Logaritmos

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Logaritmo podem simbolizar potência de outra forma. Como 10 ao quadrado = 100, então log 100 = 2.
Eles são mais curtos que as potências.
Imagine que as potências indiquem a altura de um foguete que, depois de lançado, atinge 10 m em 1 segundo, 100 m em 2 segundo, e assim sucessivamente. O tempo é sempre o logaritmo da altitude.
Se o foguete está a 10.000 m acima do solo, a sua altura é 4. Portanto, o logaritmo de 10.000 é 4.

O que é logaritmo e onde utilizá-lo ?

A palavra logaritmo originou-se das palavra gregas Logos (razão) e arithmos (números).
No século XVII, havia dificuldades na elaboração de cálculos devido principalmente às operações de multiplicação, divisão e potenciação.
Burgi, em 1620, e John Napier, em 1614, publicaram as primeiras tabelas de logaritmos, cuja finalidade era a simplificação de cálculos numéricos complicados.
Embora as tabelas de logaritmos não seja tão usadas atualmente como instrumento de cálculo, os logaritmos são de grande importância em diversas áreas, por exemplo, na medição de terremotos.
Para compreendermos melhor o que é logaritmo, consideramos uma base positiva e diferente de 1.
Ex: 3⁴ = 81
Ao expoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Portanto, 4 é o logaritmo de 81 na base 3.
3⁴ = 81 ⇔ log 81₃ = 4
Dados dois números reais e positivos a e b, sendo 1, chama-se logaritmo b na base a o expoente que deve colocar à base a.
Indicamos : log_a b = x ⇔ a = b.
Onde b é o logaritmando
a é a base
x é o logaritmo

Condição de existência
CE b > 0
1 a > 0
SISTEMA DE LOGARITMO
Chama-se sistema de logaritmo de base a ( 1 > 0 ), o conjuntos dos logaritmos de todos os números reais positivos na base a.
Dois sistemas de logaritmos destacam-se pelo seu importante papel no campo das Ciências, são eles: sistema de logaritmos decimais (ou sistema de logaritmo de Briggs) e sistema de logaritmos neperianos (ou sistema de logaritmos naturais).

LOGARITMOS DECIMAIS
São aqueles na base 10. Indicaremos por log b = x, sem necessidade de colocar a base 10.

SISTEMA NEPERIANO OU NATURAL
É o conjunto dos logaritmos na base e (e é um número irracional que recebe o nome de número de Euler, que vale 2,71828...). Indicaremos In b = x.

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
A partir da definição, temos:a) log_a 1 = 0
O logaritmo de 1 é sempre 0, pois a⁰ = 1.
b) log_a a = 1
Quando a base é igual ao logaritmando, o logaritmo é sempre 1, pois a¹ = a .
b) log_a ⁿa = n
O logaritmo de potência da base é sempre o expoente dessa base pois aⁿ = aⁿ.
d) a^{log a b} = b
Um número a, elevado ao logaritmo de b na base a, é sempre igual a b.
e) log_a b = log_a c ⇔ b = c
Dois valores são iguais, então, seus logaritmos, na mesma base, também são iguais.

DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Chamamos a condições de existência de um logaritmo de campo de existência ou domínio dos logaritmos.
Exemplo:
a) Determinar o campo de existência da função f (x) = log₂ (x-3 ) indica-se condição de existência por CE.

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
• Logaritmo de um produto

• Logaritmo de um quociente

• Logaritmo de uma potência

• Logaritmo de uma raiz


EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Podemos classificar as equações em redutíveis, que são solucionadas por meio da definição de logaritmo.
Para resolvermos um equação, devemos obter:
• Condição de existência.
• Verificação com as soluções da equação nas condições de existência.

MUDANÇAS DE BASE
As vezes, em algumas situações, devemos transformar o logaritmo em outra base. Para mudarmos a base de um logaritmo, utilizamos a seguinte fórmula:
Log b em que c será a nova base
Log_a b = ______ condições: b > 0
Log_c a 0 < a 1

Conseqüência:
a) log_a b . log_c a = log_c b
b) log_a b = 1
____
log_b a
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