Seqüências ou sucessões
Uma seqüência ou sucessão é um conjunto finito ou infinito de elementos de qualquer natureza organizados ou escritos numa ordem bem determinada. Uma seqüência genérica pode ser representada por
(a1; a 2; a 3; a 4; ...; an; ...), com n Î N*.
Três termos consecutivos de uma seqüência podem ser representados por:
an - 1, an, an + 1, em que an - 1 é o antecessor de an e an + 1 é o sucessor
de an.
Uma seqüência numérica pode ser definida por uma fórmula, que permite calcular qualquer um de seus termos. Essa fórmula recebe o nome de lei de formação.
1. O primeiro termo da seqüência dada pela lei de formação an = 3n - 2, n Î N* é a1 = 1.
Obtenha o valor dos próximos cinco elementos.
a2 = _____________
a3 = _____________
a4 = _____________
a5 = _____________
a6 = _____________
2. Determine o centésimo termo da seqüência dada pela lei an = , n Î N*.
3. 3 Escreva os três próximos termos da seqüência abaixo.
(6; 18; 54; 162; 486; ______; _____; _____)
Escreva uma lei de formação para essa seqüência. Dica: Fatore os termos da seqüência.
4. Verifique se o número 512 pertence à seqüência definida por an = 2n - 1, n Î N*. Caso pertença, qual é a posição desse número na seqüência?
Progressão aritmética (PA)
Progressão aritmética (PA) é toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma de seu antecessor com um número constante r, denominado razão da PA. Assim: an = an - 1 + r, (n ³ 2).
5. Temos três tipos de PA, conforme a razão. Se r > 0, então a PA é crescente.
Se r < 0, então a PA é ____________________________________________________ Se r = 0, então a PA é ____________________________________________________ 6. Indique que seqüências são PA, escreva o tipo e determine a razão. a) (- 4; 1; 6; 11; 16; 21) b) (13; 9; 5; 1; -3; -7; -11; -15) c) (1; 2; 3; 4; 8) d) (-1; -3; -6; -9) e) (-7; -7; -7; -7; -7) 7. Considere: "Numa PA, cada termo, a partir do segundo, é igual à média aritmética entre o termo antecedente e o conseqüente da PA". Assim, considerando três termos consecutivos a, b, c, temos que b = . Agora, determine o valor de x, sendo que os números x2, (x + 2)2 e (x + 3)2 formam, nessa ordem, uma PA. 8. Na PA de 52 termos (a1; a2; a3; ...; a51; a52), identifique quais desses pares de termos são eqüidistantes dos extremos: a) a8 e a32 b) a11 e a42 c) a20 e a37 Termo geral de uma PA O termo geral da PA é an = a1 + (n-1) × r e indica que, para obter um termo de posição n de uma PA, basta somarmos (n - 1) vezes a razão ao primeiro termo. Portanto, podemos dizer, por exemplo, que a8 = a1 + 7 × r ou a12 = a1 + 11 × r. 9. Numa PA, a10 = 130 e a19 = 220. Calcule o quarto termo dessa PA. Veja que podemos escrever a10 e a19 em função do primeiro termo a1 e da razão r. a10 = 130 Þ a1 + 9r = 130 ´ (-2) a19 = 220 Þ a1 + 18r = 220 Resolva o sistema para encontrar a1 e r e depois calcule a4. 10. Numa PA a2 + a6 = 20 e a4 + a9 = 35. Escreva a PA. 11. Classifique em verdadeiras (V) ou falsas (F) as sentenças. a) Numa PA de razão 5 e primeiro termo 4, o termo igual a 44 ocupa a 9ª posição. b) Sabendo-se que a1 = -5, an = 16 e r = 3, então n = 8. c) Numa PA de 37 termos, o primeiro é a1 = 1 503 e o último a37 = 2 077. Então, o termo central é a19 = 3 580. d) Interpolando - ou seja, acrescentando - k meios aritméticos entre 12 e 34, obtém-se uma PA de razão . Portanto, k = 41. Soma dos termos de uma PA finita A soma dos termos de uma PA finita é calculada pela fórmula. Sn = 12. Verifique que a soma dos 30 primeiros termos da PA (2; 5; ...) é S30 = 1 365. 