x_M, y_M), cujas coordenadas são obtidas pela média aritmética dos seus extremos:
x_M = 
y_M = 

Alinhamento de três pontos

Dados os pontos A(x_A, y_A); B(x_B, y_B) e C(x_C, y_C), se a taxa de variação BC for igual a taxa de variação de AB eles são colineares.


m_AB = ( y_B – y_A ) / ( x_B – x_A )

m_BC = ( y_C – y_B ) / ( x_C – x_B )

Assim, se:
(y_C – y_B) / (x_C – x_B) = (y_B – y_A) / (x_B – x_A)

(y_C – y_B) . (x_B – x_A) = (y_B – y_A) . (x_C – x_B)

y_C . x_B – y_C . x_A – y_B . x_B + y_B . x_A = y_B . x_C – y_B . x_B – y_A . x_C + y_A . x_B

y_C . x_B – y_C . x_A – y_B . x_B + y_B . x_A – y_B . x_C + y_B . x_B + y_A . x_C – y_A . x_B = 0

y_C . x_B – y_C . x_A + y_B . x_A – y_B . x_C + y_A . x_C – y_A . x_B = 0

Assim, uma condição para que três pontos A, B e C estejam alinhados ( sejam colineares ) é dada por:
 = 0

Dados três pontos quaisquer, então, ou eles estão alinhados ou eles formam vértices de um triângulo.

Área de um triângulo

Conhecendo-se as coordenadas dos vértices de um triângulo, pode-se obter a área por:
S_{triânguloABC} = (1/2) . 

Mediana de um triângulo

Dado um triângulo ABC, chama-se mediana ao segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Um triângulo tem então três medianas: AM_BC, BM_AC e CM_AB.

Baricentro de um triângulo

O baricentro "G" de um triângulo ABC é o ponto de encontro das três medianas.
As coordenadas do baricentro são dadas pela média aritmética das coordenadas dos três vértices:
G(x_G, y_G), onde:
x_G = (x_A + x_B + x_C) / 3
y_G = (y_A + y_B + y_C) / 3

Classificação de um triângulo

Dados A(x_A, y_A); B(x_B, y_B) e C(x_C, y_C), como vértices de um triângulo.
Assim, as distâncias d_AB, d_BC e d_AC são os lados desse triângulo.

Em relação aos lados pode-se dizer que:
Se as distâncias acima forem todas diferentes, é um triângulo escaleno.
Se pelo menos duas delas forem iguais, é um triângulo isósceles.
Se as três distâncias forem iguais, é um triângulo equilátero.

Em relação aos ângulos pode-se dizer que:
Se a maior distância ao quadrado for menor que a soma das outras duas ao quadrado, é umtriângulo acutângulo.
Se a maior distância ao quadrado for igual a soma das outras duas ao quadrado, é umtriângulo retângulo.
Se a maior distância ao quadrado for maior que a soma das outras duas ao quadrado, é umtriângulo obtusângulo.

Reta

O estudo da reta na geometria analítica está relacionado a escrita das equações das retas bem como a posição entre ponto e reta e entre duas retas.

A equação da reta mais importante é a geral e quando um problema não diz que equação deseja então, deve-se escrever a equação geral:
r: ax + by + c = 0, com a e b reais e não nulos simultaneamente.

O coeficiente angular da reta na forma ax + by + c = 0 é dado por: m_r = – (a / b). 

Equações da reta

Da equação geral da reta ax + by + c = 0, obtem-se:

a equação reduzida da reta:
y = mx + k, onde "m" é o coeficiente angular da reta e "k" uma constante real qualquer.

a equação fundamental da reta:
y – y₀ = m (x – x₀), onde (x₀, y₀) é um ponto conhecido e "m" é o coeficiente angular da reta.

a equação segmentária da reta:
x / p + y / q = 1, onde "p" e "q" são os valores onde a reta intercepta os respectivos eixos x e y. 

Posição relativa entre ponto e reta

Um ponto está ou não em uma reta, caso esteja, diz-se que o ponto pertence a reta e isto é observado simplesmente substituindo as coordenadas do ponto na equação da reta:
se com a substituição a expressão for verdadeira então o ponto pertence, caso contrário, o ponto não pertence.

