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Teoria dos Logaritmos
1. DEFINIÇÃO
Sejam a e b números reais positivos diferentes de zero e b1. Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que bx = a:
logb a = x bx = az
Na sentença logb a = x temos:
a) a é o logaritmando;
b) b é a base do logaritmo;
c) x é o logaritmo de a na base b.
Exemplos:
Observação 1: Quando a base não vier expressa, fica subentendido que esta vale 10.
Exemplos:
a) log 3 = log 10 3
b) log 20 = log10 20
Condições de existência
a) A base tem de ser um número real positivo e diferente de 1.
b) O logaritmando tem de ser um número real positivo.
2. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
a) O logaritmo de um número, na base de valor igual a ele mesmo, é sempre igual a 1.
logb b = 1.
Exemplo:
log8 8 = 1.
b) O logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a 0.
logb 1 = 0
Exemplo:
log9 1 = 0
c) Logaritmo de uma potência
logb ay = y. logb a
Exemplo:
Log2 34 = 4. log2 3
d) O logaritmo de um número b, na base b, elevado a um expoente x é sempre igual a x.
logb bx = x
Exemplo:
Log3 37 = 7
e) Um número b, elevado ao logaritmo de a na base b, é sempre igual a a.
blogb a = a
Exemplo:
7log7 13 = 13
f) Logaritmo do produto:
logc (m . n) = logc m + logc n, sendo m > 0, n > 0 e b 1.
Exemplo:
log2 (4 . 3) = log2 4 + log2 3
g) Logaritmo do quociente:
3. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
É toda função f: que associa a cada x o logaritmo, na base b, de x:
f(x) = logb x
Exemplos:
a) f(x) = log3 x
b) g(x) = log1/3 x
Gráficos da função logarítmica
loga x2).
d) Quando 0 < a <1, a função logarítmica é decrescente (x1 > x2 loga x1 < loga x2). 4. EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Para resolver equações logarítmicas, devemos aplicar as propriedades e, em seguida, verificar se os valores obtidos para a incógnita estão de acordo com as condições de existência estabelecidas. Exemplo: Resolver a equação log2 x + log2 2x = 3. Solução: Condições de existência: Aplicando a propriedade do logaritmo do produto, e a definição de logaritmo, temos: log2 x + log2 2x = 3 →log2 (x . 2x) = 3 → log2 2x2 = 3 →23 = 2x2 →8 = 2x2 → x2 = 4→ x = 2 ou x = -2 Comparando os valores obtidos com as condições de existência estabelecidas, verificamos que – 2 é um valor impróprio. Logo: V = {2} Ao estudarmos as inequações logarítmicas, devemos ter cuidados especiais com as restrições a que deve estar submetida a incógnita. Na resolução das inequações, procuraremos obter logaritmos de mesma base nos dois membros. A partir disso, trabalharemos apenas com os logaritmandos, usando o fato de a função ser crescente ou decrescente: a) mantendo para eles o mesmo sinal da inequação quando a base for maior que 1, pois a função é crescente; b) invertendo para eles o sinal da inequação quando a base estiver entre 0 e 1, pois a função é decrescente. Exemplo: Resolver log2 (x + 1) > log2 6
Aplicação
O número real x que satisfaz a equação
log2(12 - 2x) = 2x é:
Solução:
log2(12 - 2x) = 2x
12 - 2 = 22x
22x + 2x - 12 = 0
(2x)2 + 2x - 12 = 0
Substituindo 2x por y, temos:
y2 + y - 12 = 0
Resolvendo a equação do 2.º grau acima, temos:
y’ = -4 ; y’’ = 3
2x = -4
2x = 3 x = log23
Questão 1:
(VUNESP) Sejam a, b, c números reais estritamente positivos, distintos entre si. Se log a, log b e log c são termos consecutivos de uma progressão aritmética, então:
a, b, c é uma progressão aritmética.
a, b, c é uma progressão geométrica.
a + c = b
a < b < c c < b < a Questão 2: (PUC–MG) Com relação aos gráficos das funções f(x) = ax e g(x) = loga x, onde a e a > 1, é correto afirmar que:
se interceptam num único ponto;
são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares;
são simétricos em relação ao eixo das ordenadas;
são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes pares;
são simétricos em relação ao eixo das abscissas;
Questão 3:
(ITA–SP) Seja a um número real, > tal que ( + 1)m = 2p onde m é um número inteiro positivo maior que 1 e p = m [log2 m] [log (2 - 5)]. O valor de é:
(ITA–SP) Seja a um número real, > tal que ( + 1)m = 2p onde m é um número inteiro positivo maior que 1 e p = m [log2 m] [log (2 - 5)]. O valor de é:
(ITA–SP) Seja a um número real, > tal que ( + 1)m = 2p onde m é um número inteiro positivo maior que 1 e p = m [log2 m] [log (2 - 5)]. O valor de é:
(ITA–SP) Seja a um número real, > tal que ( + 1)m = 2p onde m é um número inteiro positivo maior que 1 e p = m [log2 m] [log (2 - 5)]. O valor de :
3;
5;
32;
não existe apenas um valor de a nestas condições.
Questão 4:
(ITA-SP) Dada a equação 32x + 52x – 15x = 0, podemos afirmar que:
não existe x real que a satisfaça;
x = log3 5 é solução desta equação;
x = log6 3 é solução desta equação;
x = log3 51 é solução desta equação;
x = 3log5 15 é solução desta equação.
Questão 5:
(FGV–SP) A equação logarítmica log2 (x + 1) + log2 (x – 1) = 3 admite:
uma única raiz irracional;
duas raízes opostas;
duas raízes cujo produto é – 4;
uma única raiz e negativa;
uma única raiz e maior do que 2.
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