13. Hoje um atleta nada 500 metros e, nos próximos dias, deverá nadar uma mesma distância a mais do que nadou no dia anterior. No 15º dia, ele quer chegar a nadar 3 300 metros. Determine a distância que ele deverá nadar a mais por dia e a distância que deverá nadar no 10º dia. 14. Num salão há 1 100 pessoas. Se todas resolverem se cumprimentar, quantos cumprimentos serão trocados? Dica: Numere as pessoas de 1 a 1 100 e observe que a primeira pessoa trocará 1 099 cumprimentos; a segunda, 1 098 novos cumprimentos, pois já foi contado quem trocou cumprimento com a primeira pessoa; a terceira, 1 097 novos cumprimentos; assim, a pessoa número 1 099 trocará apenas 1 novo cumprimento, e a pessoa de número 1 100 não terá cumprimentos novos. O total de cumprimentos trocados será a soma dos termos da PA (1 099, 1 098, 1 097, ..., 1), que tem 1 099 termos. Progressão geométrica (PG) Progressão geométrica (PG) é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual a seu antecessor multiplicado por um número constante q denominado razão da PG Assim: an = q × an - 1 (n ³ 2). As PG são classificadas de acordo com os valores do primeiro termo a1 e da razão q: a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1 Þ PG crescente a1 < 0 e q >1 ou a1 > 0 e 0 < q < 1 Þ PG decrescente " a1 ¹ 0 e q < 0 Þ PG alternante " a1 e q = 1 Þ PG constante ou estacionária 15. Identifique as PG dentre as seqüências abaixo e determine a razão quando possível: a) b) (0,2; -2,8; 8,4; -25,2) c) (0,7; -1,4; 2,8; -5,6) d) (2; 4; 6; 8; 10; ...) 16. Classifique as PG abaixo em crescente, decrescente, alternante ou constante. Justifique sua resposta. a) (1, 3, 9, 27, 81,...) b) (- 40, -20, - 10, -5, ...) c) (3, 3, 3, 3, 3) d) (2, - 4, 8, - 16, 32, - 64) e) 17. Numa PG finita, o produto dos extremos é igual ao produto dos termos eqüidistantes dos extremos. Escreva uma PG e verifique essa propriedade. 18. Numa PG, cada termo, a partir do segundo, é média geométrica entre o termo antecedente e o conseqüente da seqüência. Se considerarmos três termos consecutivos de uma PG, temos: ap - 1, ap, ap + 1 Þ (ap)2 = ap - 1 × ap + 1 Escreva uma PG e verifique essa propriedade. Termo geral de uma PG O termo geral de uma PG é dado por an = a1 × qn - 1 e indica que, para obter um termo de posição n de uma PG, basta multiplicarmos o primeiro termo a1 pela razão q elevada a n - 1. Dessa forma, dizemos, por exemplo, que a7 = a1 × q6 ou a12 = a1 × q11. 19. Numa PG, o segundo termo é 8 e o quinto é 512. Determine o oitavo termo dessa PG. Dica: Escreva a2 e a5 em função de a1 e de q. 20. Complete a seqüência de modo a termos uma PG decrescente. (____; ____; ____; ____; ____; ____; ____; ) Soma dos termos de uma PG finita e de uma PG infinita Podemos calcular a soma de determinados termos de uma PG usando a fórmula: (q ¹ 1) Se precisamos calcular a soma dos infinitos termos de uma PG em que -1 < q < 1, temos: (q ¹ 1). 21. Calcule a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12,...). 22. Calcule a soma dos infinitos termos da PG (45, 15, 5,...). 