Ângulos

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na mesma reta. Nesses casos, formam-se também ângulos.

• As semi-retas coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.

• As semi-retas não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos ou de meia-volta.

Podemos, então, estabelecer que:

Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem.

MEDIDA DE UM ÂNGULO
A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º.
Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um ângulo de 1º grau (1º).

Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º e de 360º.
O grau compreende os submúltiplos:

• O minuto corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'.

1º=60'

• O segundo corresponde a do minuto. Indica-se um segundo por 1''.

1'=60''

Logo, podemos concluir que:

1º = 60'.60 = 3.600''

Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema sexagesimal.


Como medir um ângulo, utilizando o transferidor
Observe a seqüência

• O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo.
• A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semi-retas do ângulo .
• Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-reta .

Leitura de um ângulo
Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras:
15º (lê-se "15 graus'')
45º50' (lê-se ''45 graus e 50 minutos'')
30º48'36'' (lê-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'')
Observações
Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem ângulos com maior precisão. Como exemplos temos o teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado em navegação.
A representação da medida de um ângulo pode também ser feita através de uma letra minúscula ou de um número.

Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180º.
O ângulo de uma volta mede 360º.
Questões envolvendo medidas de ângulos
Observe a resolução das questões abaixo:

• Determine a medida do ângulo AÔB na figura:

Solução
Medida de AÔB = x
Medida de BÔC = 105º
Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo raso, temos:
m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)
x + 105º = 180º
x = 180º - 105º
x = 75º
Logo, a medida de AÔB é 75º.

• Determine a medida do 6angulo não-convexo na figura:

Solução
Verificamos que o ângulo não-convexo na figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam, juntos, um ângulo de uma volta, que mede 360º. Assim:

x + 50º = 360º

x = 360º - 50º

x = 310º

Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º.

Como construir um ângulo utilizando o transferidor

Observe a seqüência utilizada na construção de um ângulo de 50º:

• Traçamos uma semi-reta .

• Colocamos o centro do transferidor sobre a origem da semi-reta (A).
• Identificamos no transferidor o ponto (C) correspondente à medida de 50º.

• Traçamos a semi-reta , obtendo o ângulo BÂC que mede 50º.

Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º são ângulos especiais.

Eles podem ser desenhados com esquadro.

TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES

Como vimos, quando trabalhamos com medidas de ângulos, utilizamos o sistema sexagesimal.

Observe nos exemplos como efetuar transformações nesse sistema:

• Transforme 30º em minutos.

Solução

Sendo 1º = 60', temos:

30º = 30 . 60'= 1.800

'Logo, 30º = 1.800

• Transforme 5º35' em minutos.

Solução

5º = 5 . 60' = 300'

300' + 35'= 335'

Logo, 5º35'= 335'.

• transforme 8º em segundos.

Solução

Sendo 1º = 60', temos:

8º = 8 . 60'= 480

'Sendo 1'= 60'', temos:

480'= 480 . 60'' = 28.800''

Logo, 8º = 28.800''.

• Transforme 3º35' em segundos.

Solução

3º = 3 . 60'= 180'

180' + 35' = 215'

215' . 60'' = 12.900''

Logo, 3º35'= 12.900''

• Transforme 2º20'40'' em segundos.

Solução

2º = 2 . 60' = 120'

120' + 20' = 140'

140'. 60''= 8.400''

8.400'' + 40'' = 8.440''

Logo, 2º20'40'' = 8.440''

Transformando uma medida de ângulo em número misto

• Transforme 130' em graus e minutos.

Solução

• Transforme 150'' em minutos e segundos.

Solução

• Transforme 26.138'' em graus, minutos e segundos.

Solução

Medidas fracionárias de um ângulo

• Transforme 24,5º em graus e minutos.

solução

0,5º = 0,5 . 60' = 30'

24,5º= 24º + 0,5º = 24º30'

Logo, 24,5º = 24º30'.

• Transforme 45º36' em graus.

solução

60' 1º

36' x

x = 0,6º (lê-se ''seis décimos de grau'')

Logo, 45º36'= 45º + 0,6º = 45,6º.

• Transforme 5'54'' em minutos.

Solução

60'' 1'

54'' x

x = 0,9' ( lê-se ''nove décimos de minuto'')

Logo, 5'54'' = 5'+ 0,9'= 5,9'

OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS

Observe alguns exemplos de como adicionar medidas de ângulos:

Adição

30º48' + 45º10'	43º18'20'' + 25º20'30''
10º36'30'' + 23º45'50'' Simplificando 33º81'80'', obtemos: Logo, a soma é 34º22'20''.

Subtração
Observe os exemplos:

• 70º25' - 30º15

• 38º45'50'' - 27º32'35''

• 90º - 35º49'46''

• 80º48'30'' - 70º58'55''

Observe que:

Logo, a diferença é 9º 49'35''.
Multiplicação por um número natural
Observe os exemplos:

2 . ( 36º 25')	4 . ( 15º 12')
5 . ( 12º36'40'') Logo, o produto é 63º3'20''.

Divisão por um número natural
Observe os exemplos:

( 40º 20') : 2

( 45º20' ) : 4

( 50º17'30'' ) : 6