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sábado, 12 de abril de 2014

Conjunto

Exercícios Propostos e Resolvidos sobre Teoria dos Conjuntos

* As soluções dos exercícios podem ser vistas clicando no ícone em forma de uma lâmpada exibida no final de cada um deles. Tente resolvê-los antes de recorrer a essa funcionalidade de modo a avaliar seus conhecimentos. Marque as respostas que você encontrou para cada um dos exercícios e clique no botão "Enviar" localizado no final do formulário para obter, ao vivo e a cores, o seu resultado.
*

Determinar o conjunto X tal que:
1) {a,b,c,d} U X = {a,b,c,d,e}
2) {c,d} U X = {a,c,d,e}
3) {b,c,d} ∩ X = {c}
o {a,b}
o {a,c,e}
o {b,d,e)
o {c,d,e}
o {a,b,c,d}
o Resposta/Solução
o

De {b,c,d} ∩ X = {c} tiramos da definição de interseção de conjuntos que:

c ε X e que b e d não pertencem a X

Da igualdade {c,d} U X = {a,c,d,e} e da definição de união de conjuntos pode-se concluir que:

a, c, d e e são possíveis elementos de X

Mas como d não pode pertencer a X em decorrência da primeira igualdade acima, temos, até aqui, que X = {a,c,e}

E finalmente, de {a,b,c,d} U X = {a,b,c,d,e}, concluímos de forma análoga à colocada para a segunda igualdade que:

a, b, c, d e e são possíveis elementos de X

E, como b e d não pertencem a X, concluímos então que X = {a,c,e}.

Para comprovar verifique que as três igualdades dadas são verdadeiras para X = {a,c,e}
* Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52 estudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam inglês ou francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas?
o 384 e 52
o 332 e 31
o 332 e 83
o 384 e 83
o Nenhuma das respostas anteriores
o Resposta/Solução
o

Sejam:

U = {alunos da escola}

E = {alunos que estudam inglês}

F = {alunos que estudam francês}

Dados da questão:

n(U) = 415, onde n(U) representa o número de elementos de U

n(E) = 221

n(F) = 163

n(E ∩ F) = 52

Logo para determinar quantos alunos estudam inglês ou francês - n(E U F) - basta utilizar a seguinte propriedade dos conjuntos, cuja demonstração não será feita aqui. No entanto você pode verificar, intuitivamente, a sua veracidade através de um diagrama de Euler-Venn:

n(E U F) = n(E) + n(F) - n(E ∩ F) = 221 + 163 - 52 = 332

Como 332 são os alunos que estudam uma língua, vem que o número de alunos que não estudam nenhuma das duas é:

n(U) - n(E U F) = 415 - 332 = 83
*

Sejam A, B e C três conjuntos finitos. Sabendo-se que:

n(X U Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y) [1]

é verdadeira para quaisquer conjuntos finitos X e Y, onde a notação n(Z) representa a quantidade de elementos do conjunto Z, então n(A U B U C) é igual a:
o n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B ∩ C)
o n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) - n(A ∩ B ∩ C)
o n(A) + n(B) + n(C) + n(A ∩ B ∩ C)
o n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
o Nenhuma das respostas anteriores
o Resposta/Solução
o

Fazendo Z = A U B, obtemos:

n(A U B U C) = n(Z U C)

De [1] - dado da questão - e em seguida substituindo o valor de Z vem:

n(Z U C) = n(Z) + n(C) - n(Z ∩ C) = n(A U B) + n(C) - n((A U B) ∩ C)

Usando [1] novamente para n(A U B):

n(Z U C) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) + n(C) - n((A U B) ∩ C) [2]

Observe que o último termo de [2] pode ser escrito como indicado abaixo utilizando-se da propriedade distributiva da intersecção em relação à união:

(A U B) ∩ C = (A ∩ C) U (B ∩ C)

Logo:

n((A U B) ∩ C) = n((A ∩ C) U (B ∩ C)) = n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - n(A ∩ B ∩ C) [3]

Substituindo [3] em [2], trocando o sinal:

n(Z U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
* (PUC-76) Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos e C com 4 elementos, então:
o A ∩ B tem no máximo 1 elemento
o A U C tem no máximo 5 elementos
o (A ∩ B) ∩ C tem no máximo 2 elementos
o (A U B) ∩ C tem no máximo 2 elementos
o A ∩ Ø tem pelo menos dois elementos
o Resposta/Solução
o

Analisando cada resposta:

A ∩ B tem no máximo 1 elemento: é falsa pois A tem 2 elementos e se ambos também pertencerem a B a interseção terá 2 elementos.

A U C tem no máximo 5 elementos: também é falsa, uma vez que se os elementos de A são diferentes dos elementos de C, a união terá 6 elementos.

(A ∩ B) ∩ C tem no máximo 2 elementos: é verdadeira pois A ∩ B pode ter no máximo 2 elementos e ocorrerá quando A estiver contido em B. Por raciocínio análogo se A ∩ B estiver contido em C, a expressão dada poderá ter no máximo 2 elementos.

(A U B) ∩ C tem no máximo 2 elementos: é falsa pois A U B pode ter 3, 4 ou 5 elementos e se pelo menos três deles estiver em C, o resultado terá 3 elementos.

A ∩ Ø tem pelo menos dois elementos: Esta é obviamente falsa, não é?
*

(CESGRANRIO-77) A interseção dos três conjuntos

R ∩ C, (N ∩ Z) U Q e N U (Z ∩ Q)

é:
o N
o Ø
o Q
o R
o Z
o Resposta/Solução
o

Observe que:

R ∩ C = R

pois R - o conjunto dos números reais - está contido em C - o conjunto dos números complexos.

De modo semelhante podemos concluir que:

(N ∩ Z) U Q = N U Q = Q

N U (Z ∩ Q) = N U Z = Z

Logo a intersecção dos três conjuntos é:

R ∩ Q ∩ Z = Z
*

(CESCEA-69) Dados os conjuntos A = {a,b,c}, B = {b,c,d} e C = {a,c,d,e}, o conjunto

(A - C) U (C - B) U (A ∩ B ∩ C)

é:
o {a,b,c,e}
o {a,c,e}
o A
o {b,d,e}
o {b,c,d,e}
o Resposta/Solução
o

Primeiro vamos determinar o resultado de cada operação entre colchetes. Assim:

A - C = {b} - conjunto dos elementos que estão em A mas não estão em C.

C - B = {a,e} - conjunto dos elementos que estão em C mas não estão em B.

A ∩ B ∩ C = {a,b,c}∩ {b,c,d}∩ {a,c,d,e} = {c} - o único elemento comum aos três conjuntos.

Logo a união dos três conjuntos é igual a:

{a,b,c,e}
* (CESCEA-72) Dados os conjuntos A = {1,2,-1,0,4,3,5} e B = {-1,4,2,0,5,7} assinale a afirmação verdadeira:
o A U B = {2,4,0,-1}
o A ∩ (B - A) = Ø
o A ∩ B = {-1,4,2,0,5,7,3}
o (A U B) ∩ A = {-1,0}
o Nenhuma das respostas anteriores

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