23. Escreva se a proposição é verdadeira (V) ou falsa (F). a) Interpolando quatro meios geométricos entre o número x e o número 2, nessa ordem, obtém-se uma PG cuja razão é igual a . Portanto, x = 64. b) Seja a seqüência (2, 2x, 4x + 6) uma PG crescente. Logo, o valor de x e a razão da progressão são, respectivamente, 3 e 4. c) A seqüência (x, x - 1, x + 2,...) é uma PG. O quarto termo é o número -. d) A soma dos trinta primeiros termos da PG (2, -2, 2, -2, ...) é S30 = 0. 24. Interpole quatro meios geométricos entre 1 e 243. Respostas 1 a2 = 4, a3 = 7, a4 = 10, a5 = 13, a6 = 16 2 3 (6; 18; 54; 162; 486; 1 458; 4 374; 13 122); lei de formação: an = 2 × 3n, n Î N* 4 O número 512 pertence à seqüência e ocupa a 10ª posição (a10 = 512). 5 Se r < 0, então a PA é decrescente. Se r = 0, então a PA é constante. 6 a) PA crescente de razão 5. b) PA decrescente de razão -4. c) PA constante de razão 0. 7 x = 8 b) Pois 11 + 42 = 52 + 1. 9 a4 = 70 10 PA (1, 4, 7, 10, ...) 11 a) V b) V c) F d) F 12 a30 = a1 + 29r Þ a30 = 2 + 29 × 3 Þ a30 = 89 Sn = Þ S30= Þ S30= Þ S30 =1 365 13 O atleta deverá nadar 200 metros a mais por dia e 2 300 metros no 10º dia. 14 Serão 604 450 cumprimentos 15 c) PG de razão q = -2 16 a) PG crescente (a1 > 0 e q > 1)
b) PG crescente (a1 < 0 e 0 < q < 1) c) PG constante (q = 1) d) PG alternante (a1 ¹ 0, q < 0) e) PG decrescente (a1 > 0 e 0 < q 1)
17
Se considerarmos, por exemplo, a PG (1, 3, 9 ,27, 81, 243) teremos:
a1 × a6 = 1 × 243 = 243
a2 × a5 = 3 × 81 = 243
a3 × a4 = 9 × 27 = 243
a1 × a6 = a2 × a5 = a3 × a4
18
Se considerarmos, por exemplo, a PG (5, 10, 20, 40, 80, 160), teremos:
(a2)2 = a1 × a3 Þ 102 = 5 × 20
(a3)2 = a2 × a4 Þ 202 = 10 × 40
(a5)2 = a4 × a6 Þ 802 = 40 × 160
19
a8 = 32 768
20
(20; 10; 5; ; ; ; ; ; )
21
3 069
22
23
a) V
b) F
c) V
d) V
24
(1, 3, 9, 27, 80, 243)
Antonio Carlos Carneiro Barroso
http://ensinodematemtica.blogspot.com
Uma seqüência ou sucessão é um conjunto finito ou infinito de elementos de qualquer natureza organizados ou escritos numa ordem bem determinada. Uma seqüência genérica pode ser representada por
(a1; a 2; a 3; a 4; ...; an; ...), com n Î N*.
Três termos consecutivos de uma seqüência podem ser representados por:
an - 1, an, an + 1, em que an - 1 é o antecessor de an e an + 1 é o sucessor
de an.
Uma seqüência numérica pode ser definida por uma fórmula, que permite calcular qualquer um de seus termos. Essa fórmula recebe o nome de lei de formação.
1. O primeiro termo da seqüência dada pela lei de formação an = 3n - 2, n Î N* é a1 = 1.
Obtenha o valor dos próximos cinco elementos.
a2 = _____________
a3 = _____________
a4 = _____________
a5 = _____________
a6 = _____________
2. Determine o centésimo termo da seqüência dada pela lei an = , n Î N*.
3. 3 Escreva os três próximos termos da seqüência abaixo.
(6; 18; 54; 162; 486; ______; _____; _____)
Escreva uma lei de formação para essa seqüência. Dica: Fatore os termos da seqüência.
4. Verifique se o número 512 pertence à seqüência definida por an = 2n - 1, n Î N*. Caso pertença, qual é a posição desse número na seqüência?
Progressão aritmética (PA)
Progressão aritmética (PA) é toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma de seu antecessor com um número constante r, denominado razão da PA. Assim: an = an - 1 + r, (n ³ 2).
