Equação de 1º grau

~EQUAÇÃO DO 1º GRAU



* Definição



É definido como uma equação como toda e qualquer igualdade (=) que somente pode ser satisfeita para alguns valores que estejam agregados em seus domínios.



Exemplos:



3x – 4 = 2 à o número X que é desconhecido recebe o termo de incógnita.



3y + 4 = 7 à o número Y que é desconhecido recebe o termo de incógnita.



Desta forma acima, é impossível afirmar se a igualdade do problema é verdadeira ou falsa, pois os valores das incógnitas são desconhecidos.



É possível verificar que as equações acima se tornam verdadeiras quando:



x = 2, veja:



3x – 4 = 2



3x = 2 + 4 à 3x = 6 à x = 2



y = 1, veja:



3y = 7 – 4 à 3y = 3 à y = 1



Assim os conjuntos são verdadeiros (V) e com soluções (S) = 2 e 1 respectivamente



- Equação do 1º grau



Agora que foi definido o termo equação, pode-se definir o que é equação do primeiro grau, como toda equação que satisfaça a forma:



ax + b = 0



Onde, tem-se:



a e b , são as constantes da equação, com a ≠ 0 (diferente de zero)



Observe:



4x + 10 = 1



a = 4



b = 10 >> constantes (4,10)



3x – 6 = 0



a = 3



b = 6 >> constantes (3,6)



Exemplo de fixação:



x + 2 = 6 »



Assim, o número que substitui o “x” na equação acima, tornando a sentença “verdadeira”, é o número 4, pois, 4 + 2 = 6.



Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando uma propriedade já informada em tutoriais anteriores:



ax + b = 0 » ax = - b



x = -b/a



Obs.: É possível transformar uma equação em outra que seja equivalente à primeira, porém esta segunda na forma mais simples de se efetuar cálculos. É possível somar ou subtrair, multiplicar ou dividir um mesmo número, que seja diferente de zero (≠0), aos membros da equação dada no problema.



Exemplo:



x – 4 = 0 » x –4 + 2 = 0 + 2 » x = 4



2x = 4 » 3.2x = 3.4 » x = 2



* Resolução de uma equação do 1º grau



Resolver uma equação do primeiro grau significa achar valores que estejam em seus domínios e que satisfaçam à sentença do problema, ou seja, será preciso determinar de forma correta a raiz da equação.



Na forma simples de entender a solução de equação do primeiro grau, basta separar as incógnitas dos números, colocando-os de um lado do sinal de igual (=). Desta forma, os números ficam de um lado da igualdade e do outro lado as constantes.



Para assimilar, veja alguns exemplos de fixação resolvidos:



a) Determine o valor do X:



4x – 12 = 8



4x = 8 + 12



4x = 20



x= 20/4 » x = 5 >> V = {5}



b) Qual o valor da incógnita x:



2 – 3.(2-4x) = 8



2 – 6 + 12x = 8



12x = 8 - 2 + 6



12x = 6 + 6



x = 12/12 » x = 1 >> V = {1}



Mais alguns exemplos de equações de primeiro grau:



x + 5 = 10 5x – 3 = 28 3x + 12 = 4



2x – 4 = 0 10 + 4.(5.4x) = 5 – (x+8)



Observe que, como informado no método de resolução dos problemas que envolvem equações do primeiro grau, sempre é colocado de um lado às incógnitas e de outros os números, para que se tenha assim a solução verdadeira da questão.



Por tanto ao resultado da raiz dá-se o nome de conjunto “V” ou conjunto de solução “S”.



Lembre-se: Os valores do conjunto soluções têm que ser satisfeitos pelos valores que estejam agregados na sentença.



* Por que a constante “a” tem que ser diferente de zero (a ≠ 0)



Observe:



a ≠ 0 >> b ≠ 0, temos:



x = -b/a



S = {-b/a}



a ≠ 0 >> b = 0, temos:



x = 0/a



S = {0}



Agora se a constante “a” for igual = 0 (a = 0)



b ≠ 0 >> x = -b/0



V = {0}



Desta forma, é possível notar que quando a constante “a” for igual à zero ( a = 0), temos a conjunto “V”, chamado de conjunto Verdade, igual a zero V = {0}, não existindo, neste caso, raiz ou solução que satisfaça a equação, e a equação então é denominada de “impossível” ou “sem solução”.



Ainda, se tratando da forma (a ≠ 0), observe a seguinte suposição de equação:



b = 0 >> 0x = 0 >> V = R



Assim, é possível dizer que a equação é indeterminada, pois qualquer valor para a incógnita x, se torna raiz ou solução da equação ou do problema dado.



* Incógnita com valor negativo



Quando efetuarmos as devidas reduções de termos, pode acontecer que o coeficiente que estiver acompanhando a variável seja um número negativo (-).



Caso isto ocorra, o correto a fazer é multiplicar ambos os membros da equação por (-1), que é um dos princípios da multiplicação, já estudados em tutoriais anteriores.



Veja alguns exemplos:



a) 4x – 2 = 6x + 8



Reduzindo os termos:



4x – 6x = 8 + 2



-2x = 10



Verifique que o número que acompanha o “x”, ou seja, o coeficiente, tem o valor negativo (-), então multiplica-se os termos da equação por (-1).



Assim, temos aos valores:



-2x = 10 .(-1)



2x = - 10



Verifique então, que após multiplicar os termos por (-1), temos o coeficiente da incógnita “x” na forma positiva, agora sim podendo prosseguir com a operação.



x = -10/2 >> x = -5



Como o valor de x = -5, então V = {-5}



Observação:



O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado do sinal (=) e as incógnitas do outro é apenas um "macete". Veja o que realmente ocorre:



Observe:



2x + 4 = 8



Adicionamos (-4) a ambos os lados, a fim de deixarmos o valor de 2x "separado".



Veja o que acontece:



2x + 4 - 4 = 8 - 4



2x = 4



x = 2



V={2}



A forma de cálculo acima é a exposição do que ocorre na solução de equações do 1º grau. A "grande dica" de "separar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizar nos cálculos dos problemas e sentenças.