LÓGICA MATEMÁTICA

CÁLCULO PROPOSICIONAL
Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS.

---

CONCEITO DE PROPOSIÇÃO
PROPOSIÇÃO: sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.
· A lua é quadrada.
· A neve é branca.
· Matemática é uma ciência.
Não serão objeto de estudo as sentenças interrogativas ou exclamativas.

---

OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL
· VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas atômicas) .
Exemplos:    A lua é quadrada : p
                     A neve é branca : q
· CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos :







Ù: e , Ú: ou , ® : se...então , « : se e somente se , ~: nãoExemplos:







· A lua é quadrada e a neve é branca. : p Ù q (p e q são chamados conjunctos)· A lua é quadrada ou a neve é branca. : p Ú q ( p e q são chamados disjunctos)
· Se a lua é quadrada então a neve é branca. : p ® q ( p é o antecedente e q o conseqüente)
· A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. : p « q
· A lua não é quadrada. : ~p

 · SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) , parênteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos;
Exemplos:







· Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada. :
   ((p Ù q) ® ~ p)· A lua não é quadrada se e somente se a neve é branca. :
   ((~ p) «q))· DEFINIÇÃO DE FÓRMULA :







1. Toda fórmula atômicaé uma fórmula.
2. Se A e B são fórmulas então
    (A Ú B) , (A Ù B) , (A ® B) , (A « B) e (~ A) também são fórmulas.
3. São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2. .Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos: ~, Ú , Ù , ®, « .
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela direita.
Exemplo: a fórmula p Ú q Ù ~ r ® p ® ~ q deve ser entendida como
                  (((p Ú q) Ù (~ r)) ® ( p ® (~ q)))

---

AS TABELAS VERDADE
A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser formulados como segue:
· Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.
· Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa.
· Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira.
Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente.
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposições compostas (moleculares), conhecidos os valores das proposições simples (atômicas) que as compõem usaremos tabelas-verdade :
1.Tabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira).

p	~p
V	F
F	V

2. Tabela verdade da "conjunção" : a conjunção é verdadeira se e somente os conjunctos são verdadeiros.

p	q	p Ù q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

3. Tabela verdade da "disjunção" : a disjunção é falsa se, e somente, os disjunctos são falsos.

p	q	p Ú q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

4. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso.

p	q	p ® q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

5. Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é verdadeira se, e somente se seus componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos

p	q	p « q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Exemplo: Construir a tabela verdade da fórmula : ((p Ú q) ® ~p) ® (q Ù p)

p	q	((p Ú q) ® ~p) ® (q Ù p)
V	V	V	F	F	V	V
V	F	V	F	F	V	F
F	V	V	V	V	F	F
F	F	F	V	V	F	F

---

·NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE: Cada proposição simples (atômica) tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n atômicas distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2ⁿ. Assim, para duas proposições são 2² = 4 linhas; para 3 proposições são 2³ = 8; etc.
Exemplo: a tabela - verdade da fórmula ((p Ù q) ® r) terá 8 linhas como segue :

p	q					r	((p Ù q) ® r )
V		V			V		V      V
V		V			F		V      F
V		F			V		F     V
V		F			F		F     V
F		V			V		F     V
F			V	F			F     V
F			F	V			F     V
F			F	F			F     V

---

NOTA: "OU EXCLUSIVO" É importante observar que "ou" pode ter dois sentidos na linguagem habitual: inclusivo(disjunção) Ú ("vel")  e exclusivo Ú  ( "aut") onde p Úq significa ((p Ú q) Ù~ (p Ù q)).

p	q	((p Ú q) Ù ~ (p Ù q))
V	V	V       F  F     V
V	F	V      V  V     F
F	V	V      V  V     F
F	F	F       F V     F

---

CELINA ABAR