5. Temos três tipos de PA, conforme a razão. Se r > 0, então a PA é crescente.
Se r < 0, então a PA é ____________________________________________________ Se r = 0, então a PA é ____________________________________________________ 6. Indique que seqüências são PA, escreva o tipo e determine a razão. a) (- 4; 1; 6; 11; 16; 21) b) (13; 9; 5; 1; -3; -7; -11; -15) c) (1; 2; 3; 4; 8) d) (-1; -3; -6; -9) e) (-7; -7; -7; -7; -7) 7. Considere: "Numa PA, cada termo, a partir do segundo, é igual à média aritmética entre o termo antecedente e o conseqüente da PA". Assim, considerando três termos consecutivos a, b, c, temos que b = . Agora, determine o valor de x, sendo que os números x2, (x + 2)2 e (x + 3)2 formam, nessa ordem, uma PA. 8. Na PA de 52 termos (a1; a2; a3; ...; a51; a52), identifique quais desses pares de termos são eqüidistantes dos extremos: a) a8 e a32 b) a11 e a42 c) a20 e a37 Termo geral de uma PA O termo geral da PA é an = a1 + (n-1) × r e indica que, para obter um termo de posição n de uma PA, basta somarmos (n - 1) vezes a razão ao primeiro termo. Portanto, podemos dizer, por exemplo, que a8 = a1 + 7 × r ou a12 = a1 + 11 × r. 9. Numa PA, a10 = 130 e a19 = 220. Calcule o quarto termo dessa PA. Veja que podemos escrever a10 e a19 em função do primeiro termo a1 e da razão r. a10 = 130 Þ a1 + 9r = 130 ´ (-2) a19 = 220 Þ a1 + 18r = 220 Resolva o sistema para encontrar a1 e r e depois calcule a4. 10. Numa PA a2 + a6 = 20 e a4 + a9 = 35. Escreva a PA. 11. Classifique em verdadeiras (V) ou falsas (F) as sentenças. a) Numa PA de razão 5 e primeiro termo 4, o termo igual a 44 ocupa a 9ª posição. b) Sabendo-se que a1 = -5, an = 16 e r = 3, então n = 8. c) Numa PA de 37 termos, o primeiro é a1 = 1 503 e o último a37 = 2 077. Então, o termo central é a19 = 3 580. d) Interpolando - ou seja, acrescentando - k meios aritméticos entre 12 e 34, obtém-se uma PA de razão . Portanto, k = 41. Soma dos termos de uma PA finita A soma dos termos de uma PA finita é calculada pela fórmula. Sn = 12. Verifique que a soma dos 30 primeiros termos da PA (2; 5; ...) é S30 = 1 365. 13. Hoje um atleta nada 500 metros e, nos próximos dias, deverá nadar uma mesma distância a mais do que nadou no dia anterior. No 15º dia, ele quer chegar a nadar 3 300 metros. Determine a distância que ele deverá nadar a mais por dia e a distância que deverá nadar no 10º dia. 14. Num salão há 1 100 pessoas. Se todas resolverem se cumprimentar, quantos cumprimentos serão trocados? Dica: Numere as pessoas de 1 a 1 100 e observe que a primeira pessoa trocará 1 099 cumprimentos; a segunda, 1 098 novos cumprimentos, pois já foi contado quem trocou cumprimento com a primeira pessoa; a terceira, 1 097 novos cumprimentos; assim, a pessoa número 1 099 trocará apenas 1 novo cumprimento, e a pessoa de número 1 100 não terá cumprimentos novos. O total de cumprimentos trocados será a soma dos termos da PA (1 099, 1 098, 1 097, ..., 1), que tem 1 099 termos. Progressão geométrica (PG) Progressão geométrica (PG) é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual a seu antecessor multiplicado por um número constante q denominado razão da PG Assim: an = q × an - 1 (n ³ 2). As PG são classificadas de acordo com os valores do primeiro termo a1 e da razão q: a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1 Þ PG crescente a1 < 0 e q >1 ou a1 > 0 e 0 < q < 1 Þ PG decrescente " a1 ¹ 0 e q < 0 Þ PG alternante " a1 e q = 1 Þ PG constante ou estacionária 15. Identifique as PG dentre as seqüências abaixo e determine a razão quando possível: a) b) (0,2; -2,8; 8,4; -25,2) c) (0,7; -1,4; 2,8; -5,6) d) (2; 4; 6; 8; 10; ...) 