Circunferências

Para reconhecer uma circunferência é preciso levar em consideração a definição de uma equação do segundo grau com duas incógnitas, pois se observarmos uma equação normal ou reduzida da circunferência perceberemos que são exemplos desse tipo de equação.

Veja a forma geral de uma equação do segundo grau com duas incógnitas.

Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Nem todas as equações do segundo grau com duas incógnitas podem ser consideradas equações da circunferência, é preciso que seus coeficientes (A,B,C,D,E,F) obedeçam algumas condições, veja quais são elas:

É preciso saber que os coeficientes A, B, C, D, E, F pertencem ao conjunto dos reais e que A, B e C não são simultaneamente nulos.

• Os coeficientes A e B devem ser iguais e diferentes de zero (A=B ≠ 0)
• O coeficiente C dever ser igual à zero (C = 0).
• Em uma equação da circunferência escrita na sua forma reduzida, o valor do segundo membro da igualdade deverá ser um valor positivo: (x – a)2 + (y – b)2 = k; k > 0.

Exemplo: verifique se a equação x2 + 3y2 – 6x + 4y - 9 = 0 pode ser considerada uma equação da circunferência.

É preciso que verifiquemos todas as condições, mas nesse caso a primeira já elimina a possibilidade de ser uma equação da circunferência, pois os coeficientes de x2 e y2 são diferentes.

Exemplo: verifique se a equação x2– 6x - 4y +1 = 0 pode ser considerada uma equação da circunferência.

Nesse caso apenas a primeira condição elimina essa possibilidade, pois o coeficiente de y2 é igual a zero.

Exemplo: verifique se a equação -x2 - y2 + 8x -7 = 0 pode ser considerada uma equação da circunferência.

Essa equação será considerada uma equação da circunferência, pois satisfaz todas as condições:

• Os coeficientes de x2 e y2 são todos iguais e diferentes de zero.
• O coeficiente de xy é igual a zero.
• Passando a equação -x2 - y2 + 8x -7 = 0 para a forma reduzida iremos verificar a última condição:

-x2 - y2 + 8x -7 = 0 (-1)
x2 + y2 - 8x +7 = 0
(x2 - 8x) + (y2 +0y) = -7
(x2 - 8x + 16) + (y2 +0y) = -7 +16
(x2 - 8x + 16) + (y2 +0y + 0) = -7 +16 + 0
(x + 4)2 + (y + 0)2 = 9

Como 9 > 0, a equação representa uma circunferência.