Exemplo:
O ponto (3, 4) não pertence a reta r: 2x – y + 3 = 0, pois:
2 . 3 – 4 + 3 = 0
6 + 3 – 4 = 0
5 = 0 ( que é falsa )

Posição relativa entre duas retas

As retas r: a₁x + b₁y + c₁ = 0 e s: a₂x + b₂y + c₂ = 0, podem ser: paralelas ou concorrentes.

Se duas retas "r" e "s" são paralelas ( // ) seus coeficientes angulares são iguais, isto é,
se r // s, então, m_r = m_s

Se acontecer de: a₁ / a₂ = b₁ / b₂ = c₁ / c₂ = k ( constante ), então as retas são ditas paralelas coincidentes.

Caso os coeficientes angulares não seja iguais as retas são ditas concorrentes ( × ), isto é,
r × s, então, m_r  m_s

Duas retas concorrentes são ditas perpendiculares ( ⊥ ) se o produto de seus coeficientes angulares for igual a –1.
se r ⊥ s, então, m_r . m_s = –1.

Distância entre ponto e reta

Dada a reta r: ax + by + c = 0 e o ponto P(x₀, y₀), então a distância do ponto "P" à reta "r" é dada por:
d_Pr = 

Circunferência

O estudo analítico da circunferência consiste em escrever e interpretar a equação com o conhecimento do centro C(h, k) e o raio R.

Como qualquer ponto da circunferência é equidistante do centro, então dado um ponto P(x, y), a distância do ponto P para o centro é o raio.
Daí, tem-se:
: (x – h)² + (y – k)² = R²    que é a equação reduzida da circunferência.

E desenvolvendo esta equação tem-se:
: x² + y² – 2hx – 2ky + h² + k² – R² = 0    que é a equação geral da circunferência.

Posição relativa entre ponto e circunferência

Dado um ponto "P" e uma circunferência  (lambda), de centro "C" e raio "R", então:
Se a distância entre o ponto e o centro da circunferência for menor que o raio da circunferência:
Se   d_PC < R    então, o ponto é interior a circunferência.

Se a distância entre o ponto e o centro da circunferência for maior que o raio da circunferência:
Se   d_PC > R    então, o ponto é exterior a circunferência.

Se a distância entre o ponto e o centro da circunferência for igual que o raio da circunferência:
Se   d_PC = R    então, o ponto pertence a circunferência.

Posição relativa entre reta e circunferência

Dada uma reta "r" e uma circunferência , de centro "C" e raio "R", então:
Se a distância entre a reta e o centro da circunferência for menor que o raio da circunferência:
Se   d_Cr < R    então, a reta é secante a circunferência.

Se a distância entre a reta e o centro da circunferência for maior que o raio da circunferência:
Se   d_Cr > R    então, a reta é exterior a circunferência.

Se a distância entre a reta e o centro da circunferência for igual que o raio da circunferência:
Se   d_Cr = R    então, a reta é tangente a circunferência.

Posição relativa entre duas circunferências

Dadas as circunferências ₁ de centro C₁ e raio R₁ e ₂ de centro C₂ e raio R₂, então:
Se a distância entre os centros das circunferências for maior que a soma dos raios:
Se   d_C1C2 > R₁ + R₂    então, ₁ e ₂ são externas.

Se a distância entre os centros das circunferências for igual a soma dos raios:
Se   d_C1C2 = R₁ + R₂    então, ₁ e ₂ são tangentes externas.

Se a distância entre os centros das circunferências for maior que o módulo da diferença dos raios:
Se   | R₁ – R₂ | < d_C1C2 < R₁ + R₂    então, ₁ e ₂ são secantes.

Se a distância entre os centros das circunferências for igual ao módulo da diferença dos raios:
Se   0 < d_C1C2 = | R₁ – R₂ |    então, ₁ e ₂ são tangentes internas.

Se a distância entre os centros das circunferências for menor que o módulo da diferença dos raios:
Se   0 < d_C1C2 < | R₁ – R₂ |    então:
Se    R₁ < R₂     então, ₁ é interna a ₂.
Se    R₁ > R₂     então, ₂ é interna a ₁.

Se a distância entre os centros for zero:
Se   d_C1C2 = 0    então:
Se   R₁  R₂, então ₁ e ₂ são concêntricas.
Se   R₁ = R₂, então ₁ e ₂ são concêntricas coincidentes.

