Determinantes: Teorema de Laplace

Pierre Simon, Marquis de Laplace (Beaumont-en-Auge, 23 de março de 1749 — Paris, 5 de março de 1827) foi um matemático, astrônomo e físico francês que organizou a astronomia matemática, sumarizando e ampliando o trabalho de seu predecessores nos cinco volumes do seu Mécanique Céleste (Mecânica celeste) (1799-1825). Esta obra-prima traduziu o estudo geométrico da mecânica clássica usada por Isaac Newton para um estudo baseado em cálculo, conhecido como mecânica física.

Ele também formulou a equação de Laplace. A transformada de Laplace aparece em todos os ramos da física matemática, campo em que teve um papel principal na formação. O operador diferencial de Laplace, da qual depende muito a matemática aplicada, também recebe seu nome.

Ele se tornou conde do Império em 1806 e foi nomeado marquês em 1817, depois da restauração dos Bourbons.

No campo da álgebra linear, o teorema de Laplace, é um teorema matemático utilizado para simplificar o cálculo de determinantes em matriz quadrada, proporcionando a possibilidade de decompô-lo em números menores.

Determinante é o número que se associa a uma matriz quadrada; de modo geral, um determinante é indicado escrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou antepondo a matriz o símbolo “det”.

Para aplicar o teorema de Laplace é necessário escolher uma fila (linha ou coluna da matriz), adicionando desse modo os produtos dos elementos desta fila ao cofatores correspondentes.

O determinante de uma matriz quadrada pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz pelos respectivos cofatores.

Desta forma, fixando , tal que , temos:

em que é o somatório de todos os termos de índice , variando de 1 até , .

Através do desenvolvimento do teorema de Laplace podemos desenvolver o determinante n X n-matriz depois de uma linha ou coluna. Assim, a seguir, teremos duas fórmulas.

O primeiro teorema de Laplace afirma que “o determinante de uma matriz quadrada A é igual à soma dos elementos de qualquer linha de seus complementos algébricos”.

para toda a linha.


Da mesma forma, o segundo teorema de Laplace afirma que “o determinante de uma matriz quadrada A é igual à soma dos elementos de qualquer coluna para o seu complemento algébrico”.

Assim, através da fórmula,

para qualquer coluna j

Conclui-se a partir daí que:

a) O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos valores na diagonal.

b) O determinante de uma matriz triangular é ainda o produto da diagonal.

c) Os autovalores de uma matriz triangular são os elementos na diagonal.



Um caso concreto de aplicação do Teorema de Laplace refere-se ao produto vetorial partindo de dois vetores “u” e “v”:

temos então o produto vectorial de ambos como outro vetor:

Que se calcula com a seguinte determinante:

Desenvolvendo-se por meio do Teorema de Laplace:

Exemplo:

Calcule o determinante a seguir utilizando o Teorema de Laplace:

Aplicando o Teorema de Laplace na coluna 1, temos:

Observação

Se calcularmos o determinante utilizando a Regra de Sarrus, obteremos o mesmo número real.

REFERÊNCIAS
http://www.mundofisico.joinville.udesc.br
http://w3.ualg.pt/~gmarques/Ficheiros/determinantes25-29-w.pdf
http://www.infoescola.com