Progressão Aritmética (P.A.)

Vamos considerar as seqüências numéricas

a) (2, 4, 6, 8, 10, 12).

Veja que a partir do 2º termo a diferença entre cada termo e o seu antecessor, é constante:

a2 - a1 = 4 - 2= 2; a3 - a2 = 6 - 4 = 2

a5 - a4 = 10 - 8 = 2 a6 - a5 = 12 - 10 = 2

b)

a2 - a1 = ;

a3 - a2 =

a4 - a3 =

a5 - a4 =

Quando observamos que essas diferenças entre cada termo e o seu antecessor, é constante, damos o nome de progressão aritmética (P.A.) À constante damos o nome de razão (r).

Obs.: r =0 P.A. é constante.

r>0P.A. é crescente.

r<0P.A. é decrescente.

De um modo geral temos:

Chama-se de progressão aritmética (P.A.), toda sucessão de números que, a partir do segundo, a diferença entre cada termo e o seu antecessor é constante. Isto é:

Sucessão: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...)

a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ...= an - an -1 = r

1.1 – FÓRMULA DO TREMO GERAL DE UMA P.A.

Vamos considerar a seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an) de razão r, podemos escrever:

Somando membro a membro essas n - 1 igualdades, obtemos:

a2 + a3+ a4+ an -1 + an = a1+ a2+ a3+ ... an -1+ (n-1).r

Após a simplificação temos a fórmula do termo geral de uma P.A.:

an = a1 + (n - 1)

Prof. Júlio Oliveira

Nota Importante:

Quando procuramos uma P.A. com 3, 4 ou 5 termos, podemos utilizar um recurso bastante útil.

• Para 3 termos: (x, x+r, x+2r) ou (x-r, x, x+r)
• Para 4 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r) ou (x-3y, x-y, x+y, x+3y). Onde y =

• Para 5 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r, x+4r) ou (x-2r, x-r, x, x+r, x+2r)Prof. Júlio Oliveira

1.2 – INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA

Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre dois números a₁ e a_n, significa obter uma P.A. de k+2 termos, cujos os extremos são a₁ e a_n.

Pode-se dizer que todo problema que envolve interpolação se resume em calcularmos a razão da P.A.

Ex.: Veja esta P.A. (1, ..., 10), vamos inserir 8 meios aritméticos, logo a P.A. terá 8+2 termos, onde:

a1 = 1; an = 10 ; k = 8 e n = k + 2 = 10 termos.

an = a1 + (n-1).r r =

a P.A. ficou assim: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

1.3 – SOMA DOS n TERMOS DE UMA P.A.(Sn)

Vamos considerar a P.A.

(a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an) (1).

Agora vamos escrevê-la de uma outra forma:

(an, an-1, an-2, ..., a3, a2, a1) (2).

Vamos representar por Sn a soma de todos os membros de (1) e também por Sn a soma de todos os membros de (2), já que são iguais.

Somando (1) + (2), vem:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an

Sn = an + an-1 + an-2 +...+ a3 + a2 + a1

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) ... + (an-1 + a2) + (an + a1)

Observe que cada parênteses representa a soma dos extremos da P.A. , portanto representa a soma de quaisquer termos eqüidistantes dos extremos. Então:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... +(a1 + an) + (a1 + an)

n - vezes

2Sn = que é a soma dos n termos de uma P.A.

www.coladaweb.com