Cônicas

Chama-se cônicas as curvas originadas de cortes de cones, dependendo do corte tem-se:

               
  elipse                              hipérbole                         parábola

Elipse

Chama-se elipse a curva formada por todos os pontos em que a soma da distância a dois pontos fixos (focos) é sempre constante (2a).
d_PF1 + d_PF2 = 2a.
Caso esses pontos da reta se encontrassem a curva seria uma circunferência.

Elipse com eixo maior horizontal:

F₁  e  F₂  são os focos.
A₁,  A₂,  B₁  e  B₂  são os vértices.

O segmento A₁A₂  é o eixo maior = 2a.
O segmento B₁B₂  é o eixo menor = 2b.
O segmento F₁F₂  é a distância focal = 2c.

B₁F₁ = B₁F₂ = B₂F₁ = B₂F₂ = a.

Numa elipse qualquer sempre vale a relação:
a² = b² + c².

Se o eixo principal (eixo maior) estiver na horizontal:
O centro da elipse:  C(h, k).
F₁(h – c, k)  e  F₂(h + c, k).
A₁(h – a, k)  e  A₂(h + a, k).
B₁(h, k + b)  e  B₂(h, k – b)

A equação reduzida da elipse de centro C(h, k) e eixo principal (eixo maior) na horizontal é dada por:

Se o eixo principal (eixo maior) estiver na vertical:
O centro da elipse:  C(h, k).
F₁(h, k – c)  e  F₂(h, k + c).
A₁(h, k – a)  e  A₂(h, k + a).
B₁(h + b, k)  e  B₂(h – b, k)

A equação reduzida da elipse de centro C(h, k) e eixo principal (eixo maior) na vertical é dada por:

Hipérbole

Chama-se hipérbole a curva formada por todos os pontos em que o módulo da diferença da distância dois pontos fixos (focos) é sempre constante (2a).
| d_PF1 – d_PF2 | = 2a.

Hipérbole com eixo principal (eixo real) na horizontal:
 

As retas transversais tracejadas na figura acima são chamadas de assíntotas e os seus coeficientes angulares são determinados por:
m = ± b / a ;      se o eixo real estiver na horizontal e;
m = ± a / b ;      se o eixo real estiver na vertical.

V₁, V₂, B₁ e B₂ são os vértices.
F₁ e F₂ são os focos.
F₁F₂ é a distância focal = 2c.
V₁V₂ é o eixo real = 2a.
B₁B₂ é o eixo imaginário = 2b

Se o eixo principal estiver na horizontal:
Centro: C(h, k)
F₁(h – c, k) e F₂(h + c, k)
V₁(h – a, k) e V₂(h + a, k)
B₁(h, k + b) e B₂(h, k – b)

Numa hipérbole sempre vale a relação:
c² = a² + b². 

A equação reduzida da hipérbole de centro C(h, k) e eixo principal (eixo real) na horizontal é dada por:

Se o eixo principal estiver na vertical:
Centro: C(h, k)
F₁(h, k – c) e F₂(h, k + c)
V₁(h, k – a) e V₂(h, k + a)
B₁(h + b, k) e B₂(h – b, k)

A equação reduzida da hipérbole de centro C(h, k) e eixo principal (eixo real) na vertical é dada por:

Excentricidade

Excentricidade é a razão entre a distância de um ponto qualquer da curva ao foco e a distância deste mesmo ponto da curva a uma reta fixa.
Representada pelo número "e " que é dado por:
e = c / a.

No caso da elipse e  < 1,  pois  a > c.
No caso da hipérbole e  > 1,  pois  a < c.
No caso da parábola e  = 1.

Parábola

Chama-se parábola a curva formada por todos os pontos da curva equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta diretriz ("d").
d_PF = d_Pd.

Parábola com eixo de simetria na horizontal:
 

O vértice da parábola  é V(h, k)
O segmento  VF = p

O eixo principal da parábola é o eixo de simetria e é o que contém o foco F.

Parábola está com o eixo de simetria na horizontal:

Com a concavidade para direita:
o foco é  F(h + p, k)
d = h – p (reta diretriz)

Com a concavidade para a esquerda:
F(h – p, k)
d = h + p (reta diretriz)

A equação da parábola com eixo de simetria na horizontal é dada por:
(y – k)² = 4p(x – h)      se a concavidade estiver para a direita;
(y – k)² = – 4p(x – h)      se a concavidade estiver para a esquerda. 

