Polinômios

Como P(x) é divisível por (x – 1) e o quociente nesta divisão é divisível por (x – 2), concluímos que P(x) é divisível por (x – 1) · (x – 2). 2a) No caso particular, se b = a, as divisões sucessivas permitem verificar se P(x) é divisível por (x – a)2, (x – a)3, etc. Exemplo Calcular a e b para que P(x) = x4 + x2 + ax + b seja divisível por (x – 1)2. Resolução Dividimos P(x) por (x – 1), e o quociente encontrado também dividimos por (x – 1). Os restos nas duas divisões devem ser nulos. Devemos ter: Resolvendo o sistema, encontramos: a = –6 e b = 4 Exercícios Resolvidos 01. (FGV-SP) Para que o polinômio P(x) =x3 – 8x + mx – n seja divisível por (x + 1)(x – 2), o produto m · n deve ser igual a:b a)  – 8 b)    10 c) – 10 d)    8 e) – 6 Resolução Condição: P(–1) = 0 e P(2) = 0 Resposta: B

02. Determine a e b de modo que o polinômio P(x) = x3 + ax + b seja divisível por (x – 1)2. Resolução  a = -3 e b = 2 03. (UFSC-SC) Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x – 2) dá resto 6. O resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1) · (x – 2) é da forma ax + b, com a, b  R. Obter o valor numérico da expressão a + b. Resolução P(x) ÷ (x + 1)  r = P (–1)  P (–1) = 3 P(x) ÷ (x – 2)  r = P (2)  P (2) = 6 R(x) = ax + b P(x) = (x + 1) (x – 2) Q (x) + ax + b P (–1) = 3  – a + b = 3 P (2) = 6  2 a + b = 6  a = 1 e b = 4 a + b = 5 interna.coceducacao.com.br