Produtos notaveis

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Produtos notáveis são multiplicações envolvendo expressões algébricas que seguem um processo de resolução padronizado. Os produtos notáveis são distribuídos em:

Quadrado da soma entre dois termos → (a + b)²
Quadrado da diferença entre dois termos → (a – b)²
Produto da soma pela diferença → (a + b) * (a – b)
Cubo da soma entre dois termos → (a + b)³
Cubo da diferença entre dois termos → (a – b)³

Resolveremos as multiplicações utilizando a propriedade distributiva e o processo prático.

Quadrado da soma entre dois termos

Propriedade distributiva → (a + b)² = (a + b) * (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Regra prática → (a + b)² = (a)² + 2 * a * b + (b)² = a² + 2ab + b²

Exemplo 1

(2x + 3)² = (2x + 3) * (2x + 3) = 4x² + 6x + 6x + 9 = 4x² + 12x + 9

(2x + 3)² = (2x)² + 2 * 2x * 3 + (3)² = 4x² + 12x + 9

Exemplo 2

(3x + 2y)² = (3x + 2y) * (3x + 2y) = 9x² + 6xy + 6xy + 4y² = 9x² + 12xy + 4y²

(3x + 2y)² = (3x)² + 2 * 3x * 2y + (2y)² = 9x² + 12xy + 4y²

Quadrado da diferença entre dois termos

Propriedade distributiva → (a – b)² = (a – b) * (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b²

Regra prática → (a – b)² = (a)² – 2 * a * b + (b)² = a² – 2ab + b²

Exemplo 3

(2x – 3)² = (2x – 3) * (2x – 3) = 4x² – 6x – 6x + 9 = 4x² – 12x + 9

(2x – 3)² = (2x)² – 2 * 2x * 3 + (3)² = 4x² – 12x + 9

Exemplo 4

(6x – 5y)² = (6x – 5y) * (6x – 5y) = 36x² – 30xy – 30xy + 25y² = 36x² – 60xy + 25y²

(6x – 5y)² = (6x)² – 2 * 6x * 5y + (5y)² = 36x² – 60xy + 25y²

Produto da Soma pela Diferença

Propriedade distributiva → (a + b) * (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²

Regra prática → (a + b) * (a – b) = (a)² – (b)² = a² – b²

Exemplo 5

(5x – 6) * (5x + 6) = 25x² + 30x – 30x – 36 = 25x² – 36

(5x – 6) * (5x + 6) = (5x)² – (6)² = 25x² – 36

Exemplo 6

(3x – 4y) * (3x + 4y) = 9x² + 12xy – 12xy – 16y² = 9x² – 16y²

(3x – 4y) * (3x + 4y) = (3x)² – (4y)² = 9x² ¬– 16y²

Cubo da Soma entre dois termos

Propriedade distributiva → (a + b)³ = (a + b) * (a + b)² = (a + b) * (a² + 2ab + b²) =
a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Regra prática → (a + b)³ = (a)³ + 3 * (a)² * b + 3 * a * (b)² + (b)³ = a³ + 3a²b +3ab² + b³

Exemplo 7

(3x + 4)³ → (3x + 4) * (3x + 4)² = (3x + 4) * (9x² + 24x + 16) =
27x³ + 72x² + 48x + 36x² + 96x + 64 = 27x³ + 108x² + 144x + 64

(3x + 4)³ = (3x)³ + 3 * (3x)² * 4 + 3 * 3x * (4)² = 27x³ + 108x² + 144x + 64

Cubo da diferença entre dois termos

Propriedade distributiva → (a – b)³ = (a – b) * (a – b)² = (a – b) * (a² – 2ab + b²) =
a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³ = a³ –3a²b + 3ab² – b³

Regra prática → (a – b)³ = (a)³ – 3 * (a)² * b + 3 * a * (b)² – (b)³ = a³ – 3a²b +3ab² – b³

Exemplo 8

(3x – 4)³ → (3x – 4) * (3x – 4)² = (3x – 4) * (9x² – 24x + 16) =
27x³ – 72x² + 48x – 36x² + 96x – 64 = 27x³ – 108x² + 144x – 64

(3x – 4)³ = (3x)³ – 3 * (3x)² * 4 + 3 * 3x * (4)² – (4)³ = 27x³ – 108x² + 144x – 64
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