Parábola está com o eixo de simetria na vertical:

Com a concavidade para cima:
o foco é  F(h, k + p)
d = k – p (reta diretriz)

Com a concavidade para a baixo:
F(h, k – p)
d = k + p (reta diretriz)

A equação da parábola com eixo de simetria na vertical é dada por:
(x – h)² = 4p(y – k)      se a concavidade estiver para cima;
(x – h)² = – 4p(y – k)      se a concavidade estiver para baixo. 

Equação geral das cônicas

Uma equação do tipo A x² + B xy + C y² + D x + E y + F = 0, onde A, B, C, D, E, F são reais e A, B e C não nulos simultaneamente, pode ser:
Uma elipse se:   B² – 4 . A . C < 0
Uma parábola se:   B² – 4 . A . C = 0
Uma hipérbole se:   B² – 4 . A . C > 0

Exercícios Resolvidos

R01 — Sendo A(1, 2); B(3, 5) e C(6, 7) vértices de um triângulo, encontre o baricentro e classifique esse triângulo.

Para encontrar o baricentro, se obtém x_G = (1 + 3 + 6) / 3 = 10/3 e y_G = (2 + 5 + 7) / 3 = 14/3, daí:
G(10/3, 14/3).

Para classificar o triângulo, encontra-se o comprimento dos lados:
d_AB =  = , então d_AB = 
d_BC =  = , então d_BC = 
d_AC =  = , então d_AC = 

Como o triângulo tem dois lados de medidas iguais d_AB = d_BC então, em relação aos lados ele é isósceles.

Em relação aos ângulos:
pega-se o maior lado e eleva ao quadrado d_AC² = 50
E a soma dos outros lados ao quadrado:
d_AB² + d_BC² = 13 + 13 = 26.

Como o maior lado ao quadrado é maior que a soma dos quadrados dos outros dois, o triângulo é obtusângulo.

R02 — Considerando os vértices de um triângulo ABC, onde A(1, 2); B(3, 5) e C(6, 7) encontre a medida da mediana BM.

Para obter a medida de uma mediana é necessário encontrar o ponto médio do lado oposto ao vértice que se tem, neste caso, o vértice B.
x_M = (x_A + x_C) / 2 = (1 + 6) / 2 = 7 / 2.
y_M = (y_A + y_C) / 2 = (2 + 7) / 2 = 9 / 2.
Logo, o ponto médio de AC é M_AC(7/2, 9/2).
A distância entre o vértice B e o ponto médio AC é:
d_BM =  =  = , então:
d_BM =  / 2.

R03 — Para que valor de "k" a área do triângulo de vértices A(k, 2); B(3, 5) e C(7, 7) é 6?

A área de um triângulo pode ser calculado pela metade do módulo do determinante formado pelas coordenadas dos três vértices.
S = (1/2) . 

Pela regra de Sarrus:


5k + 14 + 21 – 35 – 7k – 6 = – 2k – 6

6 = (1/2) . (–2k – 6)
12 = –2k – 6
2k = –6 – 12
k = –9.

R04 — Um ponto divide o segmento orientado MN na razão MP/PN = 2. Sendo P(3, 0) e M(–3, 2) então N é o ponto de coordenadas:
a) (1, 4)                 b) (6, –1)                 c) (3, 2)                 d) (–1, 6)                 e) (2, 3)

Como x_P = ( x_M + r . x_N ) / ( 1 + r ) então:
3 = (– 3 + 2 . x_N) / (1 + 2)
3 . 3 = – 3 + 2 . x_N
9 + 3 = 2 . x_N
x_N = 6.

Como y_P = ( y_M + r . y_N ) / ( 1 + r ) então:
0 = (2 + 2 . y_N) / (1 + 2)
0 . 3 = 2 + 2 . y_N
– 2 = 2 . y_N
y_N = – 1.

N(6, – 1)

Alternativa "b".

R05 — Escreva a equação da reta "r" que passa pelo ponto A(1, 2) e tem coeficiente angular m = 2/3.

Como se conhece um ponto e o coeficiente angular escreve-se a equação fundamental da reta:
y – 2 = 2/3 (x – 1) e a partir dela escreve-se a equação geral:
3y – 6 = 2(x – 1)
3y – 6 = 2x – 2 daí, a reta pedida é:
r: 2x – 3y + 4 = 0.

