Números naturais

O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.

Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Para saber mais, clique nos links: Notas históricas sobre o zero ou Notação Posicional. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o belíssimo livro: "História Universal dos Algarismos, Tomos I e II, Edit. Nova Fronteira, 1998 e 1999", de Georges Ifrah.

Na seqüência abaixo consideraremos como naturais tendo início com o número zero e escreveremos este conjunto como:

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.

Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por N*, isto é:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

A construção dos Números Naturais

Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.

Exemplos:

O sucessor de m é m + 1 se, m é um número natural.

O sucessor de 0 é 1.

O sucessor de 1 é 2.

O sucessor de 19 é 20.

Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

Exemplos:

1 e 2 são números consecutivos

5 e 6 são números consecutivos

50 e 51 são números consecutivos

Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 são números consecutivos

5, 6 e 7 são números consecutivos

50, 51, 52 e 53 são números consecutivos

Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).

Exemplos:

O antecessor de m é m-1 se, m é um número natural finito diferente de zero.

O antecessor de 2 é 1.

O antecessor de 56 é 55.

O antecessor de 10 é 9.

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação seqüência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:

P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a seqüência dos números ímpares.

I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}

Igualdade e Desigualdades

Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por:

(lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto.

Exemplo com igualdade:

Notamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.

Vamos considerar agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos. Neste caso, dizemos que A é diferente de B.

Sejam A = {a,b,c,d} e B = {1,2,3,d}. Estes conjuntos são diferentes pois nem todos os elementos do conjunto A estão em B e nem todos os elementos do conjunto B estão em A.

Não podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto.

Exercício: Coloque um dos três sinais: <, > ou = em cada linha da tabela abaixo.

159 170

852 321

587 587

Exercício: Representar cada conjunto analiticamente, isto é, através de alguma propriedade e depois por extensão, apresentando os elementos:

N : Conjunto dos Números Naturais

P : Conjunto dos Números Naturais Pares

I : Conjunto dos Números Naturais Ímpares

E : Conjunto dos Números Naturais menores que 16

L : Conjunto dos Números Naturais maiores que 11

R : Conjunto dos Números Naturais maiores ou iguais a 28

C : Conjunto dos Números Naturais que estão entre 6 e 10

Operações com Números Naturais

Na seqüência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.

A adição de números naturais

A primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.

Propriedades da Adição

Fechamento

A adição é fechada no conjunto dos números naturais, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.

Associativa

A adição é associativa no conjunto dos números naturais, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.

Elemento neutro

Na adição de números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.

Comutativa

A adição é comutativa no conjunto dos números naturais, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.

Multiplicação de Números Naturais

É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.

Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:

4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36

O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal x ou · ou × para representar a multiplicação.

Propriedades da multiplicação

Fechamento

A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais númros naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.

Associativa

Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.

(m.n).p = m.(n.p)

(3.4).5 = 3.(4.5) = 60

Elemento Neutro

No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:

1.n = n.1 = n

1.7 = 7.1 = 7

Comutativa

Na multiplicação de dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que se multiplicarmos o segundo elemento pelo primeiro elemento.

m.n = n.m

3.4 = 4.3 = 12

Propriedade Distributiva

Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.

m . ( p + q ) = m . p + m . q

6 x ( 5 + 3 ) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48

Divisão de Números Naturais

Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.

Relações essenciais numa divisão de números naturais

Numa divisão de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.

35 : 7 = 5

Numa divisão de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.

35 = 5 x 7

A divisão de um número natural n por zero não tem sentido pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever:

n ÷ 0 = q

e isto significa que:

n = 0 x q = 0

o que não é correto, logo a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.

Exercício: Substituindo X por 6 e Y por 9, qual o valor da soma do dobro de X pelo triplo de Y.

Potenciação de Números Naturais

Dados dois números naturais x e y, a expressão xy, representa um produto de y fatores iguais ao número x, ou seja:

xy = x . x . x . x ... x . x . x

y vezes

O número que se repete como fator denomina-se base que neste caso é x. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é y. O resultado denomina-se potência. Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais.

Exemplos:

23 = 2 . 2 . 2 = 8

43 = 4 . 4 . 4 = 64

Propriedades da Potenciação

Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotado por 1n, será sempre igual a 1.

Exemplos:

1n = 1 . 1 ... 1 (n vezes) = 1

13 = 1 . 1 . 1 = 1

17 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1

Se n é um número natural diferente de zero, então a potência no será sempre igual a 1.

Exemplos:

n0 = 1

50 = 1

490 = 1

A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é uma expressão carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental. O visitante que necessitar aprofundamento neste assunto, deve visitar o nosso link Quanto vale zero elevado a zero?

Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotado por n1 é igual ao próprio n.

Exemplos:

n1 = n

51 = 5

641 = 64

Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.

Exemplos:

103 = 1000

108 = 100.000.000

100 = 1

Números grandes

No livro "Matemática e Imaginação", o matemático americano Edward Kasner apresentou um número denominado googol que pode ser representado por 1 seguido de 100 zeros.

1 Googol = 10100

Ele pensou que este era um número superior a qualquer coisa que passasse pela mente humana sendo maior do que qualquer coisa que pode ser posta na forma de palavras. Um googol é um pouco maior do que o número total de partículas elementares conhecidas no universo, algo da ordem de 1080. Se o espaço com estas partículas fosse comprimido de uma forma sólida com neutrons, este ficaria com algo em torno de 10128 partículas.

Um outro matemático criou então o googolplex e o definiu como sendo 10 elevado ao googol.

1 Googolplex = 10Googol = 1010100

Exercícios

Na figura ao lado, coloque os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos círculos, de tal modo que a soma de cada lado seja sempre igual a 10.

Um gavião viu um grupo de pombos, chegou perto deles e disse:

Olá minhas 100 pombinhas.

Uma delas respondeu:

Não somos 100 não meu caro gavião, seremos 100, nós, mais dois tantos de nós e mais você meu caro gavião.

Quantos pombos há neste grupo?

Três homens querem atravessar um rio. O barco que eles possuem suporta no máximo 150 kg. Um deles pesa 50 kg, o segundo pesa 75 kg e o terceiro pesa 120 kg. Qual será o processo para eles atravessarem o rio sem afundar?

Forme um quadrado mágico com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 tal que, a soma dos números de qualquer linha, qualquer coluna ou qualquer diagonal deverá ser sempre igual a 15.
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