Progressão Geométrica (P.G.)

Definição: uma sequência numérica é chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se o quociente entre qualquer termo (a partir do 2º) e o termo antecessor for sempre o mesmo (constante). A essa constante dá-se o nome de razão da P.G. e é representada por q.

A sequência numérica abaixo é uma P.G. Vamos verificar?

(2, 10, 50, 250, ...)

Outros exemplos:

a) ( 3, 6, 12, 24, 48, ...) é uma P.G. cuja razão é q = 2
b) ( -7, 14, -28, 56, ...) é uma P.G. de razão q = -2
c) (60, 30, 15, 15/2, ...) é uma P.G. de razão q = 1/2
d) (10, -10, 10, -10, 10, ...) é uma P.G. de razão q = -1

As Progressões Geométricas são classificadas de acordo com a razão q.

q < 0 → P.G. é alternada.
a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1 → P.G. é crescente.
a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1 → P.G. é decrescente.

Determinando o termo geral da P.G.

Qualquer termo de uma P.G. pode ser determinado quando conhecemos o 1º termo (a₁) e a razão (q). Observe o processo abaixo.

Generalizando, obtemos:

que é a fórmula do termo geral da P.G.
Exemplo 1. Determine o 10º termo da P.G. (3, 9, 27, ...).

Solução: temos que

a₁ = 3 q = 9/3 = 3 a₁₀ = ?

Usando a fórmula do termo geral, obtemos:

a₁₀ = 3∙3^(10-1)
a₁₀ = 3∙3⁹ = 59049
Exemplo 2. Determine o 15º termo da P.G. (-2, 10, - 50, 250, ...).

Solução: sabemos que

a₁ = - 2 q = 10/(-2) = -5 a₁₅ = ?

Vamos utilizar a fórmula do termo geral da P.G.

a₁₅ = -2∙(-5)^(15-1) = -2∙(-5)¹⁴ = -12.207.031.250
Exemplo 3. O 5º termo de uma P.G. é igual a 112 e o 1º termo é igual a 7. Determine a razão dessa P.G.

Solução: Sabemos que a₅ = a₁.q^{5 - 1}
Assim,

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