R06 — Encontre a distância entre as retas r: 3x – 4y + 2 = 0 e s: 6x – 8y = 3.

Os coeficientes angulares são, m_r = – 3/(–4) = 3/4 e m_s = – 6/(–8) = 3/4 e portanto, r // s (r e s são paralelas).

Para encontrar a distância entre as duas retas, obtém-se um ponto em uma delas e calcula-se a distância desse ponto para a outra reta.
Assim, considerando na reta "r", por exemplo, x = 2 tem-se:
3 . 2 – 4y + 2 = 0
8 = 4y
y = 2.

Então, o ponto P(2, 2) está na reta "r" e a reta s: 6x – 8y – 3 = 0, daí:
d_Ps = | 6 . 2 – 8 . 2 – 3 | / 
d_Ps = | 12 – 19 | / 
d_Ps = 7/10.

R07 — Encontre o ponto de intersecção entre as retas r: x + y – 2 = 0 e s: x – y – 4 = 0.

O ponto de encontro ou de intersecção entre duas retas é o ponto que pertence as duas retas, basta resolver o sistema formado pelas duas equações.
Assim, resolvendo por comparação tem-se:   y = 2 – x, na primeira e,   y = x – 4, na segunda.
2 – x = x – 4
6 = 2x   e, daí,     x = 3
Como y = x – 4,   então,     y = –1.
Logo, o ponto (3, –1) é o ponto de encontro.

R08 — Determine o valor de "k" para que as retas r: 3x + ky – 5 = 0 e s: 2x – 3y + 2 = 0, sejam:
a) paralelas                                  b) perpendiculares

Encontrando os coeficientes angulares das retas:
m_r = – 3 / k     e     m_s = – 2 / (– 3) = 2/3

a) Para as retas serem paralelas m_r = m_s:
– 3 / k = 2 / 3
– 3 . 3 = 2 . k
k = – 9/2

b) Para as retas serem perpendiculares m_r . m_s = –1
(– 3 / k) . (2 / 3) = – 1
– 6 / 3k = – 1
– 6 = – 3k
k = 2.

R09 — Escreva a equação da circunferência cujo extremos do diâmetro é dado pelos pontos A(2, –1) e B(6, 3).

Como os pontos A e B são os extremos do diâmetro, o ponto médio entre eles é o centro da circunferência.
Encontrando então o centro tem-se:
h = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4, e
k = (–1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1
daí, o centro é o ponto: C(4, 1).

A distância entre o centro e qualquer um dos pontos A ou B é o raio.
R = d_CB =  =  = , então:

Então a equação é dada por:
x² + y² – 2 . 4 . x – 2 . 1 . y + 4² + 1² – ()² = 0
x² + y² – 8x – 2y + 17 – 8 = 0
x² + y² – 8x – 2y + 9 = 0 

R10 — Encontre o centro e o raio da circunferência de equação x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0.

Basta comparar a equação dada com a equação geral, assim:
x² + y² – 2 . h . x – 2 . k . y + h² + k² – R² = 0
x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0.

– 2 . h = – 2 daí, h = 1;
– 2 . k = – 4 daí, k = 2,
e, portanto, o centro é o ponto C(1, 2).

h² + k² – R² = 1,
E como h = 1 e k = 2 tem-se:
1² + 2² – R² = 1
1 + 4 – 1 = R², e daí,
4 = R²
e, portanto, R = 2.

R11 — Verifique se o ponto P(1, 3) pertence a circunferência de equação: (x – 2)² + y² = 9.

Pode-se encontrar o centro e o raio da circunferência e depois a distância entre o ponto o centro para comparar com o raio.

Ou pode simplesmente substituir as coordenadas do ponto na equação da circunferência, assim:
(1 – 2)² + 3² = 9
1 + 9 = 9
10 = 9 ( o que é falso )

Logo, o ponto não pertence a circunferência.

R12 — Verifique a posição entre a reta r: 2x + 3y – 4 = 0 e a circunferência de equação: (x – 2)² + (y + 1)² = 4.

Encontrando o centro e o raio da circunferência:
h = 2 e k = – 1, daí, o centro é C(2, – 1).

R₂ = 4. daí, o raio é R = 2.

