Números complexos

Adição:
Sejam z₁ = a + bi   e   z₂ = c + di, a soma z₁ + z₂ é dada por:
z₁ + z₂ = ( a + c ) + ( b + d ) i

Propriedades da adição de complexos

i) associativa:  z₁, z₂, z₃  , tem-se:
z₁ + ( z₂ + z₃ ) = ( z₁ + z₂ ) + z₃

ii) comutativa:  z₁, z₂  , tem-se:
z₁ + z₂ = z₂ + z₁

iii) elemento neutro:  z  , tem-se:
z + 0 = 0 + z = z ( onde 0 = 0 + 0i  é o elemento neutro )

iv) oposto:  z = a + bi  , tem-se:
O oposto de z é –z, que é dado por –z = – a – bi.

Subtração:
Não se faz a subtração, mas sim a adição com o oposto, neste caso:
z₁ – z₂ = z₁ + ( – z₂ ) = ( a + bi ) + ( – c – di ) = ( a – c ) + ( b – d ) i.

Multiplicação:
Sejam z₁ = a + bi   e   z₂ = c + di, o produto z₁ . z₂ é dado por:
a + bi
c + di
ac + bci + adi + bdi²   ( onde i² = – 1 )
ac – bd + adi + bdi

z₁ . z₂ = ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i

Propriedades da multiplicação de complexos

i) associativa:  z₁, z₂, z₃  , tem-se:
z₁ . ( z₂ . z₃ ) = ( z₁ . z₂ ) . z₃

ii) comutativa:  z₁, z₂  , tem-se:
z₁ . z₂ = z₂ . z₁

iii) elemento neutro:  z  , tem-se:
z . 1 = 1 + z = z ( onde 1 = 1 + 0i  é o elemento neutro )

iv) elemento inverso:  z = a + bi  , tem-se:
O inverso de z é z^–1, que é dado por z^–1 = (a – bi )/(a² + b²).

v) Distributiva em relação à adição:  z₁, z₂, z₃  , tem-se:
z₁ . ( z₂ + z₃ ) = ( z₁ . z₂ ) + (z₁ . z₃)

Conjugado:
O conjugado do complexo z = a + bi   é    = z' = a – bi   ( muda apenas o sinal da parte imaginária )

Divisão:
Sejam z₁ = a + bi   e   z₂ = c + di, o quociente z₁ / z₂ é dado pelo produto do conjugado do denominador a ambos os complexos:
z₁ / z₂ = ( z₁ . z'₂ ) / ( z₂ . z'₂ )

 =  =  =  =

Módulo

O módulo de um número complexo z = a + bi, é geometricamente a distância entre a sua imagem e a origem do sistema de Argand-Gauss, e algebricamente igual a raiz quadrada da soma dos quadrados das partes real e imaginária.

| z | =    ( rô )

Plano de Argand-Gauss:

(a, b) é a imagem ou afixo do número complexo  z = a + bi.

| z | =  =    ( o módulo é um número real positivo ).

Argumento

O argumento é o ângulo, normalmente em radianos, formado pela reta que forma o módulo e o eixo real.
arg(z) = 

Neste caso tem-se que:
cos  = a / 
sen  = b / 
tg  = b / a

Logo, o argumento pode ser encontrado através de uma das igualdades abaixo:
 = arg (z) = arc cos ( a /  )
 = arg (z) = arc sen ( b /  )
 = arg (z) = arc tg ( b / a )

Forma trigonométrica ou polar

O complexo z = a + bi (forma algébrica) escrito na forma trigonométrica ou forma polar é dado por:
z =  . ( cos  + i . sen  ).

O oposto de z  é  – z =  . [ – cos ( – ) + i . sen ( – ) ].

O conjugado de z  é   =  . [ cos ( – ) + i . sen ( – ) ].

Operações na forma polar

Multiplicação:
Dados z₁ = ₁ . ( cos ₁ + i . sen ₁ )   e   z₂ = ₂ . ( cos ₂ + i . sen ₂ ), o produto z₁ . z₂ é dado por:
z₁ . z₂ = ₁ . ₂ [ cos ( ₁ + ₂ ) + i . sen ( ₁ + ₂ ) ].

Divisão:
Dados z₁ = ₁ . ( cos ₁ + i . sen ₁ )   e   z₂ = ₂ . ( cos ₂ + i . sen ₂ ), o quociente z₁ / z₂ é dado por:
z₁ / z₂ = ₁ / ₂ [ cos ( ₁ – ₂ ) + i . sen ( ₁ – ₂ ) ].

