Conjunto dos inteiros operações em Z

Quando os homens começaram a adquirir animais e coisas, surgiu a necessidade de se quantificar os elementos que possuiam. Assim, os Números Naturais foram criados e foram evoluindo com o passar do tempo. Mas os Números Naturais não satisfazem todas as necessidades que os problemas cotidianos colocam para a Matemática.

Numa consulta bancária, por exemplo, não basta a informação de que temos 200 reais na conta, sem saber se o saldo é positivo ou negativo. De situações como esta percebeu-se a necessidade da criação dos números negativos que juntamente com os positivos formam os números Inteiros
Conjunto dos Números Inteiros
Este é mais um conjunto numérico que devemos conhecer para futuros estudos, representado pela letra Z. Conjunto dos Números Naturais representado pela letra N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9: O conjunto N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14........................}, este conjunto é infinito ou seja não tem fim. O Zero não é um número natural, contudo iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Este ficou pequeno para a matemática, observe os exemplos: a) 9 - 12 = ? b) 8 - 100 = ?

Dentro do conjunto dos número naturais não existe resposta para estas perguntas, ou seja as respostas estão dentro do conjunto dos números inteiros. Vamos conhecer este conjunto: O conjunto Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}, observe que este conjunto é formado por números negativos, zero e números positivos.

Vale lembrar que zero é um número nulo ou neutro, não é negativo e nem positivo. No seu dia a dia você já dever ter deparado com números inteiros. Quando temos um crédito temos um número positivo, um débito é um número negativo, temperaturas acima de zero são positivas, abaixo de zero são negativas, também em relação ao nível do mar, os países que estão acima do nível do mar tem altitudes positivas, abaixo do nível do mar altitudes negativas, se você prestar atenção ao seu redor vai encontrar muitos números negativo e positivos.
Reta Numérica Inteira
img_retas_numericasObserve que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, eles estão crescendo da esquerda para a direita, -7 é menor que -6, 0 é maior que -1 e assim em diante. Vamos comparar alguns números inteiros.

* -5 > -10
* +8 > -1000,
* -1 > -200.000,
* -200 < 0, * -234 < -1, * +2 > -1,
* -9 < +1 Lembrete: 1. Zero é maior que qualquer número negativo. 2. Um é o maior número negativo. 3. Zero é menor que qualquer número positivo. 4. Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo. 5. Pertencem ao conjunto dos números naturais os números inteiros positivos incluindo o zero. Números opostos ou simétricos

imd_numeros_simetricos Observe que a distancia do -3 até o zero é a mesma do +3 até o zero, estes números são chamados de opostos ou simétricos. Logo: - 2 é oposto ou simétrico do + 2, + 20 é oposto ou simétrico do - 20, - 100 é oposto ou simétrico de + 100. Adição e Subtração
de Números Inteiros Exemplos:

* (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números)
* (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números)
* (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números)
* (+15) - (+25) = + 15 - 25 = 5 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração)
* (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração)

Lembrete:Para facilitar seu entendimento, efetue esta operações pensando em débito(número negativo) e crédito(número positivo), + 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, - 15 + 10, devo 15 reais se tenho só dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7, - 5 - 8, tenho uma divida de 5 reais faço mais uma divida de 8 eu fico devendo treze ou seja -13. Multiplicação e Divisão de Números Inteiros Exemplos:

* (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +)
* (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +)
* (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -)
* (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -)
* (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +)
* (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -)
* (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +)
* (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +)

Lembrete:Observe que a multiplicação ou divisão de números de mesmo sinal o resultado e sempre positivo, a multiplicação ou divisão de números de sinais diferentes o resultado é sempre negativo.
Potenciação de Números Inteiros
Exemplos:

* (+3)2 = (+3) x (+3) = + 9 b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32
* (-8)0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo) d) (+9)0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo)
* (18)1 = 18 (todo número elevado a um é igual a ele mesmo)

Importante: (-2)2 = (-2) x (-2) = 4 é diferente de - 22 = -(2) x (2) = - (4) = - 4 No primeiro caso tanto o sinal quanto ao número estão ao quadrado e no segundo caso apenas o número está elevado ao quadrado.
Radiciação de Números Inteiros

Exemplos: img_radiciacao_exemplos
Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros
a) - [ - 3 + 2 - ( 4 - 5 - 6)] = - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6] = 3 - 2 + 4 - 5 - 6 = 7 - 13 = - 6

Primeiro eliminamos os parênteses, como antes dele tinha um sinal de menos todos os números saíram com sinais trocados, logo depois eliminamos os colchetes, como também tinha um sinal de menos todos os números saíram com os sinais trocados, somamos os positivo e o negativos

b) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]} = { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) - 3]} = { - 5 + [ - 8 + 15 - 3]} = {- 5 - 8 + 15 - 3} = - 5 - 8 + 15 - 3 = - 16 + 15 = - 1

Primeiro resolvemos dentro do parênteses, depois multiplicamos o resultado por 3, logo após eliminamos os colchetes, como antes deste tinha um sinal de mais, todo os números saíram sem trocar sinal, eliminamos também as chaves, observe que também não teve troca de sinais pelo mesmo motivo anterior, juntamos positivo e negativos.

Para consultar exercícios resolvidos de números naturais e colocar em prática o que foi aprendido acesse:
Exercício de Números reais
Exercício de Números Naturais