A distância entre o centro C(2, – 1) e a reta r: 2x + 3y – 4 = 0:
d_Cr = | 2 . 2 + 3 . (– 1) – 4 | / 
d_Cr = | 4 – 3 – 4 | / 
d_Cr = 3 / 
d_Cr = 3 .  / 13  0,8

Logo, com d_Cr < R, a reta é secante a circunferência.

R13 — Verifique a posição entre as circunferências ₁: x² + y² – 4x + 2y + 1 = 0 e ₂: x² + y²– 6x – 4y – 3 = 0.

Encontrando o centro e o raio de cada uma das circunferências:
x² + y² – 4x + 2y + 1 = 0
– 2h = – 4, daí, h = 2.
– 2k = 2, daí, k = – 1.
h² + k² – R² = 1
2² + (– 1)² – 1 = R²
4 + 1 – 1 = R²
4 = R²
R = 2
Daí, C₁(2, – 1) e R₁ = 2.

x² + y² – 6x – 4y – 3 = 0
– 2h = – 6, daí, h = 3.
– 2k = – 4, daí, k = 2.
h² + k² – R² = – 3
3² + 2² + 3 = R²
9 + 4 + 3 = R²
16 = R²
R = 4
Daí, C₂(3, 2) e R₂ = 4.

d_C1C2 =  =   3,2.

| 2 – 4 | < d_C1C2 < 2 + 4
2 < d_C1C2 < 6

As circunferências são secantes.

R14 — Determine os pontos comuns entre as circunferências ₁: x² + y² – 2x – 4y + 4 = 0 e ₂: x² + y² – 6x – 2y + 6 = 0.

Resolvendo o sistema:
   (– 1 . E1)    ~    

Somando as equações tem-se:
– 4x + 2y + 2 = 0      ( dividindo por 2 )
– 2x + y + 1 = 0     ou     y = 2x – 1

Substituindo y = 2x – 1, por exemplo, na 1ª equação tem-se;
x² + (2x – 1)² – 2x – 4 . (2x – 1) + 4 = 0
x² + 4x² – 2 . 2x . 1 + 1² – 2x – 8x + 4 + 4 = 0
5x² – 14x + 1 + 8 = 0
5x² – 14x + 9 = 0     ( equação do 2° grau )

 = (– 14)² – 4. 5 . 9 = 196 – 180 = 16

x' = (14 + 4) / 10 = 18/10 = 9/5 e,
x'' = (14 – 4) / 10 = 10/10 = 1.

Para x = 9/5 tem-se:
y = 2 . (9/5) – 1 = 18/5 – 5/5 = 13/5, formando o ponto (9/5, 13/5)

Para x = 1 tem-se:
y = 2 . 1 – 1 = 2 – 1 = 1, formando o ponto (1, 1)

Logo, os pontos comuns são (9/5, 13/5)    e    (1, 1).

R15 — Determine o eixo menor, o centro, os vértices e os focos da cônica de equação:   x² + 4y² + 4x – 24y + 24 = 0.

Organizando e completando os quadrados tem-se:
x² + 4x + 4 – 4 + 4 . [ y² – 6y + 9 – 9 ] + 24 = 0
(x + 2)² – 4 + 4 . [ (y – 3)² – 9 ] + 24 = 0
(x + 2)² + 4 . (y – 3)² – 4 – 4 . 9 + 24 = 0
(x + 2)² + 4 . (y – 3)² – 16 = 0
(x + 2)² + 4 . (y – 3)² = 16.
Dividindo ambos os membros por 16 tem-se:
(x + 2)² / 16 + (y – 3)² / 4 = 1.

Pela equação, trata-se de uma elipse.
O maior valor do denominador que é 16 está sob a incógnita x ( o eixo maior está na horizontal ) então:
a² = 16, daí a = 4.
b² = 4, então b = 2.

a² = b² + c²
c² = 16 – 4
c² = 12
c = 2

O centro é C(h, k)
Como x – h = x + 2 então h = – 2
Como y – k = y – 3 então k = 3
logo,   C(– 2, 3).

O eixo menor é 2b então o segmento B₁B₂ = 2 . 2 = 4.

Os vértices são:
A₁(– 2 – 4, – 3) = (– 6, – 3)   e   A₂(– 2 + 4, – 3) = (2, – 3)
B₁(– 2, – 3 + 2) = (– 2, – 1)   e   B₂(– 2, – 3 – 2) = (– 2, – 5).

Os focos são:
F₁(– 2 – 2, – 3)   e    F₂(– 2 + 2, – 3).

