Potenciação

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com.br

Representamos por aⁿ, a potência de base real a e expoente inteiro n.

Definimos a potência an nos casos abaixo:

• 1º caso: Expoente inteiro maior que 1.

Potência de expoente inteiro maior que 1 é o produto de tantos fatores iguais à base quantas forem as unidades do expoente.

Assim:

Exemplos:

a) 4³ = 4 · 4 · 4 = 64

b) 1⁵ = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1

c) (–2)⁴= (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16

d)

• 2º caso: Expoente 1

Toda potência de expoente 1 é igual à base.

Assim:

Exemplos

a) 5¹ = 5

b)

• 3º caso: Expoente zero

Toda potência de expoente zero é igual a 1.

Assim:

Exemplos

a) 5⁰ = 1

b) = 1

• 4º caso: Expoente inteiro negativo

Toda potência de expoente inteiro negativo e base não-nula é igual à potência de base igual ao inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado.

Assim:

Exemplos:

a)

b)

c)

Observação:

Sendo n um número inteiro, temos:

1a) a = 0 e n > 0 aⁿ = 0
2a) a = 0 e n < src="http://www.vestibulandoweb.com.br/matematica/teoria/seta-direita.gif" alt="seta" height="15" width="13"> aⁿ R
3a) a > 0 aⁿ > 0
4a) a <>n par aⁿ > 0
5a) a <>n ímpar aⁿ <>

2. Propriedades

Consideremos os números reais a e b, e os números naturais m e n. Então são válidas as seguintes propriedades.

• P1: Produto de potências de mesma base

Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.

Justificativa:

=

Assim: a^m · aⁿ = a^m+n.

Exemplos:

a) 2³ · 2⁵ = 2³⁺⁵ = 28

b) 4^x · 4^-x+2 = 4^x+(-x+2) = 42

c) 3 · 3² · 3⁶ = 3¹⁺²⁺⁶ = 39

• P2: Quociente de potências de mesma base

Para dividirmos potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

Justificativa:

1o. Sendo m > n, temos

2o. Se m = n, = 1= a^(m-n) = a⁰ = 1

3o. Se = a (m - n)

Exemplos:

a) = 2^6-2 = 24

b) = 5^x-2

c) = 4^(x+2)-(x-3) = 45

• P3: Produto de potências de mesmo expoente

Para multiplicarmos potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e multiplicamos as bases.

Justificativa

Assim: aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ.
Exemplos
a) 2⁴ · 8⁴ = (2 · 8)⁴ = 16⁴
b) x³ · y³ · z³ = (x · y · z)³
• P4: Quociente de potências de mesmo expoente
Para dividirmos potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e dividimos as bases.

Justificativa:


Assim:


Exemplos:
a)
b)

• P5: Potência de uma potência
Para elevarmos uma potência a um novo expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

Justificativa:



Exemplos:
a) (23)² = 2^2.2 = 26
b) = 3^2.3.2 = 3¹²

Observação
As propriedades apresentadas podem ser estendidas para os expoentes m e n inteiros.
Exemplos
a) 2³ · 2^-2 = 2^{3 + (-2)} = 2¹ (P1)
b) = 5^{2 - (-3)} = 5^{2 + 3} = 5⁵ (P2)
c) 5^-3 · 2^-3 = (5 · 2)^-3 = 10^-3 (P3)
d) (P4)
e) (P5)

Situações Especieais
A. (– a)ⁿ e –aⁿ

As potências (–a)ⁿ e –aⁿ , em geral, apresentam resultados diferentes, pois:



Exemplos
a) (–2)⁴ = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16
b) –2⁴ = – 2 · 2 · 2 · 2 = –16
c) (–2)³ = (–2) · (–2) · (–2) = –8
d) –2³ = – 2 · 2 · 2 = –8
B.
As potências , em geral, apresentam resultados diferentes, pois:

e


Exemplos
a) = (32) · (32) · (32) = 32 · 3 = 36
b) = 32 · 2 · 2 = 38