Potencia ção:
Seja z =  . ( cos  + i . sen  )  e  "n" um número natural, então zⁿ = ⁿ . [ cos ( n .  ) + i . sen ( n .  ) ]

Radicia ção:
Seja z =  . ( cos  + i . sen  )  e  "n"  um número natural, cada uma das "n" raízes de z é dada pela fórmula de De Moivre para a radiciação:
z_k =  . ( cos  + i . sen  ), com k = 0, 1, 2, . . . , n – 1.

Exemplo:
As raízes cúbicas de z = – 8 são dadas por:

Encontrando o módulo de z:
| z |² = (– 8)² + 0² = 64

Então, | z | = 8

Encontrando o argumento de z:
cos  = –8/8 = –1
sen  = 0/8 = 0

arg(z) =  = arc cos (–1) = 

Escrevendo na forma polar tem-se:
z = 8 ( cos  + i . sen  )

As raízes são:
Para k = 0 tem-se:
z₀ =  [ cos ( /3 ) + i . sen ( /3 ) ] = 2 . [ /2 + i . (1/2) ] =  + i.

Para k = 1 tem-se:
z₁ =  [ cos ( 3/3 ) + i . sen ( 3/3 ) ] = 2 . [ cos (  ) + i . sen (  ) ] = 2 . ( – 1 + i . 0) = – 2.

Para k = 2 tem-se:
z₂ =  [ cos ( 5/3 ) + i . sen ( 5/3 ) ] = 2 . [ cos ( /3 ) – i . sen ( /3 ) ] = 2 . ( /2 – i . (1/2) =  – i.

Obs.:   sen ( 5/3 ) = – sen ( /3 )

Exercícios Resolvidos

R01 — Calcule: 4i¹²⁴¹ – 5i³¹¹ + 2i³³² + i³⁴.

As potências de se repetem de 4 em 4 bastando, portanto, encontrar o resto da divisão das potências por 4, assim:
1241 dividido por 4 terá como resto 1, então i¹²⁴² = i¹
311 dividido por 4 terá como resto 3, então i³¹¹ = i³
332 dividido por 4, resto 0, então i³²² = i⁰
34 dividido por 4, resto 2, então i³⁴ = i²

4i¹²⁴¹ – 5i³¹¹ + 2i³³² + i³⁴ =
4i¹ – 5i³ + 2i⁰ + i² =
4 . i – 5(– i) + 2 . 1 + (– 1) = 4i + 5i + 2 – 1 = 1 + 9i.

R02 — Qual o valor real de k para que o número z = ( ki + 2 ) . ( k – 2i ) seja real?

Resolvendo o produto ( ki + 2 ) . ( k – 2i ), tem-se:
k²i – 2ki² + 2k – 4i =
– 2k(–1) + 2k + k²i – 4i =
2k + 2k + (k² – 4) i =
4k + (k² – 4) i.
Assim, para que seja real a parte imaginária tem que ser zero, logo:
k² – 4 = 0
k² = 4
k = ± 
k' = 2 e k'' = – 2.

R03 — Dados z₁ = – 4 + 3i; z₂ = – 5 – 2i   e   z₃ = – 1 + i, calcule z₂ – z₁ . z₃ .

Primeiro calcula-se z₁ . z₃ =
(– 4 + 3i) . (– 1 + i) = (– 4) . (– 1) + (3i . i) + (– 4 . i + 3i . (– 1)) = 4 – 3 + (– 4 – 3) i = 1 – 7i.

z₂ – z₁ . z₃ = – 5 – 2i – (1 – 7i) = – 5 – 1 – 2i + 7i = – 6 + 5i.

R04 — Obtenha o argumento do complexo z = –  – i .  .

Primeiro encontra-se o módulo de z:
| z | =  =  = 2

cos  = – /2
sen  = – /2

 = arc cos ( – /2 )    e     = arc sen ( – /2 )

 = 225° = 5/4   radianos.

R05 — Escreva na forma polar o conjugado do complexo  z = 1 – i  .

O módulo de "z" é:
| z | =  =  = 2

cos  = 1/2
sen  = – /2

 = arc cos ( 1/2 )    e     = arc sen ( – /2 )

 = 300° = 5/3   radianos.

Logo,  z = 2 . [ cos ( 5/3 ) + i . sen ( 5/3 ) ].

R06 — Escreva na forma algébrica o complexo z =  ( cos  + i sen  )

Como o  cos ( /4 ) = /2   e    sen ( /4 ) = /2, tem-se:

z =  . ( /2 + i /2 ) = 1 + i.

R07 — Determine a parte real do número complexo  z = ( 1 + i )²⁰.

Como  ( 1 + i )²⁰ = [ ( 1 + i )² ]¹⁰ tem-se:

( 1 + i )² = 1² + 2 . 1 . i + i² = 1 + 2i – 1 = 2i.