R16 — Dada à hipérbole de equação 5x² – 4y² – 20x – 8y – 4 = 0, determine os focos e as equações das assíntotas.

Escrevendo a hipérbole da maneira convencional tem-se:
5 [ x² – 4x + 4 – 4 ] – 4 [ y² + 2y + 1 ] = 0
5 [ x² – 4x + 4 ] – 4 [ y² + 2y + 1 ] = 20
5 (x – 2)² – 4 (y + 1)² = 20
Dividindo ambos os membros por 20:
(x – 2)² / 4 – (y + 1)² / 5 = 1.

a² = 4   e   b² = 5
a = 2   e   b = .

Então o centro é C(2, – 1).
Como a incógnita x vem na parte positiva o eixo real está na horizontal:

Como na hipérbole c² = a² + b² c² = 4 + 5 = 9   e daí,   c = 3.

Os focos são F₁(2 – 3, – 1) = (– 1, – 1)   e   F₂(2 + 3, – 1) = (5, – 1).

As assíntotas são retas que passam no centro da hipérbole e tem coeficiente angular m = b / a   e   m = – b / a, logo tem-se:
r₁ : y – y₀ = m(x – x₀) onde
y₀ = k = – 1 e x₀ = h = 2   e   m = – /2
logo, 2(y + 1) = –  (x – 2)

r₂ : y – y₀ = m(x – x₀) é dada por:
2(y + 1) =  (x – 2).

R17 — Obtenha a equação da parábola de foco V(– 1, 0), eixo de simetria vertical e que passa por P(1, – 2).

Como V(h, k) tem-se:
h = – 1 e k = 0.

Como o eixo de simetria é vertical a equação é:
(x – h)² = 4p(y – k)
(x – (– 1))² = 4p(y – 0)
(x + 1)² = 4py

Como P(1, – 2) pertence a parábola, tem-se:
(1 + 1)² = 4p . (– 2)
2² = –8p
4 = –8p
p = – 1/2

A equação é:
(x + 1)² = 4 . (– 1/2) y
(x + 1)² = – 2y

Exercícios Propostos

P01 — Obtenha o valor de "m" para que a distância do ponto A(m, 1) ao ponto B(4, 0) seja de 2 unidades.

P02 — Considere o triângulo ABC, onde A(–1, 1); B(5, 0) e C(1, 2). O comprimento da mediana relativa ao vértice A é:
a) 1                  b) 2                  c) 3                  d) 4                  e) n.d.a

P03 — Obtenha a distância da origem do sistema cartesiano ao ponto médio do segmento de extremos (–2, –7) e (–4, 1).

P04 — Sendo A(1,2); B(3,5) e C(6,7) vértices de um triângulo, então esse triângulo é:
a) equilátero
b) isósceles e retângulo
c) isósceles e não-retângulo
d) retângulo e não-isósceles
e) n.d.a

P05 — O valor de "k" para que os pontos (3, 4); (1, 2) e (k, –1) sejam colineares é:
a) –1                  b) –2                  c) –3                  d) 3                  e) 4

P06 — Sendo A(1, 2); B(3, 5) e C(–2, 4) vértices de um triângulo, obtenha a medida da mediana CM.

P07 — Determine valor de "k" para que os pontos (2, 3); (1, 2) e (k, –1) formem vértices de um triângulo.

P08 — Considere o triângulo ABC de vértices: A(–1, 1); B(5, 0) e C(1, 2). Determine o comprimento da mediana relativa ao vértice B.

P09 — Classifique o triângulo ABC, de vértices A(–1, 1); B(5, 0) e C(1, 2).

P10 — Sendo A(1, 2); B(3, 5) e C(6, 7) vértices de um triângulo, calcule a medida da mediana BM.

P11 — Qual o valor de "k" para que o ponto A(k, 2) diste 3 unidades de B(–1, 3)?

P12 — Sendo A(–3/2; –2/3) e M(3, –2/5) o ponto médio do segmento AB, determine o ponto B.

P13 — Calcule a área do triângulo de vértices (1, 1); (4, 1) e (1, –3).