16. Classifique as PG abaixo em crescente, decrescente, alternante ou constante. Justifique sua resposta. a) (1, 3, 9, 27, 81,...) b) (- 40, -20, - 10, -5, ...) c) (3, 3, 3, 3, 3) d) (2, - 4, 8, - 16, 32, - 64) e) 17. Numa PG finita, o produto dos extremos é igual ao produto dos termos eqüidistantes dos extremos. Escreva uma PG e verifique essa propriedade. 18. Numa PG, cada termo, a partir do segundo, é média geométrica entre o termo antecedente e o conseqüente da seqüência. Se considerarmos três termos consecutivos de uma PG, temos: ap - 1, ap, ap + 1 Þ (ap)2 = ap - 1 × ap + 1 Escreva uma PG e verifique essa propriedade. Termo geral de uma PG O termo geral de uma PG é dado por an = a1 × qn - 1 e indica que, para obter um termo de posição n de uma PG, basta multiplicarmos o primeiro termo a1 pela razão q elevada a n - 1. Dessa forma, dizemos, por exemplo, que a7 = a1 × q6 ou a12 = a1 × q11. 19. Numa PG, o segundo termo é 8 e o quinto é 512. Determine o oitavo termo dessa PG. Dica: Escreva a2 e a5 em função de a1 e de q. 20. Complete a seqüência de modo a termos uma PG decrescente. (____; ____; ____; ____; ____; ____; ____; ) Soma dos termos de uma PG finita e de uma PG infinita Podemos calcular a soma de determinados termos de uma PG usando a fórmula: (q ¹ 1) Se precisamos calcular a soma dos infinitos termos de uma PG em que -1 < q < 1, temos: (q ¹ 1). 21. Calcule a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12,...). 22. Calcule a soma dos infinitos termos da PG (45, 15, 5,...). 23. Escreva se a proposição é verdadeira (V) ou falsa (F). a) Interpolando quatro meios geométricos entre o número x e o número 2, nessa ordem, obtém-se uma PG cuja razão é igual a . Portanto, x = 64. b) Seja a seqüência (2, 2x, 4x + 6) uma PG crescente. Logo, o valor de x e a razão da progressão são, respectivamente, 3 e 4. c) A seqüência (x, x - 1, x + 2,...) é uma PG. O quarto termo é o número -. d) A soma dos trinta primeiros termos da PG (2, -2, 2, -2, ...) é S30 = 0. 24. Interpole quatro meios geométricos entre 1 e 243. Respostas 1 a2 = 4, a3 = 7, a4 = 10, a5 = 13, a6 = 16 2 3 (6; 18; 54; 162; 486; 1 458; 4 374; 13 122); lei de formação: an = 2 × 3n, n Î N* 4 O número 512 pertence à seqüência e ocupa a 10ª posição (a10 = 512). 5 Se r < 0, então a PA é decrescente. Se r = 0, então a PA é constante. 6 a) PA crescente de razão 5. b) PA decrescente de razão -4. c) PA constante de razão 0. 7 x = 8 b) Pois 11 + 42 = 52 + 1. 9 a4 = 70 10 PA (1, 4, 7, 10, ...) 11 a) V b) V c) F d) F 12 a30 = a1 + 29r Þ a30 = 2 + 29 × 3 Þ a30 = 89 Sn = Þ S30= Þ S30= Þ S30 =1 365 13 O atleta deverá nadar 200 metros a mais por dia e 2 300 metros no 10º dia. 14 Serão 604 450 cumprimentos 15 c) PG de razão q = -2 16 a) PG crescente (a1 > 0 e q > 1)
b) PG crescente (a1 < 0 e 0 < q < 1) c) PG constante (q = 1) d) PG alternante (a1 ¹ 0, q < 0) e) PG decrescente (a1 > 0 e 0 < q 1)
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Se considerarmos, por exemplo, a PG (1, 3, 9 ,27, 81, 243) teremos:
a1 × a6 = 1 × 243 = 243
a2 × a5 = 3 × 81 = 243
a3 × a4 = 9 × 27 = 243
a1 × a6 = a2 × a5 = a3 × a4
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Se considerarmos, por exemplo, a PG (5, 10, 20, 40, 80, 160), teremos:
(a2)2 = a1 × a3 Þ 102 = 5 × 20
(a3)2 = a2 × a4 Þ 202 = 10 × 40
(a5)2 = a4 × a6 Þ 802 = 40 × 160
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a8 = 32 768
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(20; 10; 5; ; ; ; ; ; )
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3 069
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a) V
b) F
c) V
d) V
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(1, 3, 9, 27, 80, 243)
Antonio Carlos Carneiro Barroso
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