Proporção

Proporções - Introdução

Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.
Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade é uma proporção. Assim:

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Propriedade fundamental das proporções

Observe as seguintes proporções:

	Produto dos meios = 4.30 = 120 Produto dos extremos = 3.40 = 120
	Produto dos meios = 9.20 = 180 Produto dos extremos = 4.45 = 180
	Produto dos meios = 8.45 = 360 Produto dos extremos = 5.72 = 360

De modo geral, temos que:

Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Aplicações da propriedade fundamental

Determinação do termo desconhecido de uma proporção
Exemplos:

• Determine o valor de x na proporção:

Solução:
5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental)
5 . x = 120

x = 24
Logo, o valor de x é 24.

• Determine o valor de x na proporção:

Solução:
5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental)
5x - 15 = 8x + 4
5x - 8x = 4 + 15
-3x = 19
3x = -19 x =
Logo, o valor de x é .

• Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.

Solução:
(aplicando a propriedade fundamental)
5 . x = 8 . 35
5x = 280

x = 56
Logo, o valor de x é 56.
Resolução de problemas envolvendo proporções
Exemplo:

• Numa salina, de cada metro cúbico (m³) de água salgada, são retirados 40 dm³ de sal. Para obtermos 2 m³ de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?

Solução:
A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada.
Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:

Lembre-se que 40dm³ = 0,04m³.
(aplicando a propriedade fundamental)
1 . 2 = 0,04 . x
0,04x = 2

x = 50 m³
Logo, são necessários 50 m³ de água salgada.

Quarta proporcional

Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que:

Exemplo:

• Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6.

Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:
(aplicando a propriedade fundamental)
8 . x = 12 . 6
8 . x = 72

x = 9
Logo, a quarta proporcional é 9.

Proporção contínua

Considere a seguinte proporção:
Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção contínua. Assim:

Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais.

De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:

Terceira proporcional
Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que:

Exemplo:
Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10.
Solução
Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção:
(aplicando a propriedade fundamental)
20 . x = 10 . 10
20x = 100

x = 5
Logo, a terceira proporcional é 5.
Média geométrica ou média proporcional
Dada uma proporção contínua , o número b é denominado média geométrica ou média proporcional entre a e c. Exemplo:

• Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20.
  Solução:

5 . 20 = b . b
100 = b²
b² = 100
b =
b = 10
Logo, a média geométrica positiva é 10.

Propriedades das proporções

1ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

Demonstração Considere as proporções:

Adicionando 1 a cada membro obtemos:

Exemplo:

• Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84.
  Solução:

Assim:

x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36.
Logo, x=36 e y=48.
2ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

Demonstração Considere as proporções:

Subtraindo 1 a cada membro obtemos:
	(Mult. os 2 membros por -1)

Exemplo:

• Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção .
  Solução:

Pela 2ª propriedade temos que:

x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30.
Logo, x=30 e y=12.
3ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.

Demonstração Considere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

4ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.

Demonstração Considere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

Exemplo:

• Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção .
  Solução:

Pela 4ª propriedade, temos que:


5ª propriedade:

Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.

Demonstração Considere a proporção:

Multiplicando os dois membros por , temos:

Assim:

Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo:

Proporção múltipla

Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:
é uma proporção múltipla.
Dada a série de razões iguais , de acordo com a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever:

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