[ ( 1 + i )² ]¹⁰ = ( 2i )¹⁰ = 2¹⁰ . i¹⁰ = 1024 . i² = – 1024.

R08 — Qual o complexo "z" tal que  z + 3 .  = 8 + 10 i.

Sendo  z = a + bi,  então,   = a – bi,  daí:
z + 3 .  = 8 + 10 i
a + bi + 3(a – bi) = 8 + 10i
4a – 2bi = 8 + 10i
Assim, 4a = 8   e   –2b = 10
Logo, a = 2   e   b = – 5

Portanto, z = 2 – 5i.

R09 — Dados z₁ = 3  ( cos  + i sen  )   e   z₂ = 5 ( cos  + i sen  ),  calcule   .

Calculando ₁ / ₂ = 3 /5

Calculando ₁ – ₂ = 3/4 – 7/6 = 9/12 – 14/12 = – 5/12

Como deu negativo soma-se 2    ( uma volta )
– 5/12 + 2 = 19/12 rad.

Portanto, z₁/z₂ = 3 /5 [ cos ( 19/12 ) + i sen ( 19/12 ) ].

R10 — Dado o complexo  z = 2 [ cos ( 5/6 ) + i . sen ( 5/6 ) ],  calcule   z⁶.

Primeiro calcula-se | z |⁶ = 2⁶ = 64

Depois, calcula-se n . arg(z) = 6 . 5/6 = 5

Como passou de 2, subtrai-se até a primeira volta ( tira-se 4 )
5 – 4 =  rad.

Portanto, z⁶ = 64 ( cos  + i . sen  ).

Exercícios Propostos

P01 — Calcule: 3i²³⁵² – 4i³⁰¹¹ + 5i²³¹² + i³⁴³⁷ + 7i⁸⁹² + 2i¹⁰²⁵.

P02 — Calcule o valor de (2 – i)².

P03 — Determine o valor de k, para que z = (k² – k – 6) + (k² – 9) i  seja um imaginário puro.

P04 — Dados z₁ = – 3 + 2i  e  z₂ = 5 + 4i,  calcule  z₂ – z₁.

P05 — Dados z₁ = – 4 + i  e  z₂ = – 3 – 4i,  calcule  z₂ . z₁.

P06 — Dados z₁ = 3 – 4i  e  z₂ = – 2 + 2i,  calcule  z₂ / z₁.

P07 — Represente no plano de Argand-Gauss o complexo z = – 5 – 4 i.

P08 — (UFU-MG) Sejam os complexos z = 2x – 3i e t = 2 + yi, onde x e y são números reais. Se z = t, então o produto x . y é:
a) 6                   b) 4                   c) 3                   d) – 3                   e) – 6

P09 — (PUC-MG) O quociente de (8 + i)/(2 – i) é igual a:
a) 1 + 2i                   b) 2 + i                   c) 2 + 2i                   d) 2 + 3i                   e) 3 + 2i

P10 — (FESP/UPE) Seja z = 1 + i, onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z⁸ é igual a:
a) 16                   b) 161                   c) 32                   d) 32i                   e) 32 + 16i

P11 — Determine o número natural n tal que (2i)ⁿ + (1 + i)²ⁿ + 16i = 0.

P12 — Dados z₁ = 3 + 2i  e  z₂ = 4 + 2i,  calcule  z₁ / z₂.

P13 — Determine o número complexo "z" tal que i . z + 2 .  + 1 – i = 0.

P14 — Calcule o valor de: 1 + i + i² + i³ + i⁴ + . . . + i¹⁰⁰.

P15 — Escreva na forma polar o complexo  z = 2 – 2i.

P16 — Escreva na forma algébrica o complexo z = 2 [ cos ( 4/3 ) + i . sen ( 4/3 ) ].

P17 — Calcular na forma polar o produto de  z₁ = 2 – 2i por  z₂ = – 5 + 5 i.

P18 — Seja z = –  + i, calcule z⁴.

P19 — Dados z₁ = 3 . ( cos 2/3 + i sen 2/3 )  e   z₂ = 5 . ( cos /6 + i sen /6 ),  calcule   z₁. z₂.

P20 — Dados z₁ = 2 . ( cos 3/4 + i sen 3/4 )  e   z₂ = 4 . ( cos 4/3 + i sen 4/3 ),   calcule  z₁ / z₂.

P21 — Sendo z = 4 ( cos /3 + i sen /3 ) calcule z⁵.

P22 — Determine as raízes cúbicas de z = – i.

P23 — Encontre as raízes quádruplas z = – 1.

fonte:hpdemat.apphb.com