P14 — O valor de "b" para que o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(4, 2) e B(2b + 1, 4b) seja –2 é:
a) –1                  b) 0                  c) 1                  d) 2                  c) n.d.a

P15 — A equação geral da reta que passa pelos pontos (2, 3) e (1, 5) é:
a) – 2x – y + 7 = 0                  b) – 2x + y – 7 = 0                  c) 2x – y – 7 = 0                  d) 2x + y – 7 = 0

P16 — Dada a equação da reta r: x + y – 1 = 0 e as afirmações:
  I – o ponto (1, 1) pertence a r
 II – a reta passa na origem do sistema cartesiano
III – o coeficiente angular de r é –1
IV – r intercepta a reta s: x + y – 2 = 0 no ponto P(1, 2)

a) apenas I é verdadeira              b) apenas III é verdadeira              c) nenhuma é falsa              d) apenas I é falsa

P17 — O coeficiente angular de uma reta perpendicular à reta y = (1/2)x + 2 é:
a) –2                  b) 0                  c) 2                  d) 4                  e) n.d.a

P18 — Considere as retas r: y = 2x – 3 e s: 3x – y – 2 = 0. É verdadeira a afirmação:
a) r e s são paralelas
b) r é perpendicular a s
c) r e s são coincidentes
d) r e s se interceptam na origem
e) n.d.a

P19 — Determine o valor de "k" para que a reta r: x + y – 3 = 0 seja paralela a reta s: kx – 3y – 4 = 0.

P20 — Escreva a equação da reta "r" que passa pelo ponto P(1, – 2) e é perpendicular a reta s: 3x – 4y – 2 = 0.

P21 — O centro e o raio da circunferência de equação x² + y² + 4x – 2y = 3 é:
a) (2, –1) e 
b) (2, –1) e 
c) (–2, 1) e 
d) (–2, 1) e 
e) n.d.a

P22 — A equação da circunferência de centro C(2, 3) e que passa pelo ponto P(4, 5) é:
a) x² + y² = 9
b) x² + y² + 4x + 6y – 5 = 0
c) x² + y² – 4x – 6y + 4 = 0
d) x² + y² – 4x – 6y + 5 = 0
e) n.d.a

P23 — A circunferência de centro (– 1, – 2) e raio 3 tem por equação:
a) x² + y² – 2x – 4y = 4
b) x² + y² + 2x + 4y – 4 = 0
c) x² + y² + 2x + 4y + 4 = 0
d) x² + y² – 2x + 4y – 4 = 0
e) x² + y² + 2x + 4y – 9 = 0

P24 — O centro e o raio da circunferência de equação (x – 2)² + (y + 1)² = 2 é:
a) (2, 1) e 2                b) (2, –1) e 2                c) (–2, –1) e 2                d) (–2, 1) e 2                e) n.d.a

P25 — Obtenha os valores de "k" para que o ponto P(k, 2) pertença a circunferência de equação x² + y² + 2x – 4y – 1 = 0.

P26 — (UFRS) O valor de "k" que transforma a equação x² + y² – 8x – 10y + k = 0 na equação de uma circunferência de raio 7 é:
a) – 4                  b) – 8                  c) 5                  d) 7                  e) – 5

P27 — Verifique a posição entre a reta r: x – y – 1 = 0 e a circunferência : x² + y² – 8x – 4y + 2 = 0.

P28 — Os pontos de encontro entre a reta r: 2x – y – 1 = 0 e a circunferência : x² + y² – 2x – 2y – 2 = 0.

P29 — Qual a posição relativa entre as circunferências ₁: x² + y² = 25 e ₂: x² + y² – 4x – 2y – 20 = 0?

P30 — Quais os pontos em comum entre as circunferências ₁: (x + 2)² + (y + 3)² = 25 e ₂: x² + y² – 2x – 2y – 7 = 0?

P31 — Determine a equação reduzida da elipse sabendo que um dos focos é (– 4, 0) e eixo maior medindo 10.

P32 — Determine o centro, os focos, e os vértices da elipse dada (x – 2)²/9 + (y + 4)/4 = 1.

P33 — Encontre equação reduzida da hipérbole sendo (0, 6) um dos focos e eixo imaginário medindo 10.

P34 — Determine a equação reduzida da hipérbole com eixo real 8, e focos (–6, 0) e (6, 0).

P35 — Qual a equação da parábola de foco no ponto F(8, 5) e vértice no ponto V(2, 5)?

P36 — Determine a equação da parábola cuja diretriz é a reta y = –3 e cujo foco é o ponto F(4, 5).

fonte:hpdemat.apphb.com